Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 16
Текст из файла (страница 16)
А именно, можно положить ft = (1 − t)f0 + tf ◦ ψ. Лемма 1.6.8доказана.Рис. 1.12. Допустимые перестройки графа Кронрода-Риба функции МорсаДоказательство леммы 1.6.9. 1) Предположим сначала, что p > 1. Рассмотрим два произвольных нижних конца графа W и произвольный путь Γ ⊂ W , соединяющий эти конечныевершины. Без ограничения общности можно считать, что путь Γ не имеет самопересечений.Покажем, что если длина этого пути (т.е. число его ребер) больше 2, то с помощью допустимых перестроек графа W длину пути Γ можно уменьшить на 1. В самом деле: так как обаконца пути Γ являются нижними вершинами W , внутри него всегда найдется “максимальная” точка.
А так как длина Γ не меньше 3, отрезок пути Γ в окрестности максимальнойточки имеет вид как на рис. 1.12 (а,б,в). На этих рисунках показано также, как с помощьюдопустимых перестроек II, III (рис. 1.11) можно уменьшить на 1 длину пути Γ.Таким образом, в случае p > 1 любые два нижних конца графа Кронрода–Риба W , после конечного числа допустимых перестроек этого графа, можно соединить путем длины 2,состоящим из двух соседних ребер графа.2) Теперь докажем лемму индукцией по числу N = 2(p + q + g − 1) всех вершин графаW . База индукции такова. При N = 2 или N = 4 граф Кронрода–Риба любой функцииf ∈ Fp,q (Mg ) совпадает с каноническим графом W (g, p, q). Индукционный переход осуществляется от N − 2 к N . Рассмотрим отдельно три случая: а) p > 1, б) q > 1, в) p = q = 1.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ50В случае “а”, по доказанному выше, существует последовательность допустимых перестроек графа W , в результате которых любые два наперед заданных нижних конца этого графастановятся концами двух соседних ребер.
Выкидывая из рассмотрения эти два соседних ребра, мы получим новый граф Кронрода–Риба с N −2 вершинами, который по предположениюиндукции приводится допустимыми перестройками к каноническому виду W (g, p−1, q). Восстанавливая выкинутые два ребра, получаем искомую перестройку, приводящую исходныйграф к каноническому виду.Случай “б” рассматривается аналогично.Случай “в” сводится к случаю “а” следующим образом. Заметим, что g ≥ 2. Выкинем изграфа Кронрода–Риба единственный нижний конец вместе с выходящим из него ребром, врезультате чего получим новый граф Кронрода–Риба с тем же числом вершин N , но ужес двумя нижними концами, и с родом на единицу меньшим. Для полученного графа существуют (по доказанному в “а”) допустимые перестройки, приводящие его к каноническомувиду W (g − 1, 2, 1).
Восстанавливая выкинутое ребро, получаем искомую перестройку, приводящую исходный граф к каноническому виду W (g, 1, 1).Лемма 1.6.9 полностью доказана.Окончание доказательства предложения 1.6.5 в ориентируемом случае. Из леммы 1.6.8–би леммы 1.6.9 следует, что существует изотопия ft ∈ Fp,q (Mg ), 0 ≤ t ≤ 1, и сохраняющийориентацию диффеоморфизм φ ∈ D(Mg ) поверхности на себя, такие, что f1 = k ◦ φ, гдеk — определенная выше простая функция Морса с каноническим графом Кронрода–РибаW (g, p, q).
Отсюда следует, что пространство Fp,q (Mg )/D(Mg ) связно.numРассмотрим теперь пространство Fp,q(Mg ) нумерованных функций Морса на ориентируемой поверхности Mg , имеющих p локальных минимумов, q локальных максимумов. Напомним, что для этих функций фиксирован порядок критических точек на каждом из трехмножеств критических точек одного типа: минимумов, максимумов и седел. Покажем, чтоnum(Mg )/D(Mg ) таких функций, рассматриваемых с точностью до автоморпространство Fp,qфизмов поверхности, также связно.
