Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между связными компонентамипространства Immf,+ (M, R3 ) и элементами группы H 1 (M ; Z) ' Z2g или Z2 + Zµ−1 одномерных когомологий поверхности M .ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ33(б) Пусть ft : M → R, 0 ≤ t ≤ 1, — гладкий путь в пространстве всех функций Морсана замкнутой поверхности M . Пусть α0 ∈ Immf0 (M, R3 ) — некоторое погружение M в R3 ,реализующее простую функцию Морса f0 как функцию высоты.
Тогда существует гладкийпуть αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех погружений M в R3 , такой, чтопри любом t погружение αt реализует функцию ft как функцию высоты. Пространствовсех таких путей αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, связно.(в) В случае двумерной сферы M = S 2 пространство Imm(S 2 , R3 ) связно. Другими словами, любые два погружения α0 и α1 сферы S 2 в R3 можно соединить гладким путем αt ,0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех гладких погружений сферы в R3 . Более того, два стандартных вложения α0 и α1 сферы в R3 , имеющие один и тот же образ, но противоположнонаправленные положительные нормали, можно соединить таким путем αt , 0 ≤ t ≤ 1, впространстве погружений, что функции высоты ft погружений αt образуют путь общегоположения, описанный в §1.7.1 и замечании 1.7.11 в терминах перестроек “меченых” графов Кронрода–Риба этих функций, и схематично изображенный на рис.
1.16 и 1.17. Здеськаждая критическая точка функции ft и соответствующая вершина ее графа Кронрода–Риба “помечена” знаком ±1, указывающим направление (вверх или вниз) положительнойнормали к погруженной поверхности в этой точке.1.2Препятствия к реализации гладкой функции в видефункции высоты при вложении или погружении поверхностиЛегко видеть, что на ориентируемых поверхностях существуют гладкие функции, не реализующиеся как функции высоты при погружениях поверхности в R3 .
Приведем простойпример такой функции.Предложение 1.2.1. (а) На любой связной замкнутой двумерной поверхности M , не гомеоморфной сфере, существует гладкая функция K3 , имеющая ровно три критические точки: минимум, максимум и седло (вырожденное или невырожденное).(б) Эта функция K3 не может быть реализована как функция высоты при вложенииориентируемой поверхности Mg в R3 .
(Напомним, что в неориентируемом случае вложений Mµ в R3 нет вообще.)(в) На ориентируемых поверхностях Mg рода g ≥ 2 эта функция K3 не может бытьреализована как функция высоты при погружении Mg в R3 .(г) Напротив, на торе T 2 и на любой замкнутой неориентируемой поверхности Mµфункция K3 может быть реализована как функция высоты при подходящем погруженииповерхности в R3 .Мы начнем с доказательства предложения 1.2.1, поскольку функция K3 достаточно интересна и (как мы увидим ниже) позволяет наглядно моделировать препятствия к построениювысотных вложений и погружений.Доказательство предложения 1.2.1. (а) Искомая функция K3 легко строится в явном виде.Достаточно воспользоваться известной теоремой классификации двумерных поверхностей.Согласно этой теореме, любая связная замкнутая двумерная поверхность M диффеоморфна сфере с g ручками Mg (g ≥ 0) или сфере с µ пленками Мебиуса Mµ (µ ≥ 1).
При этомповерхность M представима в виде склейки фундаментального 2N -угольника−1±1a1 · · · aN a−11 · · · aN −1 aN ,где “−1” отвечает ориентируемому случаю, а “+1” — неориентируемому, и N = 2g или µ.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ34Рис. 1.1. Функция с тремя критическими точками: линии уровня на фундаментальном многоугольникеРазделим фундаментальный многоугольник пополам, добавив ориентированное ребро a0 ,и зададим на нем функцию K3 ее линиями уровня (рис. 1.1). А именно, в левой половинемногоугольника функция отрицательна и имеет одну точку минимума, а правой половине —положительна и имеет одну точку максимума.
На ребрах a0 , a1 , . . . , aN функция равна нулю.Легко видеть, что все вершины фундаментального многоугольника склеиваются в одну точку на поверхности M . Тогда в этой точке на поверхности возникает седловая критическаяточка функции K3 . Можно считать, что это седло имеет тип Re(z N +1 ). Описанное клеточноеразбиение поверхности M имеет ровно одну вершину, N + 1 ребер a0 , a1 , . . . , aN и две двумерных клетки. На одной из клеток функция K3 положительна, на другой — отрицательна.(б) По построению, множество нулевого уровня функции K3 — это букет N + 1 окружностей a0 , a1 , . . .
