Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 3
Текст из файла (страница 3)
когда их можно продеформировать друг в друга впространстве морсовских функций?III) Как описать структуру и топологию пространства F(M ) гладких функций с заданными локальными особенностями на компактном многообразии M ?IV) Описать непрерывные траекторные инварианты на пространстве IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых несжимаемых течений на компактном 3-мерном многообразии Q.Близкая задача: описать непрерывные траекторные инварианты на пространстве IHnondeg (Q)невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы на неособомкомпактном изоэнергетическом 3-мерном многообразии QE ≈ Q (см.
§4.1.1). Эквивалентнымобразом: описать непрерывные инварианты C 0 –сопряженности на пространстве Hnondeg (P )невырожденных гамильтоновых систем на компактной поверхности P .V) Описать дифференцируемые топологические инварианты на пространстве Bexact (Q)точных несжимаемых течений на компактном 3-мерном многообразии Q, обладающие “достаточно хорошей” производной. Эквивалентным образом: описать дифференцируемые инварианты сопряженности на группе Dω (D2 ) симплектоморфизмов круга, или на универсальнойfω (D2 ) этой группы, обладающие “достаточно хорошей” производной.накрывающей DИсторический обзорПерейдем к более подробному описанию истории вопросов, затронутых в диссертации.ВВЕДЕНИЕ8I.
Функции высоты на погруженных и вложенных многообразиях вRNИзвестно, что на любом гладком компактном многообразии M существует функция Морса[104, следствие 6.7]. Более того, функции Морса образуют открытое и плотное подмножество в пространстве C ∞ (M ) всех гладких функций на M (см. [104, следствие 6.8], ср. [109]).Другими словами, “почти все” гладкие функции на гладком компактном многообразии M являются функциями Морса. Классический способ доказательства этого факта (и построенияфункций Морса) основан на понятии функции высоты и состоит в следующем. Рассмотримпроизвольное гладкое компактное многообразие M . Рассмотрим его произвольное погружение α : M → RN в евклидово пространство (такое погружение существует при N = 2n потеореме Уитни [30], где n = dim M ). Теперь на RN рассмотрим семейство гладких функцийLq , являющихся квадратами расстояний до фиксированной точки q ∈ RN : Lq (x) = |x − q|2 .Оказывается, что тогда (в силу теоремы Сарда) для точки q общего положения функцияLq ◦ α будет морсовской функцией на M [104, теорема 6.6].
Функции вида Lq ◦ α при |q| → ∞тесно связаны с функциями высоты при погружении α, т.е. с функциями вида pe ◦ α, гдеpe (x) = hx, ei, e — вектор единичной длины в RN . Из указанного выше наблюдения следует,что любая гладкая функция на многообразии M является функцией высоты при некотором погружении α : M → RN +1 и может быть равномерно аппроксимирована морсовскойфункцией [104, следствие 6.8].R.
Bott и H. Samelson [56] обнаружили и изучили бесконечные серии подмногообразийевклидова пространства, на которых почти все функции высоты являются совершенными,например круглая сфера S n ⊂ Rn+1 и ее обобщения — орбиты присоединенного действияпроизвольных компактных алгебр Ли и др. (см. работу [41] и ссылки в ней).Возникает вопрос о реализуемости данной гладкой функции f на многообразии M в виде функции высоты при каком-либо погружении или вложении α : M → RN в евклидовопространство наименьшей возможной размерности N , например при N = dim M + 1. Отметим, что в случае N = dim M + 1 векторы нормалей к данному погруженному многообразию α(M ) во всех критических точках функции высоты pe ◦ α сонаправлены с вектором±e. Поэтому в случае N = dim M + 1 вопрос о реализуемости можно уточнить так: реализуема ли данная гладкая функция f на n-мерном компактном многообразии M в видефункции высоты при погружении или вложении α : M → Rn+1 с заданными направлениями нормалей ±e (т.е.
