Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

замечание 4.1.4, однако полученныетам результаты дословно переносятся на случай точных 2-форм B).П.М. Ахметьев обнаружил несколько Dµ0 (Q)-инвариантных функционалов на множествеBexact (Q) точных несжимаемых течений в Q, названные им высшими моментами спиральности, а именно: две “квадратичные спиральности” H(2) и H[2] , моменты спиральности третьегопорядка и т.д., представимые в виде асимптотических инвариантов зацеплений [43]. Инварианты Ахметьева кодируются некоторыми графами, а именно: моменты спиральности k-гопорядка кодируются связными графами с k вершинами.С инвариантами несжимаемых течений в “магнитных трубках” Q = D2 × S 1 (или, болееобщо, Q = M × S 1 , где M — компактная ориентируемая поверхность) тесно связаны инварианты сопряженности на группе Dω (D2 ) = SDiff(D2 ) симплектоморфизмов круга M = D2fω (D2 ) этой груп(соответственно поверхности M ), точнее на универсальной накрывающей Dпы.

Дело в том, что инвариантам сопряженности на группе Dω (D2 ) естественно отвечаютD 0 (Q)-инвариантные функционалы на пространстве B(Q) несжимаемых течений в полнотории (по крайней мере, на подпространстве пространства B(Q), состоящем из несжимаемыхтечений, обладающих фиксированнымсечением Пуанкаре P с точностью до изотопности иRфиксированным потоком P B через эту поверхность).fω (D2 ) и доказал, что онЕ.

Калаби обнаружил [62] инвариант сопряженности на группе Dявляется гомоморфизмом в группу (R, +). В указанном выше смысле инварианту Калабиfω (D2 ) → R отвечает спиральность, умноженная на −1/2 (см. (5.5)). Другие известныеCal : Dfω (D2 ) — норма Хофера [87], число неподвижныхинварианты сопряженности на группе Dточек и спектральные инварианты.fω (D2 ) в группу (R, +) имеетА.

Баньяга [46] показал, что любой гомоморфизм группы Dвид h ◦ Cal, где h : R → R — некоторый гомоморфизм группы (R, +) в себя.Цель работыПолучение критерия реализуемости гладкой функции с конечным числом критических точек на замкнутой связной поверхности в виде функции высоты при некотором погруженииэтой поверхности в 3-мерное евклидово пространство; нахождение и описание конечномерного полиэдра, имеющего гомотопический тип пространства функций Морса с заданнымчислом критических точек локальных минимумов, максимумов и седел на компактной связной ориентируемой поверхности; выяснение существования относительно-продолжимых инвариантов C 0 -сопряженности на заданном страте Максвелла в пространстве невырожденныхВВЕДЕНИЕ14гамильтоновых систем на компактной поверхности; получение классификации дифференцируемых топологических инвариантов точных несжимаемых течений на компактном связном3-мерном многообразии, имеющих регулярную и C 1 -непрерывную производную.Научная новизнаВсе основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно.Следующие результаты работы являются основными и выносятся на защиту:• получен критерий того, когда гладкая функция f с конечным числом критическихточек на связной замкнутой поверхности M реализуема в виде функции высоты принекотором погружении поверхности в 3-мерное евклидово пространство R3 ; описаномножество связных компонент пространства всех погружений поверхности в R3 с данной функцией высоты; доказано, что для любого погружения замкнутой поверхности вR3 , имеющего морсовскую функцию высоты, любая гладкая деформация этой функциив пространстве морсовских функций реализуется в виде деформации функции высотыпри некоторой гладкой деформации заданного погружения, причем пространство всехтаких деформаций в пространстве погружений линейно связно; получено новое доказательство известного “парадокса Смейла”, что двумерную сферу можно “вывернутьнаизнанку” в R3 ;• введено понятие косого цилиндрически-полиэдрального комплекса; для пространствF функций Морса на компактной ориентируемой поверхности M , имеющих не менееχ(M ) + 1 пронумерованных критических точек, описано построение косого цилиндриe (“комплекса оснащенных функций Морса”), ассочески-полиэдрального комплекса Kциированного с пространством F; доказана гомотопическая эквивалентность данногоe где R — одно из четырехпространства F функций Морса прямому произведению R× K,3многообразий: точка, окружность, двумерный тор и RP ; получены верхние оценки длягомологической размерности и чисел Бетти пространства F; доказана бесконечностьколичества связных компонент любого пространства Ffix функций Морса на компактной связной поверхности с закрепленными критическими точками, если число седелположительно;• обнаружены относительно-продолжимые инварианты C 0 -сопряженности гамильтоновых систем на некоторых стратах Максвелла (называемых “бициклическими”) в пространстве Hnondeg (P ) невырожденных гамильтоновых систем на компактных связныхповерхностях P , по отношению к некоторым примыкающим открытым стратам Максвелла (состоящим из “бициклических возмущений”); бициклические страты Максвеллаобразуют бесконечную серию и состоят из гамильтоновых систем, гамильтонианы которых являются функциями Морса с ровно одним критическим значением, где родповерхности P не фиксирован; получены эффективные достаточные условия относительно-устойчивой C 0 -несопряженности пары гамильтоновых систем из произвольногобициклического страта Максвелла по отношению к классу бициклических возмущений;этим условиям удовлетворяют почти все пары систем из этого страта; для бесконечнойподсерии в серии бициклических стратов Максвелла (состоящей из “вполне бициклических” стратов Максвелла) получены эффективные достаточные условия устойчивойC 0 -несопряженности пары гамильтоновых систем из такого страта Максвелла; этимусловиям удовлетворяют почти все пары систем из такого страта;fω (D2 )• доказано, что любой инвариант сопряженности на универсальной накрывающей Dгруппы симплектоморфизмов круга, имеющий регулярную и непрерывную относитель-ВВЕДЕНИЕ15но C 1 -топологии производную, выражается через инвариант Калаби; доказано, что любой D 0 (Q)–инвариантный функционал на пространстве Bexact (Q) точных несжимаемыхтечений без нулей на компактном связном ориентируемом 3–мерном многообразии Q,имеющий регулярную и непрерывную относительно C 1 -топологии производную, локально на Bexact (Q) (а в случае Q = M × S 1 с непустой границей — глобально намножестве всех 2–форм B ∈ Bexact (Q), допускающих секущую поверхность, изотопнуюM × {∗}) выражается через функционал спиральности.Теоретическая и практическая значимостьРабота имеет теоретический характер.

