Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . . . 214вивалентности KТопология пространств F гладких функций с заданными типами локальныхособенностей на поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.7.1 Основной результат в случае замкнутой поверхности M . .
. . . . . . . 2183.7.2 Построение классифицирующих многообразий и отображений . . . . . 2193.7.3 Сведение к случаю функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.7.4 Связь с мероморфными функциями и конфигурационными пространствами2213.7.5 Случай поверхности M с краем . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.7.6 Примеры: топология и стратификация Максвелла пространств Fq+1,q,1функций Морса на сфере при q = 0, 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.7.7 Выводы: топология и стратификация Максвелла пространств функцийМорса на поверхностях . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254 Продолжимые частичные инварианты C 0 –сопряженности гамильтоновыхсистем на поверхностях2284.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.1.1 Мотивировка: непрерывные траекторные инварианты интегрируемых 3мерных несжимаемых течений и интегрируемых гамильтоновых системна 3-мерных изоэнергетических многообразиях . . . . . . . . . . .
. . . 2314.1.2 Основные типы эквивалентности гамильтоновых систем . . . . . . . . . 2414.1.3 C r –топологии в пространстве гамильтоновых систем, r ≥ 5. Возмущенные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2434.1.4 Инварианты гамильтоновых систем. Гладкие функционалы на пространстве систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.1.5 Постановка вопросов об устойчиво несопряженных системах на атоме,о продолжимости инвариантов на множество возмущенных систем . . . 2464.2 Открытость пространства невырожденных гамильтоновых систем в пространстве всех гамильтоновых систем на поверхности . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 25154.2.14.34.44.5Метки Болсинова-Фоменко (Π–инвариант) на ребрах молекулы Фоменко. Полнота Π–инварианта для простого морсовского гамильтониана . 2524.2.2 Асимптотическое поведение функции периода вблизи морсовских критических точек гамильтониана . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2544.2.3 Грубые метки Болсинова-Фоменко (грубые Λ– и m–инварианты) системна седловом атоме. Кресты и ленточки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.2.4 (Λ, m, c)-аппроксимация функции периода возмущенной системы. Доказательство теоремы 4.2.2 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.2.5 Поведение Π–меток на “старых” и “новых” ребрах молекулы Фоменкопри малом возмущении невырожденной системы . . . . . . . . . . . . . 271Инварианты Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности невырожденных гамильтоновых систем на поверхностях . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.3.1 Метки Болсинова-Фоменко (Λ– и mΛ –инварианты C 0 –сопряженности)систем на седловом атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2734.3.2 Полный инвариант Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности невырожденных систем на поверхности . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2804.3.3 Критерий того, что функция от m–инварианта является инвариантомC 0 –сопряженности, для некоторых атомов малой валентности . . . . . 282Полный относительно–продолжимый инвариант для тривиальных или простых возмущений систем с плоскими атомами . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2904.4.1 Тривиальные возмущения (непрерывные инварианты сопряженности настрате Максвелла) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.4.2 Простые возмущения гамильтоновой системы на плоском седловом атоме2924.4.3 Выводы о продолжимых инвариантах и устойчивой C 0 –несопряженности систем на атоме . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Два типа относительно–продолжимых инвариантов C 0 – и C 1 –сопряженностисистем на седловом атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.5.1 Относительно–продолжимый Λ–инвариант C 0 –сопряженности систем насложном атоме для сложных возмущений . . . . .
. . . . . . . . . . . . 2984.5.2 Относительно–продолжимый m–инвариант C 1 –сопряженности системна бициклическом атоме для бициклических возмущений . . . . . . . . 2995 Дифференцируемые инварианты 3-мерных несжимаемых течений3165.1 Введение . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.2 Дифференцируемые инварианты сопряженности симплектоморфизмов круга . 319fω . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.2.1 Инварианты сопряженности на группе Dfω . . . . . . . . . . . . . . . . 3225.2.2 Дифференцируемые функции на группе D5.2.3 Основной результат . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3235.3 Дифференцируемые инварианты точных несжимаемых течений на 3-мерныхмногообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3245.3.1 Примеры D 0 –инвариантных функционалов на множестве B точных несжимаемых течений . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3245.3.2 Дифференцируемые функционалы на B00 ⊆ B и Hκ⊥ |B00 –связные подмножества B000 множества B00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.3.3 Основной результат . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Заключение331Список литературы333ВведениеАктуальность темыДиссертация посвящена исследованию в области топологии функциональных пространств итопологических инвариантов 3-мерных несжимаемых течений и интегрируемых систем с 1 и2 степенями свободы. В ней разрабатываются новые методы изучения глобального строенияпространств морсовских функций и гамильтоновых систем на компактных поверхностях,которые применяются для изучения топологии этих пространств, структуры разбиения пространств функций на классы топологической эквивалентности и структуры разбиения пространств гамильтоновых систем на классы C 0 -сопряженности, а также для исследованиянепрерывных топологических инвариантов (интегрируемых или произвольных) 3-мерныхнесжимаемых течений и гамильтоновых систем с 2 степенями свободы.Напомним определение морсовской функции.
