Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Будем теперь считать, что погружения α0 и α заданы в этойповерхности P с краем.Рассмотрим множество Immf,+ (P, R3 ), определяемое аналогично множеству Immf,+ (M, R3 ).Для любых двух погружений α, α0 ∈ Immf,+ (P, R3 ) рассмотрим различающий коцикл ∆α,α0 ∈H 1 (P ), определяемый аналогичным образом. По условию леммы имеем ∆α0 ,α = 0, а значит,∆α1/2 ,α = 0. Покажем, что погружения α1/2 и α принадлежат одной связной компонентепространства Immf,+ (P, R3 ).Для погружения α рассмотрим соответствующее погружение α|K особой линии уровня Kв горизонтальную плоскость Πc и добавим к каждому погруженному ребру α(Kj ) несколькопетель, алгебраическое число которых мы обозначим через βj (эти числа будут построены ниже).
Рассмотрим новое погружение α0 : P → R3 , реализующее функцию f на P как функциювысоты и совпадающее на графе K с погружением α с учетом добавленных петель. В этомслучае соответствующую коцепь β = βα,α00 ∈ C 1 (K, Z) графа K будем называть различающейкоцепью для погружения α и α00 , где α00 — любое погружение, принадлежащее той же связнойкомпоненте пространства Immf,+ (P, R3 ), что и погружение α0 . Нетрудно показать, используятеорему Уитни, что числа βj всегда можно подобрать так, чтобы погружение α0 можно былосвязать путем в пространстве Immf,+ (P, R3 ) с любым наперед заданным погружением α00 изImmf,+ (P, R3 ), в частности, с погружением α00 = α1/2 . Заметим, что граф K является деформационным ретрактом поверхности с краем P , а значит, отображение включения K ,→ Pиндуцирует изоморфизм H 1 (K, Z) ' H 1 (P, Z).
Легко видеть, что образ коцикла [β] при этомизоморфизме в точности совпадает с различающим коциклом ∆α,α0 = ∆α,α1/2 ∈ H 1 (P, Z), азначит, по условию леммы, равен нулю. Тем самым, имеем [βα,α1/2 ] = ∆α,α1/2 = ∆α,α0 = 0.Заметим, что из теоремы Уитни нетрудно вывести, что для любых двух погруженийα, α0 ∈ Immf,+ (P, R3 ) класс когомологий [β] ∈ H 1 (K, Z) различающей коцепи β = βα,α0 дляэтих погружений равен нулю тогда и только тогда, когда погружения α и α0 принадлежат одной связной компоненте пространства Immf,+ (P, R3 ). В частности, это верно для погруженийα и α1/2 .Таким образом, в достаточно малых окрестностях P = Pi особых линий уровня функции f (т.е. в “атомах”) погружения α1/2 и α действительно можно соединить путем αt ∈Immf,+ (P, R3 ), 1/2 ≤ t ≤ 1, α1 = α.
Нетрудно продолжить построенные погружения на всюповерхность M и получить тем самым некоторый путь αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 1/2 ≤ t ≤ 1.Лемма полностью доказана.Рассмотрим теперь открытые круговые цилиндры Vj = σ −1 (rj ) в M , получающиеся выкидыванием из поверхности M всех особых линий уровня K = σ −1 (vi ) функции f . Фиксируемна цилиндре Vj произвольную кривую γj , соединяющую две критические точки функции fна противоположных основаниях цилиндра, вдоль которой функция f строго возрастает.Для любого погружения α ∈ Immf,+ (M, R3 ) рассмотрим на образе α(γj ) кривой γj полеνα |γj положительных нормалей να к погруженной поверхности.
Рассмотрим проекцию этогополя να,rj = π ◦ να |γj на горизонтальную плоскость, где π : R3 → R2 — проекция на горизонтальную плоскость. Так как по построению погружение α1 совпадает с α вблизи особыхлиний уровня функции f (см. лемму 1.7.6), то пути να1 ,rj и να,rj совпадают вблизи своих концов и не проходят через ноль (т.е. начало координат).
Значит, можно рассмотреть замкнутыйпуть νj = να−1◦ να,rj в горизонтальной плоскости, не проходящий через ноль. Построим те1 ,rjперь на ребре rj графа W метку µj , равную числу оборотов вокруг нуля плоской кривой νj .Можно показать, что число µj не зависит от способа вложения кривой γj в цилиндр Vj .Из упомянутого выше утверждения легко следует следующая лемма.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ60Лемма 1.7.7 (о втором препятствии). Для того, чтобы погружения α1 и α можно былосоединить путем в пространстве всех погружений, реализующих f как функцию высоты,и постоянных в окрестностях всех особых линий уровня Ki = σ −1 (vi ), 1 ≤ i ≤ N , функцииf , необходимо и достаточно, чтобы все числа µj были равны нулю.Таким образом, если все метки µj на ребрах графа W равны нулю, то заданные погружения α1 и α можно соединить путем αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 1 ≤ t ≤ 2, α2 = α, в пространстве всехпогружений, реализующих f как функцию высоты, и теорема 1.7.4 в этом случае доказана.Предположим, что не все метки µj равны нулю.
