Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Фиксируем любой порядок на множестве минимумов функции f , при которомвсе минимумы из C+ (f ) идут раньше всех минимумов из C− (f ), и аналогичные порядкификсируем на множестве максимумов и множестве седел функции f . Согласно теореме 1.6.2,функции f2ε и f = f1−2ε можно соединить путем ft , 2ε ≤ t ≤ 1/2, f1/2 = f , в пространствеFnum (S 2 , p+ + p− , q+ + q− ) всех функций Морса, при котором сохраняется указанный порядокГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ56критических точек. В частности, множества C+ (f2ε ) и C− (f2ε ) критических точек функцииf2ε перейдут соответственно в множества C+ (f ) и C− (f ).Шаг 3.
Согласно теореме 1.7.5, существует путь αt ∈ Immft (S 2 , R3 ), 2ε ≤ t ≤ 1/2, в пространстве погружений сферы в R3 , такой, что при каждом tαt реализует функцию Морса ftкак функцию высоты. Осталось заметить, что погружения α1/2 и α1−2ε имеют одну и ту жефункцию высоты f = f1−2ε = f1/2 , причем для этих погружений направления нормалей вкритических точках функции f совпадают (по построению на предыдущем шаге). То есть,оба погружения α1/2 и α1−2ε принадлежат одному и тому же множеству Immf,+ (S 2 , R3 ). Значит, согласно замечанию к теореме 1.7.4, существует путь αt ∈ Immf,+ (S 2 , R3 ), 2ε ≤ t ≤ 1/2,соединяющий погружения α1/2 и α1−2ε .
А значит, исходные погружения α0 и α1 регулярногомотопны. Предложение 1.7.2 доказано.1.7.1Построение выворачивания сферы наизнанкуРис. 1.16. Перестройки графа Кронрода-Риба функции высоты при выворачивании сферы наизнанкуМы будем изображать погружение сферы в R3 схематически, в виде графа Кронрода–Риба его функции высоты (рис. 1.16), которая предполагается простой функцией Морса.При этом в каждой вершине графа Кронрода–Риба поместим метку εi = ±1, указывающуюнаправление положительной нормали к погруженной поверхности в соответствующей критической точке. В нашем примере функция высоты будет иметь по две критические точкикаждого типа, причем метки на этих двух точках будут противоположны. Значит, такоймеченый граф Кронрода–Риба вполне определяет погружение, так как (согласно следствию1.6.10 из леммы 1.6.8 и теореме 1.7.4) пространство всех погружений сферы в R3 , для которых функция высоты имеет заданный меченый граф Кронрода–Риба, связно.
А значит,согласно теореме 1.7.5, последовательность меченых графов Кронрода–Риба (с естественнымсоответствием между вершинами соседних графов) вполне определяет регулярную гомотопию погружений.Рассмотрим стандартное вложениеα0 : S 2 ,→ R3сферы в R3 , при котором положительное поле нормалей направлено наружу (рис. 1.16 (1)),и другое вложениеα1 : S 2 ,→ R3 ,при котором положительное поле нормалей направлено внутрь сферы (рис. 1.16 (5)).
Функции высоты f0 и f1 при этих погружениях являются простыми функциями Морса с двумякритическими точками — минимумом и максимумом, в которых направления нормалей противоположны.Согласно алгоритму, описанному в доказательстве предложения 1.7.2, для построениярегулярной гомотопии между погружениями α0 и α1 мы должны сначала уравнять числоминимумов и максимумов функций f0 и f1 , с учетом направления нормалей в них. Для этогоГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ57породим по одному минимуму и максимуму у этих функций (1 → 2 и 5 → 4 на рис. 1.16)путем “продавливания” сферы внутрь.
В результате получим погружения αε и α1−ε , для которых функции высоты fε и f1−ε имеют одинаковые графы Кронрода–Риба (2 и 4 на рис. 1.16)с одинаковыми метками на всех четырех конечных вершинах, но с противоположными метками на обеих внутренних вершинах.Между функциями fε и f1−ε с отмеченными критическими точками существует очевиднаяизотопия ft , ε ≤ t ≤ 1 − ε, а именно, перестройка типа IV (рис.