с заданными выборами знаков ±) в критических точках функцииf ? Более общая проблема состоит в следующем: описать связные компоненты пространства Immf,+ (M, R3 ) ⊂ Immf (M, R3 ) всех погружений, реализующих данную функцию в видефункции высоты, с заданными направлениями нормалей ±e в критических точках.O. Burlet и V.
Haab [59] показали, что любая функция Морса на любой замкнутой двумерной поверхности M реализуема в виде функции высоты для некоторого погружения поверхности в R3 . Однако ими были обнаружены далеко не все искомые погружения, и уточненныйвопрос о реализуемости функции с заданными направлениями нормалей в критических точках, а также вопрос описания компонент линейной связности пространства всех реализацийоставались нерешенными.Гладкие функции на компактной поверхности M , реализуемые в виде функции высотыpe ◦ α при некотором вложении α : M → R3 , называются высотными функциями.
В тойже работе [59] был получен критерий высотности функции Морса на замкнутой поверхности. При этом, критерий работы [59] разбивает исходную задачу на две: (i) когда окрестности критических уровней функции Морса допускают искомую высотную реализацию прикаком-то вложении; (ii) когда граничные окружности атомов можно согласовать так, чтобыполучилось глобальное вложение.
Впрочем, ответа на первый вопрос в работе [59] не дается.Нетрудно показывается, что любая простая (определение 1.6.6) функция Морса на любойВВЕДЕНИЕ9замкнутой ориентируемой поверхности является высотной.Напомним, что 2-атомом называется функция Морса f : P → R с ровно одним критическим значением c ∈ R на компактной поверхности P , постоянная на каждой граничнойокружности. В.О. Мантуров получил критерий высотности 2-атома [98]. Н.В. Волчанецкий и И.М. Никонов [15] классифицировали все высотные ориентируемые атомы в классемаксимально-симметричных атомов, т.е. таких атомов, группа собственных симметрий которых транзитивно действует на ребрах графа K = f −1 (c).II.
Топологическая классификация и изотопность функций Морса наповерхностяхДве гладкие вещественные функции на гладком многообразии M называют топологическиэквивалентными [45], если их можно получить друг из друга преобразованиями многообразия M и вещественной прямой R, изотопными тождественным. Две гладкие вещественныефункции на M называют эквивалентными [45], если их можно получить друг из друга преобразованиями многообразия M и вещественной прямой R.Обозначим через Fp,q,r (M ) пространство функций Морса на замкнутой поверхности M ,имеющих p критических точек локальных минимумов, q седловых критических точек и r точек локальных максимумов. Две функции Морса на многообразии M назовем изотопными,если их можно продеформировать друг в друга, т.е.
соединить изотопией или непрерывнымпутем, в пространстве функций Морса, снабженном C ∞ -топологией. Ясно, что изотопныефункции Морса на M должны принадлежать одному и тому же пространству Fp,q,r (M ).Кроме (топологической) эквивалентности естественно возникают похожие отношения эквивалентности — (топологическая) сопряженность и (топологическая) послойная эквиваленность (см.
определение 2.2.4 (A, C)). Послойную эквивалентность функций Морса наповерхностях изучал А.Т. Фоменко в связи с изучением траекторной эквивалентности гамильтоновых систем с 1 степенью свободы, лиувиллевой (совместно с Х. Цишангом) и траекторной (совместно с А.В. Болсиновым) эквивалентностей гамильтоновых систем с 2 степенями свободы. А.Т. Фоменко [33, 32, 34, 9, 10, 8], [53, theorem 2.16] описал полный инвариантпослойной эквивалентности в пространстве Fp,q,r (M ) функций Морса на поверхностях в терминах комбинаторных объектов — “атомов” и “молекул” (предложение 2.4.6). Более точно:в работах А.Т.
Фоменко [33, 32] была получена классификация особенностей боттовскихинтегралов на изоэнергетических поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенямисвободы. Позже достаточно удобное и формальное описание этой классификации было данов работе А.В. Болсинова, С.В.
