Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При нашем подходе выворачивание сферы очень наглядно иллюстрируется на языке графов Кронрода–Риба (см. параграф 1.6, доказательствопредложения 1.6.5). А именно, мы описываем наше выворачивание с помощью конечнойпоследовательности “меченых” ориентированных деревьев с метками ± в вершинах (см.рис. 1.16), где каждое следующее дерево получается из предыдущего некоторой “простой перестройкой”. Этой последовательности меченых деревьев отвечает путь общегоГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ30положения в пространстве гладких функций на сфере, описанный в §1.7.1 и замечании 1.7.11 в терминах перестроек “меченых” графов Кронрода–Риба этих функций, исхематично изображенный на рис.
1.16 и 1.17. Здесь каждая критическая точка функции ft и соответствующая вершина ее графа Кронрода–Риба “помечена” знаком ±1,указывающим направление (вверх или вниз) положительной нормали к погруженнойповерхности в этой точке.Прежде чем точно формулировать эти результаты, перечислим в качестве следствия важные классы гладких функций, реализуемых (б–1, б–2, в, г) или нереализуемых (а–1, а–2) ввиде функции высоты при некотором погружении поверхности в R3 .Теорема 1.1.2. (а–1) При погружении в R3 замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg рода g ≥ 2, т.е. не гомеоморфной сфере или тору, функция высоты всегда имеетпо крайней мере четыре критические точки.(а–2) Для любого g ≥ 2 на ориентируемых замкнутых поверхностях Mg рода g всегдасуществуют гладкие функции с конечным числом критических точек, не реализующиесякак функции высоты ни при каком погружении Mg в R3 .(б–1) Напротив, любую гладкую функцию на сфере S 2 или на торе T 2 , имеющую конечноечисло критических точек (не обязательно функцию Морса), можно реализовать как функцию высоты (или как функцию расстояния до фиксированной точки в R3 ) при некоторомпогружении этих поверхностей в R3 .(б–2) Любую функцию Морса на любой замкнутой двумерной поверхности M (ориентируемой или неориентируемой) всегда можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении M в R3 .
При этом, для функции Морса с N критическими точками наN/2ориентируемой поверхности Mg имеется ровно CN различных, т.е. нормально не эквивалентных погружений Mg . (Определение нормальной эквивалентности см. в замечании1.1.3 и определении 1.7.3).(в) Любую гладкую функцию на связной замкнутой неориентируемой двумерной поверхности Mµ , имеющую лишь конечное число критических точек (не обязательно невырожденных), можно реализовать как функцию высоты (или как функцию расстояния до некоторой фиксированной точки в R3 ) при некотором погружении поверхности Mµ в R3 . Приэтом, для функции Морса с N критическими точками имеется ровно 2N нормально неэквивалентных погружений Mµ .(г) Каждый отдельно взятый атом, ориентируемый или неориентируемый (т.е.
окрестность в M критического уровня функции f с конечным числом критических точек), f −1 [c−ε, c + ε] всегда можно так погрузить в R3 , что функция f на нем превратится в функциювысоты.Замечание. Очевидно, что сферу S 2 можно так вложить в R3 , что на ней появится функциявысоты с ровно двумя невырожденными критическими точками (минимум и максимум).Для тора T 2 имеется очевидное вложение с функцией высоты, обладающей ровно четырьмяневырожденными критическими точками.Замечание. Хорошо известна теорема Риба, согласно которой многообразие M n , на котором существует гладкая функция с ровно двумя критическими точками (невырожденнымиили вырожденными, — все равно), обязательно гомеоморфно стандартной сфере S n .
См.,например, [104, 103, 119].Замечание. Все теоремы настоящей главы остаются справедливыми, если вместо функцийвысоты на компактном подмногообразии M n в RN рассмотреть функции, определяемые какрасстояние ρx0 (x) от переменной точки x до какой-то фиксированной точки x0 в RN . В самомделе, если точка x0 расположена в RN достаточно далеко от погруженного подмногообразияГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ31M n , то функция расстояния ρx0 (x) очень похожа на функцию высоты, определяемую прямой,проходящей через точку x0 в направлении далеко расположенного многообразия M n .Замечание 1.1.3. Из нашего критерия (теорема 1.1.4 (а–1, а–2) или теоремы 1.3.1 и 1.3.2)следует, что для функции Морса f с N критическими точками на замкнутой поверхности MN/2существует ровно CN (в ориентируемом случае) или 2N (в неориентируемом случае) различных, т.е.
нормально не эквивалентных погружений, реализующих данную функцию Морсаf как функцию высоты. При этом мы считаем, что два погружения с одинаковой функциейвысоты нормально эквивалентны, если в каждой критической точке направления нормалейдля этих погруженных поверхностей совпадают. Число нормально не эквивалентных погружений с данной функцией высоты f , очевидно, не превосходит 2N . Другое, эквивалентноеопределение нормальной эквивалентности см. в параграфе 1.7 (определение 1.7.3). Ранее, вработе [59] было показано, как реализовать произвольную функцию Морса на поверхностинекоторым погружением этой поверхности в R3 с последующим проектированием ее на вертикальную ось z.
Однако в [59] были обнаружены далеко не все искомые погружения. Аименно (для простых функций Морса), были найдены лишь те, у которых каждая связнаякомпонента неособой линии уровня, погруженная в горизонтальную плоскость, регулярногомотопна стандартной окружности. Из нашей же работы вытекает, что в действительностиискомых погружений существенно больше, и мы даем их полное описание (см. более общиетеоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.7.4, 1.7.9).Замечание. В той же работе [59] было получено необходимое и достаточное условие реализации функции Морса на замкнутой поверхности в виде функции высоты при вложенииповерхности в R3 .