, aN . Допустим, что K3 — функция высоты при каком-то вложении i : M → R3 .Тогда, в ориентируемом случае, каждая окружность букета гладко вложена в горизонтальную плоскость Π(0), причем эти окружности пересекаются в вершине трансверсально. Следовательно, по теореме Жордана, окружности пересекутся еще в нескольких точках, чтоневозможно при вложении i.(в) Пункт “в” сразу вытекает из теоремы 1.1.2, которую мы докажем ниже. В самомделе, функция K3 имеет ровно три критические точки, а согласно пункту “а” теоремы 1.1.2,функция высоты на погруженной поверхности обязательно должна иметь по крайней меречетыре критические точки.(г) Этот пункт является следствием теоремы 1.1.2 (см.
ее пункт “в”), которая будет доказана ниже.Предложение 1.2.1 доказано.1.3Критерий реализуемости функции с конечным числом критических точек на поверхности в виде функции высоты (доказательство теоремы 1.1.2)Из приводимых ниже теорем 1.3.1 и 1.3.2 вытекает, что любая функция с конечным числомкритических точек на сфере, на торе и на произвольной замкнутой неориентируемой поверхности всегда реализуется в виде функции высоты при некотором погружении в R3 . Еслиже f — функция Морса на произвольной ориентируемой поверхности Mg или неориентируемой поверхности Mµ , то она всегда реализуется в виде функции высоты при подходящемпогружении.Сначала докажем пункты “а” и “б” теоремы 1.1.2.
Они следуют из еще более сильногоГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ35утверждения.Теорема 1.3.1 (Критерий существования высотных погружений в ориентируемом случае).(а) Пусть f — гладкая функция на замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg ,имеющая лишь конечное число критических точек x1 , . . . , xN (не обязательно функция Морса). Тогда равенствоNX(E)εk indxk (grad f ) = 0,k=1где εk = ±1,1 ≤ k ≤ N,является необходимым и достаточным условием того, что функцию f можно реализоватькак функцию высоты при некотором погружении поверхности Mg в R3 , таком, что вкаждой критической точке xk (где 1 ≤ k ≤ N ) положительная нормаль к поверхностиMg имеет вид εk e, где e — единичный базисный вертикальный вектор евклидовой системыкоординат в R3 .(б) Любая функция Морса f на произвольной замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg всегда реализуется как функция высоты при подходящем погружении Mg вR3 .Замечание.
Здесь через indxk (grad f ) обозначен обычный индекс особой точки векторногополя grad f , то есть степень гауссова отображения на себя малой окружности Sα1 радиуса αс центром в критической точке. Гауссово отображение для векторного поля w в какой-тоего особой точке определяется формулой x 7→ αw(x)/|w(x)|, где |w| — норма вектора w вкакой-то римановой метрике, заданной в малой окрестности критической точки (от выбораметрики степень не зависит).
Точка x пробегает здесь окружность Sα1 .Замечание. Отметим, что в случае функции Морса f индекс indxk (grad f ) для точек xk минимума и максимума функции f равен +1, а для седловых точек xk функции f всегда равен−1. Фактически именно из этого обстоятельства и из четности эйлеровой характеристикиповерхности следуют все утверждения перечисленных выше теорем, касающиеся функцийМорса на ориентируемых поверхностях.Теорема 1.3.2 (Об отсутствии препятствий к построению высотных погружений в неориентируемом случае).
Пусть f — гладкая функция на связной замкнутой неориентируемойдвумерной поверхности Mµ , имеющая лишь конечное число критических точек (не обязательно функция Морса). Тогда любое вложение в R3 достаточно малых окрестностейкритических точек, реализующее функцию f как функцию высоты (такие вложения всегда существуют), можно всегда продолжить до погружения всей поверхности Mµ в R3 ,реализующего функцию f как функцию высоты.
В частности, любая функция указанноготипа на неориентируемой поверхности реализуется как функция высоты при некоторомпогружении.Теоремы 1.3.1 и 1.3.2 мы докажем ниже, а сейчас мы из теоремы 1.3.1 выведем первыедва утверждения теоремы 1.1.2.Доказательство пунктов “а” и “б–1” теоремы 1.1.2. (а) Пусть f — гладкая функция на ориентируемой поверхности Mg (где g ≥ 0), имеющая лишь конечное число критических точекx1 , . . . , xN . Тогда обязательно найдутся по крайней мере две критические точки min и max,такие, что indmin (grad f ) = indmax (grad f ) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
