Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Щепина(1998, 2011, 2012, МИАН им. В.А. Стеклова), на семинаре по алгебраической топологии подруководством М.М. Постникова (1998, 2012, МГУ), на семинаре под руководством академика РАН В.И. Арнольда (2007, МГУ), на семинаре “Римановы поверхности, алгебры Ли иматематическая физика” под руководством С.М. Натанзона, О.В. Шварцмана и О.К.

Шейнмана (2012, НМУ), на семинаре “Характеристические классы и теория пересечений” подруководством М.Э. Казаряна и С.К. Ландо (2016, ВШЭ), на семинаре по динамическим системам под руководством академика РАН Д.В. Аносова и А.М. Степина (2003, МИАН им.В.А. Стеклова), а также на научно-исследовательских семинарах в университетах Германии(Бохум 1999, Дортмунд 2000, Фрайбург 2001).

Кроме того, результаты докладывались наследующих международных конференциях:• International conference “New Techniques in Topological Quantum Field Theory” (Calgary,Canada, 08.2001),• International conference “Differential equations and related topics” dedicated to Ivan G.Petrovskii (Moscow, Russia, 05-06.2011),• International Geometrical Seminar (Serbia, Zlatibor, 3.09.2012),• International conference “Analysis and singularities” dedicated to the 75th anniversary ofVladimir Igorevich Arnold (Moscow, Russia, 12.2012),• International conference in honour of Lev Pontriagin (Moscow, Russia, 09.1998),• International conference on Braid Groups and their Applications (Banff International Research Station, Canada, 11.2004),• International topological conference “Alexandroff readings — 2012” (MSU, Moscow, 05.2012),• International conference “Knots and links in fluid flows: from helicity to knot energy” (IUM,Moscow, Russia, 04.2015).Структура диссертацииДиссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации.

Работа изложена на 341странице и снабжена 38 рисунками. Общий список литературы включает 151 наименование.ПубликацииОсновные результаты работы изложены в 23 научных публикациях [129]—[151], из которых11 [129]—[139] — статьи из журналов перечня ВАК РФ, написанные без соавторов, и 12[140]—[151] — статьи и тезисы докладов в трудах международных конференций.БлагодарностиАвтор выражает благодарность академику РАН А.Т.

Фоменко, д.ф.м.н. А.В. Болсинову,Dr.Ph.D. G. Hornig, д.ф.м.н. А.С. Мищенко и академику РАН В.И. Арнольду за постановкувопросов и полезные обсуждения, Dr.Habil. H. Zieschang , Д.M. Афанасьеву, Д.А. Пермякову,ВВЕДЕНИЕ17М. Басмановой, к.ф.м.н. Ю.А. Браилову, к.ф.м.н. Е.Л. Лакштанову, к.ф.м.н. Ю.М. Бурману,д.ф.м.н. А.А. Ошемкову, члену-корреспонденту НАН Украины В.В. Шарко , д.ф.м.н. А.В.Чернавскому, д.ф.м.н. Ю.П.