Из доказательства леммы 1.6.9 видно, что мы умеемприводить нумерацию конечных вершин на нумерованном графе Кронрода–Риба к любойзаданной нумерации таких вершин на каноническом графе Кронрода–Риба W (g, p, q). Такимобразом, нам осталось проверить, что любую перестановку на множестве внутренних вершинканонического графа W (g, p, q) (т.е. отвечающих седловым критическим точкам функции k)можно получить конечным числом допустимых перестроек, не затрагивающих его концов. Новвиду связности этого графа любая перестановка его внутренних вершин реализуется в видепоследовательности перестановок его соседних внутренних вершин.
Каждую перестановкусоседних внутренних вершин графа W (g, p, q) легко реализовать с помощью допустимых перестроек типа I, II, IV, V (см. рис. 1.11). Это доказывает предложение 1.6.5 в ориентируемомслучае.НЕОРИЕНТИРУЕМЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть M = Mµ — замкнутая неориентируемая поверхность и f0 — произвольная функция Морса на этой поверхности.Для каждой простой функции Морса f на поверхности M = Mµ рассмотрим аналогичныйграф Кронрода–Риба W = Wf (т.е.
“молекулу”), в котором могут содержаться вершиныкратности 1, 2 и 3. Этим вершинам отвечают особые линии уровня, окрестности которыхe и B. Вершины кратности 2, то есть,изображены на рис. 1.6. Это — простые “атомы” A, Be будем обозначать “звездочками” на графе W .отвечающие атому B,Мы будем считать, что в некоторой малой окрестности P каждой особой линии уровня фиксирована ориентация либо самой этой окрестности, если P ориентируемо (P ' Aили P ' B), либо фиксирована ориентация одной из двух гладких окружностей, лежащихe причем эту окружность S ∗ ⊂ P также будем счина особом уровне функции f в P ' B,тать фиксированной.
Рассмотрим индуцированную ориентацию всех неособых линий уровняГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ51функции f в P , которая в ориентируемом случае определяется так, чтобы вектор grad f образовывал с вектором скорости к линии уровня положительный репер, а в неориентируемомслучае ориентации линий уровня согласованы с фиксированной ориентацией окружности S ∗ .Поставим на каждом ребре rj графа W метку εj = ±1, показывающую, согласована или нетфиксированная ориентация неособых линий уровня функции f при переходе из окрестности одной особой линии уровня f в окрестность другой особой линии, которые на графе Wсоединены ребром rj . Два набора меток εj = ±1 на ребрах графа W будем считать эквивалентными, если они получаются друг из друга после изменения выбранной ориентациинеособых линий уровня f в некоторых окрестностях P особых линий.Полученный граф W = Wf с естественной ориентацией его ребер и фиксированнымиметками εj = ±1 на ребрах, рассматриваемыми с точностью до указанного отношения эквивалентности, обозначим через W ∗ = Wf∗ и назовем меченым графом Кронрода–Риба простойфункции Морса f на неориентируемой поверхности Mµ .
Нетрудно показать, что для меченыхграфов Кронрода–Риба справедлив аналог леммы 1.6.8, т.е. подпространство в пространствеFp,q (M )/D(M ), которому отвечают простые функции Морса f на Mµ с фиксированным меченым графом Кронрода–Риба W ∗ , линейно связно.Пусть p и q — число локальных минимумов и число локальных максимумов функции f0 .Обозначим через W ∗ (µ, p, q) граф, имеющий p нижних концов и q верхних концов, и получающийся из канонического графа W (g, p, q) заменой цепочки из g окружностей, соединенныхпоследовательно отрезками, цепочкой из µ “вершин-звездочек”. Для неориентируемой поверхности Mµ граф W ∗ (µ, p, q) однозначно определяется числами p и q.
Легко видеть, чтовсе наборы меток εj = ±1 на ребрах такого графа эквивалентны, и поэтому можно считать,что все метки на W ∗ (µ, p, q) равны +1. Фиксируем простую функцию Морса k на поверхностиMµ , для которой граф Кронрода–Риба совпадает с графом W (µ, p, q). Докажем сначала, чтосуществует гладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса и диффеоморфизм φ ∈ D(M ) поверхности на себя, такие, что f1 = k ◦ φ (без учета порядка на множествекритических точек). Как и в ориентируемом случае, будем предполагать, не ограничиваяобщности, что исходная функция Морса f0 является простой.Рис.