1.11), меняющая местами седловые критические значения. Согласно теореме 1.7.4, мы можем реализовать эту изотопиюнекоторой деформацией погруженийαt ∈ Immft (S 2 , R3 ),ε ≤ t ≤ 1 − ε,(2 → 3 → 4 на рис. 1.16). Это завершает построение выворачивания сферы наизнанку.Подведем итог. В указанной регулярной гомотопии имеются ровно пять моментов бифуркации, т.е. значений параметра, при которых функция высоты не является простой функцией Морса. Это — два момента “рождения” критических точек, один момент существованиядвух критических точек на одной связной компоненте особой линии уровня, и два момента “уничтожения” критических точек.
На рис. 1.16 показаны следующие основные моментырегулярной гомотопии.1) Стандартное вложение сферы в R3 с полем положительных нормалей, направленныхнаружу сферы.1) → 2) Две перестройки: “рождение” одного максимума функции высоты с отрицательным направлением нормали и “рождение” одного минимума функции высоты с положительным направлением нормали. При этом рождаются также два седла с теми же направленияминормалей.2) → 3) → 4) Перестройка типа IV (см. рис. 1.11), меняющая местами значения функциивысоты в двух седловых точках.
После этой перестройки граф Кронрода–Риба не изменился,но изменились направления нормалей в обеих седловых точках.4) → 5) Две перестройки: взаимное “уничтожение” максимума и седла функции высоты,в которых положительная нормаль направлена вверх, и взаимное “уничтожение” минимумаи седла функции высоты, в которых положительная нормаль направлена вниз.5) Стандартное вложение сферы в R3 с полем положительных нормалей, направленныхвнутрь сферы.1.7.2Связные компоненты пространства всех погружений с даннойфункцией высотыДля доказательства теорем 1.7.4 и 1.7.5 нам понадобится следующий известный факт изтеории погружений окружности в плоскость. Расмотрим пространство Imm(S 1 , R2 ) всех погружений окружности в плоскость, т.е.
пространства замкнутых путей γ = γ(s) в плоскости,dγ(s)/ds 6= 0, где s ∈ S 1 — параметр на окружности. Пусть Imm(S 1 , R2 )κ — подпространствов Imm(S 1 , R2 ), состоящее из всех погружений γ, для которых вектор скорости dγ(s)/ds совершает κ оборотов вокруг начала координат, когда параметр s ∈ S 1 пробегает всю окружность,где κ — любое целое число. Согласно теореме Уитни, каждое пространство Imm(S 1 , R2 )κсвязно. Нам потребуется следующее известное утверждение.Утверждение. а) Фундаментальная группа пространства Imm(S 1 , R2 )κ изоморфна группеZ целых чисел.б) Пусть γt ∈ Imm(S 1 , R2 ), t ∈ S 1 , — любой замкнутый путь в пространстве всехпогружений окружности в плоскость.
Рассмотрим соответствующий путь Γt , t ∈ S 1 ,проходимый вектором скорости Γt = dγt (s)/ds|s=0 к погруженной окружности в точкеГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ58s = 0, когда t ∈ S 1 . Тогда путь γt , t ∈ S 1 , стягиваем в пространстве Imm(S 1 , R2 ) тогдаи только тогда, когда число оборотов пути Γt , t ∈ S 1 , вокруг начала координат равнонулю.Доказательство теоремы 1.7.4. 1) Пусть f — гладкая функция с конечным числом критических точек на замкнутой поверхности M .