При этом, критерий работы [59] разбивает исходную задачу на две:1) когда окрестности критических уровней функции Морса (т.е. атомы в нашей терминологии) допускают искомую высотную реализацию при каком-то вложении;2) когда граничные окружности атомов можно согласовать так, чтобы получилось глобальное вложение.Впрочем, ответа на первый вопрос в работе [59] не дается.Перейдем к описанию основных результатов настоящей главы.При замене вложений на погружения, мы даем ответ на вопрос о высотной реализуемости функций в виде эффективного и простого критерия.
В частности, наша теорема 1.1.2является следствием более сильных теорем 1.3.1 и 1.3.2 (см. параграф 1.3). Теорема 1.3.1дает (в ориентируемом случае) критерий реализуемости гладкой функции с конечным числом критических точек в виде функции высоты при погружении. Теорема 1.3.2 утверждает,что в неориентируемом случае искомое высотное погружение всегда существует для любойфункции указанного класса.
То есть, здесь никаких препятствий нет вообще.После решения задачи о реализации гладких функций на поверхности в виде функцийвысоты, естественно перейти к вопросу о том — можно ли представить гладкую деформациюфункции с конечным числом критических точек на поверхности в виде соответствующейрегулярной гомотопии погружений поверхности в R3 ? Оказывается, в случае деформацийфункции в пространстве функций Морса ответ на вопрос положителен (см. ниже).С этой задачей естественно связан также следующий известный факт: пространство функций Морса с фиксированным числом минимумов и максимумов на замкнутой двумернойповерхности линейно связно. Нам не удалось найти доказательства этого утверждения влитературе ранее 1997 г. Поэтому мы приводим его доказательство сначала для сферы ипроективной плоскости (§1.6, теорема 1.6.2).
А затем, в §2.6 следующей главы, мы приводимдоказательство для произвольных двумерных поверхностей, следуя С.В. Матвееву (теорема2.6.1). Развивая идеи Матвеева, мы докажем и некоторые обобщения этого факта (теоремы2.6.9, 2.6.11).ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ32Замечание. В работе [25] упомянуто близкое утверждение о связности пространства мероморфных функций на комплексных кривых с фиксированным числом точек ветвления, идоказаны его обобщения.В параграфе 1.7 мы доказываем (см.
теорему 1.7.5), что любая гладкая деформация функции Морса на любой двумерной поверхности реализуется как деформация функций высотыпри подходящей деформации погружений поверхности в R3 . Из результатов этого и предыдущего параграфов, в качестве простого следствия, легко получается новое доказательствохорошо известного факта, что пространство всех гладких погружений сферы S 2 в R3 линейно связно. В частности, получается новое и простое доказательство известного “парадоксаСмейла”, что двумерную сферу можно “вывернуть наизнанку” в R3 .
При нашем подходе выворачивание сферы очень наглядно иллюстрируется на языке графов Кронрода–Риба (см.параграф 1.6, доказательство предложения 1.6.5).Замечание. Из теоремы Хирша-Смейла [121, 84, 17] следует, что, в случае замкнутой поверхности положительного рода g, пространство всех ее погружений в R3 не является связным, а состоит из 22g связных компонент в ориентируемом случае, и из 2µ компонент внеориентируемом случае. В действительности, по теореме Хирша-Смейла, это число равночислу гомоморфизмов фундаментальной группы поверхности в фундаментальную группуклассифицирующего пространства SO(3) ' RP 3 , т.е. в группу Z2 из двух элементов.
Отсюда нетрудно вывести, что пространство всех погружений поверхности, не гомеоморфнойсфере, в R3 , профакторизованное по группе автоморфизмов этой поверхности, состоит ровноиз двух связных компонент.Сформулируем основные результаты данной главы в виде одной теоремы.Теорема 1.1.4 (см. теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.7.4, 1.7.5 и предложение 1.7.2). (а–1) Пусть f —гладкая функция на замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg рода g, имеющаялишь конечное число критических точек x1 , . . . , xN (не обязательно функция Морса).
ТогдаравенствоNXεk indxk (grad f ) = 0,k=1где εk = ±1,1 ≤ k ≤ N,является необходимым и достаточным условием того, что функцию f можно реализоватькак функцию высоты при некотором погружении поверхности Mg в R3 , таком, что вкаждой критической точке xk (где 1 ≤ k ≤ N ) положительная нормаль к поверхностиMg имеет вид εk e, где e — единичный базисный вертикальный вектор евклидовой системыкоординат в R3 .(а–2) Пусть f — гладкая функция на связной замкнутой неориентируемой двумернойповерхности Mµ рода µ, имеющая лишь конечное число критических точек (не обязательнофункция Морса). Тогда любое вложение в R3 достаточно малых окрестностей критическихточек, реализующее функцию f как функцию высоты (такие вложения всегда существуют), можно всегда продолжить до погружения всей поверхности Mµ в R3 , реализующегофункцию f как функцию высоты.
В частности, любая функция указанного типа на неориентируемой поверхности реализуется как функция высоты при некотором погружении.(а–3) Пусть f — гладкая функция с конечным числом критических точек на замкнутой поверхности M = Mg или Mµ (т.е. ориентируемой или неориентируемой). Фиксируемкакое-нибудь погружение α0 ∈ Immf,+ (M, R3 ), т.е. погружение M в R3 , реализующее f какфункцию высоты с заданными направлениями нормалей в критических точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