Пусть f — гладкая действительная функцияна гладком многообразии M . Точка p ∈ M называется критической точкой функции f ,если df (p) = 0. Если мы выберем в окрестности U точки p локальную систему координат(x1 , . . . , xn ), то это условие примет вид∂f∂f(p) = · · · =(p) = 0,1∂x∂xnгде n = dim M . Критическая точка p называется невырожденной или морсовской, если матрица вторых частных производных 2∂ f(p)∂xi ∂xjневырождена. Непосредственно проверяется, что это свойство не зависит от системы координат. Гладкая действительная функция f на многообразии M называется морсовской, есливсе ее критические точки невырождены.
Согласно лемме Морса для любой невырожденнойкритической точки p функции f в некоторой окрестности U этой точки существует такаялокальная система координат (y 1 , . . . , y n ), что y i (p) = 0 при всех i и в U справедливо тождествоf = f (p) − (y 1 )2 − · · · − (y λ )2 + (y λ+1 )2 + · · · + (y n )2 .Число λ называется индексом функции f в критической точке p.Хорошо известно, что геометрическое строение любого гладкого многообразия M определяется морсовскими функциями на нем. Дело в том, что (согласно теории Морса) любаяфункция Морса f на M определяет (неоднозначным образом) клеточное разбиение многообразия M , причем количество клеток размерности λ этого разбиения равно числу критическихточек индекса λ функции f . Этот факт означает, что если у функции Морса на многообразии M “не слишком много” критических точек, то многообразие M устроено “не слишкомсложно”.
Например, отсюда следует известная теорема Риба [104, теорема 4.1], согласно которой многообразие M n , на котором существует функция Морса с ровно двумя критическимиточками, обязательно гомеоморфно стандартной сфере S n (в действительности, эта теорема67ВВЕДЕНИЕостается справедливой и тогда, когда гладкая функция не является морсовской [103, 119]).Важным приложением указанного факта являются слабые неравенства Морса:βλ (M ) ≤ µλ (f ),0 ≤ λ ≤ dim M,где βλ (M ) := dim Hλ (M ; R) — λ-ое число Бетти многообразия M , µλ (f ) — число критическихточек индекса λ функции f . М.
Морс [110] установил более сильные неравенства:Nλ := rank (Hλ (M )) + rank (Tors(Hλ−1 (M ))) ≤ µλ (f ),0 ≤ λ ≤ dim M,где ранг группы есть минимальное количество порождающих элементов.Функции Морса, для которых сильные (соответственно слабые) неравенства Морса обращаются в равенства, называются минимальными (соответственно совершенными). С. Смейл[123] установил, что на любом односвязном многообразии размерности > 5 существует минимальная функция Морса.
Функции Морса на заданном многообразии M , имеющие минимальное число minf {µλ (f )} критических точек каждого индекса λ, называются точными.В.В. Шарко [39] получил условия существования минимальных и точных функций Морса нанеодносвязных многообразиях размерности > 5. Он ввел алгебраические инварианты многообразий, которые позволили уточнить неравенства Морса для неодносвязных многообразий.В работе исследуются следующие пять основных вопросов, каждому из которых посвящена отдельная глава.I) Реализуема ли заданная гладкая функция f на заданном компактном многообразииM в виде функции высоты при каком-либо погружении или вложении α : M → Rn+1 вевклидово пространство Rn+1 , где n = dim M ? Более общая проблема состоит в следующем:описать связные компоненты пространства Immf (M, Rn+1 ) всех погружений, реализующихфункцию f в виде функции высоты.II) Какие бывают гладкие функции на компактных многообразиях, как классифицировать такие функции с точностью до разных типов (топологической) эквивалентности? Когдадве морсовские функции изотопны, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