Матвеева, А.Т. Фоменко [8], где были введены понятия атомови молекул.В. И. Арнольд исследовал в связи с изучением 16-й проблемы Гильберта (о взаимномрасположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, или алгебраическихповерхностей) количество классов эквивалентности типичных (следствие 2.4.12) функцийМорса на прямой [2] и на поверхности [3, 44, 45, 4]. В частности, В.И.
Арнольд [45] изучил асимптотику количества классов эквивалентности (= топологической эквивалентности)типичных функций Морса в пространствах Fp,p+r−2,r (S 2 ) функций Морса на сфере, в зависимости от количества q = p + r − 2 седел, при q → ∞.Е.В. Кулинич [95] (см. также [53, theorem 2.6]) вычислил количество классов эквивалентности типичных функций Морса на замкнутой ориентируемой поверхности рода g ≤ 6,имеющих ровно одну точку локального минимума и ровно одну точку локального максимума.J. Harer и D. Zagier [78] вычислили (1986) производящую функцию (см.
следствия 3.3.6(C) и 3.4.2 (C)) для количества εg (q) клеточных разбиений замкнутой связной ориентированной поверхности рода g с r = q + 1 − 2g вершинами, r ребрами, одно из которых отмече-ВВЕДЕНИЕ10но и ориентировано, и одной двумерной клеткой с точностью до сохраняющих ориентациюгомеоморфизмов поверхности. С помощью этого комбинаторного результата они получиливажный топологический результат — вычислили эйлерову характеристику χ(Gsg ) “комплексаленточных графов” Gsg при s > 2 − 2g, а значит, ввиду [124], и χ(Msg ), где Msg — пространство модулей комплексных алгебраических кривых рода g с s > 3 − 3g пронумерованнымипроколами (подробнее см. раздел III ниже).
Заметим, что число εg (q) совпадает с количеством классов послойной эквивалентности (= эквивалентности) правильных (определение2.4.3 (E)) функций Морса f на замкнутой поверхности M рода g, принадлежащих простран0ству F1,q,r(M ) (см. определение 2.2.2 (В)), т.е. имеющих ровно одну точку локального минимума и q седловых точек, причем одна седловая точка оснащена (определение 2.2.2 (В)).Отсюда в следствии 3.3.6 (C) мы получим еще одно топологическое применение формулыХарера–Загье — формулуχ(K) = (−1)q−1 εg (q),0eгде K = K1,q,r = K/(D/D) — компактный косой цилиндрически-полиэдральный комплекс0(M ) гомотопически эквивалентнооснащенных функций Морса такой, что пространство F1,q,r31 2eee = Ke 1,q,r являетсяRP × K или (S ) × K или K (в зависимости от g = 0, 1 или ≥ 2), и Kнакрытием полиэдра K.Полный инвариант изотопности в пространстве гладких функций без критических точек на открытой поверхности (с краем) описан Ю.М.
Бурманом [13, 60] в терминах числавращения.В 1997 г. А. Т. Фоменко поставил вопрос о линейной связности пространств Fp,q,r (M ).Положительный ответ был получен автором (см. теорему 1.6.2 или [129, теорема 4]) для M =S 2 и RP 2 , а в общем случае С. В. Матвеевым [129, теоремы 8 и 8’] и Х. Цишангом [38] в 1998г. (а также В.В. Шарко [40] (1998) и С.И. Максименко [96] (2005)). Более того, С. В. Матвеев[129, теоремы 8 и 8’] доказал линейную связность пространства Fp,q,r (M )extr ⊂ Fp,q,r (M )с фиксироваными критическими точками локальных экстремумов на поверхности M (см.теорему 2.1.1, или теоремы 2.6.1 и 2.6.2).III. Топология и стратификация пространств функций с заданнымиособенностямиГруппы гомологий и гомотопий пространств функций с умеренными особенностями (с допущением не-морсовских особенностей) на окружности изучал В.И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