1.13. Неориентируемые окрестностилиний уровня с 2 критич. точкамиРис. 1.14. Допустимые перестройки графаКронрода-Риба для этих атомовГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ52В неориентируемом случае имеется всего 11 типов особенностей непростых функций Морса f на Mµ , для которых некоторая связная компонента линии уровня f −1 (c) содержит двекритические точки. А именно, кроме 5 типов особенностей ориентируемого случая, показанных на рис. 1.10, имеется еще 6 типов особенностей, показанных на рис. 1.13. На рис.
1.14показаны 6 соответствующих перестроек графа Кронрода–Риба, которые мы также будемназывать допустимыми (неуказанные метки εj = ±1 на ребрах предполагаются равными 1).Покажем, что аналог леммы 1.6.9 справедлив и для неориентируемых поверхностей, тоесть любой меченый граф Кронрода–Риба W ∗ простой функции Морса f0 на неориентируемой поверхности Mµ можно привести конечным числом допустимых перестроек к каноническому виду.Первая часть доказательства леммы 1.6.9 легко проходит и в неориентируемом случае, таккак с любого пути Γ можно убрать все “звездочки” с помощью перестроек I’ и II’, поместивих на какое-нибудь конечное ребро графа W ∗ .Вторая часть доказательства леммы 1.6.9 также проводится индукцией по числу N =2(p + q − 1) + µ вершин меченого графа W ∗ .
База индукции такова: при N = 3 имеемp = q = µ = 1, и меченый граф Кронрода–Риба любой функции f ∈ F(M1 , 1, 1) совпадаетс каноническим графом W ∗ (1, 1, 1). Индукционный переход от N − 1 к N почти повторяеториентируемый случай. Опять рассмотрим три возможности: а) p > 1, б) q > 1, в) p = q = 1.Случаи “а” и “б” выводятся из первой части доказательства леммы аналогично ориентируемому случаю.Случай “в” можно свести к случаю “а” следующим образом. Если соседней с нижнейконечной вершиной являлась вершина-звездочка, то, при ее удалении из меченого графаКронрода–Риба, применении предположения индукции и восстановлении выкинутой “звездочки”, получаем искомое приведение к каноническому виду W ∗ (µ, 1, 1).
Пусть, в случае “в”,вершина, соседняя с нижней конечной вершиной, имеет кратность 3. Выкинем из меченого графа Кронрода–Риба нижний конец вместе с выходящим из него ребром, в результатечего получим, как в ориентируемом случае, новый меченый граф Кронрода–Риба с тем жечислом вершин N , но уже с двумя нижними концами. Для полученного графа существуют(по доказанному в пункте а) допустимые перестройки, приводящие его к каноническому виду W ∗ (µ, 2, 1) или W ∗ (µ − 1, 2, 1). Восстанавливая выкинутое ребро, получаем перестройку,приводящую исходный граф к графу, отличающемуся от канонического W ∗ (µ, 1, 1) заменойдвух нижних “звездочек” двойным ребром.Возможны два подслучая:в–1) если метки εj = ±1 на этих двух ребрах противоположны, то с помощью перестройкиVI’ их можно заменить на две “звездочки”, в результате чего получим канонический графW ∗ (µ, 1, 1);в–2) если эти метки совпадают, то µ ≥ 3, и с помощью перестройки IV’ эти метки можносделать противоположными, что приведет нас к предыдущему подслучаю в–1.Аналог леммы 1.6.9 в неориентируемом случае доказан.Окончание доказательства предложения 1.6.5 в неориентируемом случае.
Из аналогов лемм1.6.8–б и 1.6.9 для неориентируемого случая следует, что пространство Fp,q (Mµ )/D(Mµ ) связnumно. Рассмотрим теперь пространство Fp,q(Mµ ) функций Морса на поверхности Mµ , имеющихp локальных минимумов, q локальных максимумов, причем для этих функций фиксированпорядок критических точек на каждом из трех множеств критических точек одного типа: миnumнимумов, максимумов и седел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