Соловьеву , д.ф.м.н. П.М. Ахметьеву, к.ф.м.н. С.А. Мелихову,д.ф.м.н. С.М. Натанзону, д.ф.м.н. О.В. Шварцману и д.ф.м.н. О.К. Шейнману за полезныеобсуждения, а также Dr.Ph.D. М.Л. Концевичу, Dr.Ph.D. Л.В. Полтеровичу, Dr.Ph.D. D.Peralta-Salas и члену-корреспонденту РАН С.Ю. Немировскому за ценные замечания. Автор признателен всему коллективу кафедры дифференциальной геометрии и приложений засоздание доброжелательной творческой атмосферы, способствующей научной работе.Краткое содержание работыГлава 1 посвящена вопросу о реализуемости данной гладкой функции f на двумерном многообразии M в виде функции высоты при каком-либо погружении α : M → R3 в 3-мерноеевклидово пространство.Основными результатами главы 1 являются теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.7.4, 1.7.5 и, как следствие, новое доказательство предложения 1.7.2 о выворачивании сферы наизнанку. А именно,основными результатами главы 1 являются следующие [129, 130, 131]:• получен критерий того, когда гладкая функция f с конечным числом критическихточек на связной замкнутой ориентируемой поверхности M реализуема в виде функциивысоты при некотором погружении поверхности в 3-мерное евклидово пространствоR3 ; ответ сформулирован в терминах индексов критических точек данной функции f инаправлений (вверх или вниз) векторного поля нормалей к поверхности в этих точках(теорема 1.3.1) [129];• доказано, что любая гладкая функция f с конечным числом критических точек налюбой связной замкнутой неориентируемой поверхности M реализуема в виде функции высоты при некотором погружении поверхности в R3 , причем для любых напередзаданных вложений в R3 достаточно малых окрестностей критических точек, реализующих функцию f как функцию высоты (такие вложения всегда существуют) (теорема1.3.2) [129];• для любой гладкой функции f с конечным числом критических точек на связной замкнутой поверхности M , описано множество связных компонент пространства всехпогружений поверхности в R3 , реализующих данную функцию f в виде функции высоты, при условии что эта функция реализуема в виде функции высоты при погружении(теорема 1.7.4) [129];• доказано, что для любого погружения замкнутой поверхности M в R3 , имеющего морсовскую функцию высоты, любая гладкая деформация этой функции в пространствеморсовских функций реализуется в виде деформации функции высоты при некоторой гладкой деформации заданного погружения, причем пространство всех таких деформаций в пространстве погружений линейно связно (теорема 1.7.5) [129, 130, 131]; вчастности, такие погружения однозначно задаются при помощи графов Кронрода-Рибатипичных морсовских функций на поверхности M с метками ±1 в вершинах, а регулярная гомотопия таких погружений — при помощи последовательности элементарныхперестроек меченых графов Кронрода-Риба (рис.

1.11 и 1.14);• получено новое доказательство хорошо известного факта о том, что пространство всехгладких погружений сферы S 2 в R3 линейно связно; в частности, получено новое ипростое доказательство известного “парадокса Смейла”, что двумерную сферу можно18ВВЕДЕНИЕ“вывернуть наизнанку” в R3 ; описано выворачивание двумерной сферы в R3 , при котором деформация функции высоты является путем общего положения в пространствегладких функций на сфере; это выворачивание полностью задается последовательностью графов Кронрода–Риба с метками ±1 в вершинах и элементарных перестроекэтих графов, показанной на рис. 1.16 и 1.17.Сформулируем эти результаты [129, 130, 131] в виде одной теоремы.Теорема (1.1.4, [129, 130, 131]). (а–1) Пусть f — гладкая функция на замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg рода g, имеющая лишь конечное число критическихточек x1 , .

. . , xN (не обязательно функция Морса). Тогда равенствоNXεk indxk (grad f ) = 0,k=1где εk = ±1,1 ≤ k ≤ N,является необходимым и достаточным условием того, что функцию f можно реализоватькак функцию высоты при некотором погружении поверхности Mg в R3 , таком, что вкаждой критической точке xk (где 1 ≤ k ≤ N ) положительная нормаль к поверхностиMg имеет вид εk e, где e — единичный базисный вертикальный вектор евклидовой системыкоординат в R3 .(а–2) Пусть f — гладкая функция на связной замкнутой неориентируемой двумернойповерхности Mµ рода µ, имеющая лишь конечное число критических точек (не обязательнофункция Морса).

Тогда любое вложение в R3 достаточно малых окрестностей критическихточек, реализующее функцию f как функцию высоты (такие вложения всегда существуют), можно всегда продолжить до погружения всей поверхности Mµ в R3 , реализующегофункцию f как функцию высоты. В частности, любая функция указанного типа на неориентируемой поверхности реализуется как функция высоты при некотором погружении.(а–3) Пусть f — гладкая функция с конечным числом критических точек на замкнутой поверхности M = Mg или Mµ (т.е. ориентируемой или неориентируемой). Фиксируемкакое-нибудь погружение α0 ∈ Immf,+ (M, R3 ), т.е.