Полученные результаты могут быть использованы дляисследования проблем и решения задач теории погружений, теории особенностей, геометрической топологии, математической физики, теории интегрируемых гамильтоновых систем итеории несжимаемых течений.Основные методы исследованияИспользуются классические методы и результаты дифференциальной геометрии и алгебраической топологии, в том числе теории препятствий (в главе 1) и теории Морса, теориидифференциальных форм и теории особенностей, маломерной топологии и геометрическойтопологии, теории функций комплексного переменного (в главе 3) и симплектической геометрии (в главах 4 и 5), качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем (в главе4) и общих динамических систем (в главе 5).В главе 3 наряду с классическими методами используются метод оснащенных функцийМорса, ориентированный на изучение топологии пространств морсовских функций и введенный Д.А.

Пермяковым и автором; новое понятие косых цилиндрически-полиэдральныхкомплексов, введенное автором и обобщающее понятие полиэдральных комплексов; результат C.J. Earle и J. Eells (мл.) о гомотопическом типе групп диффеоморфизмов компактныхсвязных поверхностей.Особую роль играет новый метод комплексов функций Морса, разработанный автором исостоящий в сведении изучения топологии бесконечномерных пространств морсовских функций к изучению конечномерного комбинаторного объекта — комплекса оснащенных функцийМорса (по сути являющегося “комплексом морсовских клеточных комплексов”), т.е. к комбинаторным проблемам косых цилиндрически-полиэдральных комплексов; этот метод позволил получить в главе 3 информацию о гомологиях изучаемых пространств морсовскихфункций.В главе 4 используется и развивается метод “меченой молекулы” Болсинова-Фоменко, спомощью которого А.В.

Болсинов и А.Т. Фоменко получили полную траекторную классификацию интегрируемых несжимаемых течений на 3-мерных многообразиях.В главе 5 используются результат C. Bonatti и S. Crovisier из консервативной динамики отопологической транзитивности C 1 -общих симплектоморфизмов компактной поверхности, атакже результат M. Bessa о топологической транзитивности C 1 -общих несжимаемых теченийна компактных 3-мерных многообразиях.Апробация результатовРезультаты диссертации неоднократно излагались на семинаре “Современные геометрические методы” и Кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и прило-ВВЕДЕНИЕ16жений Механико-математического факультета МГУ (1997, 2001, 2012, 2015, 2016), на семинаре по геометрической топологии под руководством члена-корреспондента РАН Е.В.

Характеристики

Список файлов диссертации