Любому погружению α ∈ Immf,+ (M, R3 ), реализующему f как функцию высоты с заданными направлениями нормалей, поставим всоответствие некоторый коцикл ∆ = ∆α,α0 ∈ H 1 (M, Z) в группе одномерных когомологийповерхности M , определяемый следующим образом.Пусть γ ∈ H1 (M, Z) — любой цикл на поверхности, не проходящий через критическиеточки функции f . Рассмотрим на γ поле να |γ , положительных нормалей να к погруженнойповерхности, и рассмотрим проекцию этого поля να,γ = π ◦να |γ на горизонтальную плоскость,где π : R3 → R2 — проекция на горизонтальную плоскость. Определим теперь значение h∆, γiкоцикла ∆ = ∆α,α0 на цикле γ, полагая его равным h∆, γi = |να,γ | − |να0 ,γ |, где |να,γ | означаетчисло оборотов вокруг нуля плоской кривой να,γ .
Такой коцикл будем называть различающимкоциклом для погружений α, α0 ∈ Immf,+ (M, R3 ).Нетрудно показать, с помощью леммы 1.4.2, что функция γ 7→ h∆, γi действительно является коциклом, т.е. число h∆, γi не меняется при замене цикла γ на гомологичный ему цикл,не проходящий через критические точки функции f . Заметим, что любой связной компоненте в пространстве всех погружений α ∈ Immf,+ (M, R3 ), реализующих данную функциюf как функцию высоты с заданными направлениями нормалей в критических точках, отвечает фиксированный коцикл ∆ = ∆α,α0 ∈ H 1 (M, Z).
Тем самым, построено отображение измножества связных компонент пространства Immf,+ (M, R3 ) в группу H 1 (M, Z) одномерныхкогомологий поверхности M .2) Покажем, что построенное отображение взаимно однозначно.2–а) Пусть α0 , α ∈ Immf,+ (M, R3 ) — два погружения поверхности в R3 , реализующие функцию f как функцию высоты с заданными направлениями нормалей в критических точках,причем различающий коцикл ∆α0 ,α ∈ H 1 (M, Z) для этих погружений равен нулю.
Покажем,что эти погружения можно соединить путем αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, α1 = α, впространстве всех погружений, реализующих f как функцию высоты. Мы тем самым покажем, что указанное отображение является вложением, и, в частности, что в случае сферыпространство Immf,+ (S 2 , R3 ) связно. Пусть x1 , . . . , xN — критические точки функции f . Рассмотрим граф Кронрода–Риба W = Wf функции f и естественную проекцию σ : M → Wэтого графа на поверхность M .
Пусть vi = σ(xi ) — вершины, rj — ребра графа W .Лемма 1.7.6 (об отсутствии нулевого и первого препятствий). Если ∆α0 ,α = 0, то существует путь αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве погружений, реализующихf как функцию высоты, такой, что погружение α1 совпадает с α в окрестностях всехособых линий уровня Ki = σ −1 (vi ) функции f .Доказательство.
Пусть Ui — достаточно малая окрестность критической точки xi функцииf, 1 ≤ i ≤ N . Так как направления положительных нормалей в этой точке для погруженийα0 и α совпадают, нетрудно построить путь αt ∈ Immf,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1/2, в пространствепогружений M в R3 , реализующих f как функцию высоты, такой, что погружения α1/2 и αсовпадают в каждой окрестности Ui , 1 ≤ i ≤ N . Если xi — точка минимума или максимума,то ее особая линия уровня f −1 (vi ) состоит из одной точки xi и, значит, содержится в Ui .Пусть критическая точка xi не является точкой минимума или максимума, ci = f (xi ) —ее критическое значение.
Тогда ее особая линия уровня K = σ −1 (vi ) — это связный ориентированный граф, вершинами которого являются критические точки, а ребрами — связныекомпоненты Kj множества K\{x1 , . . . , xN }. При этом ориентация любой линии уровня определяется так, чтобы векторное поле grad f являлось полем положительных нормалей к ней,ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ59если M ориентируемо (см. параграф 1.4), или как в параграфе 1.5, если M не ориентируемо.Рассмотрим теперь связную окрестность P = Pi = f −1 [ci − ε, ci + ε] графа K (т.е. “атом”),где ε > 0 достаточно мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