Изменим погружение α1 в малых окрестностях Pi особых линий уровня K = σ −1 (vi ) (“атомах”), 1 ≤ i ≤ N . А именно, рассмотримкомпозицию α2 = Rφ ◦ α1 погружения α1 и поворота Rφ горизонтальной плоскости на некоторый угол φ = φ(f |Pi ), зависящий от значения функции f в Pi , так что φ : M → R —гладкая функция на поверхности, равная нулю вне окрестностей Pi , и тождественно равная2πκi в некоторой меньшей окрестности особой линии уровня σ −1 (vi ), 1 ≤ i ≤ N , где числаκi ∈ Z будут построены ниже. Ясно, что существует путь αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 1 ≤ t ≤ 2, соединяющий новое погружение α2 с исходным погружением α1 , поскольку можно положитьαt = R(t−1)φ ◦ α1 .
Заметим, что по построению оба погружения α1 и α2 совпадают с α вокрестностях особых линий уровня σ −1 (vi ), 1 ≤ i ≤ N .Пусть при замене α1 на α2 метки µj на ребрах графа W (“препятствующие” регулярнойгомотопности этих погружений и α) заменились на некоторые метки µ0j .Лемма 1.7.8 (о различающей). µ0 = µ + δκ, где функции µ(rj ) = µj и κ(vi ) = κi рассматриваются как одномерная и нульмерная коцепи графа W , δ — кограничный операторв пространстве коцепей.Доказательство. Доказательство проводится непосредственно.Таким образом, препятствием к регулярной гомотопности погружений α1 и α в пространстве всех погружений, реализующих f как функцию высоты, служит не сама 1–коцепь µ, асамое большее — лишь отвечающий ей элемент [µ] ∈ H 1 (W, Z) группы одномерных когомологий графа W .Ясно, что в случае ∆α0 ,α = 0 имеем ∆α1 ,α = 0, откуда [µ] = 0. Возьмем в качестве “различающих” меток κi (чисел поворотов) в вершинах графа W такие числа, чтобы кограницаδκ соответствующей нульмерной коцепи κ ∈ C 0 (W, Z) была равна −µ ∈ C 1 (W, Z).
Тогда,согласно лемме 1.7.8, для погружения α2 все метки µj на ребрах W равны нулю. Значит,по лемме 1.7.7, погружения α2 и α можно соединить путем αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 2 ≤ t ≤ 3,α3 = α, в пространстве всех погружений, реализующих f как функцию высоты.Итак, мы доказали, что если для двух погружений α0 , α ∈ Immf,+ (M, R3 ) различающийкоцикл ∆α0 ,α ∈ H 1 (M, Z) равен нулю, то эти погружения принадлежат одной связной компоненте пространства Immf,+ (M, R3 ). То есть, построенное отображение является вложением.2–б) Пусть теперь ∆ ∈ H 1 (M, Z) — любой коцикл на поверхности M .
Построим погружение α ∈ Immf,+ (M, R3 ), для которого различающий коцикл ∆α,α0 совпадает с ∆.Рассмотрим клеточное разбиение поверхности M , отвечающее функции f . А именно, одномерным остовом клеточного разбиения служит объединение особых линий уровня K =σ −1 (vi ) функции f и построенных выше кривых γj .
В частности, нульмерные клетки разбиения совпадают с критическими точками функции f , а одномерные клетки бывают двухтипов: любая одномерная клетка либо лежит в “атоме” Pi и тогда совпадает с ребром Kjсоответствующего графа K = σ −1 (vi ), либо проектируется в ребро rj “молекулы” W и тогдасовпадает с кривой γj .
Двумерные клетки разбиения отвечают ребрам rj графа W и являются квадратами, у которых две противоположных стороны склеены по кривой γj , образуяцилиндр, а две другие стороны примыкают к двум “атомным” ребрам.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ61Рассмотрим произвольную коцепь построенного разбиения, отвечающую данному коциклу∆ ∈ H 1 (M, Z), и поставим на ребрах разбиения соответствующие целочисленные метки. Врезультате мы получим метки βj на ребрах Kj графов K = σ −1 (vi ), образующие некоторыекоциклы β ∈ H 1 (K, Z), и метки µk на ребрах rk графа Кронрода–Риба W , образующиенекоторый коцикл µ ∈ H 1 (W, Z). Построение погружения α разобьем на два шага.Шаг 1. Заметим, что “атомные” коциклы β ∈ H 1 (K, Z) на разных графах K = σ −1 (vi )не произвольны, а согласованы друг с другом таким образом, что для любого цилиндраVk = σ −1 (rk ) сумма меток βj по всем кривым Kj из верхнего основания цилиндра равнасумме меток βj по всем кривым Kj из нижнего основания цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