погружение M в R3 , реализующее f какфункцию высоты с заданными направлениями нормалей в критических точках. Тогда имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между связными компонентамипространства Immf,+ (M, R3 ) и элементами группы H 1 (M ; Z) ' Z2g или Z2 + Zµ−1 одномерных когомологий поверхности M .(б) Пусть ft : M → R, 0 ≤ t ≤ 1, — гладкий путь в пространстве всех функций Морсана замкнутой поверхности M . Пусть α0 ∈ Immf0 (M, R3 ) — некоторое погружение M в R3 ,реализующее простую функцию Морса f0 как функцию высоты. Тогда существует гладкийпуть αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех погружений M в R3 , такой, чтопри любом t погружение αt реализует функцию ft как функцию высоты.

Пространствовсех таких путей αt ∈ Immft (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, связно.(в) В случае двумерной сферы M = S 2 пространство Imm(S 2 , R3 ) связно. Другими словами, любые два погружения α0 и α1 сферы S 2 в R3 можно соединить гладким путем αt ,0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех гладких погружений сферы в R3 .

Более того, два стандартных вложения α0 и α1 сферы в R3 , имеющие один и тот же образ, но противоположнонаправленные положительные нормали, можно соединить таким путем αt , 0 ≤ t ≤ 1, впространстве погружений, что функции высоты ft погружений αt образуют путь общегоположения, описанный в §1.7.1 и замечании 1.7.11 в терминах перестроек “меченых” графов Кронрода–Риба этих функций, и схематично изображенный на рис.

1.16 и 1.17. Здеськаждая критическая точка функции ft и соответствующая вершина ее графа Кронрода–Риба “помечена” знаком ±1, указывающим направление (вверх или вниз) положительнойнормали к погруженной поверхности в этой точке.ВВЕДЕНИЕ19Глава 2 имеет вспомогательный характер. В ней изучаются вопросы о том, как классифицировать морсовские функции на компактных многообразиях с точностью до разныхтипов (топологической) эквивалентности, и когда две такие функции изотопны, т.е.

когда ихможно продеформировать друг в друга в пространстве таких функций. В частности, получен критерий топологической эквивалентности функций Морса на произвольной компактнойповерхности (теорема 2.3.4), доказана бесконечность количества связных компонент любого пространства Ffix функций Морса на компактной связной поверхности с закрепленнымикритическими точками, если число седел положительно (теорема 2.7.2).Основными результатами главы 2 являются следующие результаты автора [132, 145, 133]:• получен критерий топологической эквивалентности функций Морса на произвольнойкомпактной поверхности (теорема 2.3.4) [132]; получены аналогичные критерии топологической послойной эквиваленности (теорема 2.3.5) и топологической сопряженности(теорема 2.3.6);• получен критерий топологической послойной эквивалентности возмущенных функцийМорса на произвольной компактной поверхности (утверждение 2.5.2) [145]; полученыаналогичные критерии топологической эквивалентности (следствие 2.5.8) и топологической сопряженности (следствие 2.5.9);• доказана бесконечность количества связных компонент любого пространства Ffix функций Морса на компактной связной поверхности с закрепленными критическими точками, если число седел положительно (теорема 2.7.2) [133]; изучена факторгруппа (аименно, найдены наборы образующих и получены оценки на ранг) группы диффеоморфизмов, сохраняющих компоненту связности Fffix данной функции f в пространстве Ffix ,по ее подгруппе, порожденной диффеоморфизмами, сохраняющими какие-либо функции из Fffix (теорема 2.7.5 и ее следствие 2.7.6, теоремы 2.7.11, 2.7.13 и 2.7.14) [133].num,frСформулируем эти результаты в виде двух теорем.

Характеристики

Список файлов диссертации