Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Напомним, что инцидентным R и V отвечают инцидентные r и v. Длякаждого цилиндра V = S 1 × (ck , ck+1 ) фиксируем какую-нибудь ориентацию. Затем, взяввектор grad f в качестве первого вектора положительного репера, рассмотрим индуцированную ориентацию на всех окружностях S 1 × {a} в V , и на всех кривых R из f −1 (ck ), лежащихна нижней границе цилиндра V .Границу любого ребра r определим по формуле∂r = v+ − εr v− ,где v− и v+ — начало и конец ребра r, а знак εr = ±1 указывает, согласованы или неториентации цилиндров V+ и V− на их общей границе R.Теперь выберем малое ε > 0 и построим какое-нибудь погружение α множеств f −1 [ck −ε, ck + ε] в R3 , реализующее f как функцию высоты и продолжающее заданное вложениемалых окрестностей точек x1 , . .
. , xN . Для каждого цилиндра V = S 1 × (ck , ck+1 ) мы имеем погружение окружностей S 1 × {ck+1 − ε} и S 1 × {ck + ε} в горизонтальные плоскостиΠ(ck+1 − ε) и Π(ck + ε). Обозначим через λ(v) разность индексов этих окружностей. Как и вориентируемом случае, верна (по теореме Уитни) следующая лемма.Лемма 1.5.1. Погружение α тогда и только тогда может быть продолжено до погружения неориентируемой поверхности Mµ в R3 , реализующего f как функцию высоты, когдавсе числа λ(v) равны нулю.Сопоставление v 7→ λ(v) может рассматриваться как нульмерная цепьXλ(v)vv∈ΓГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ43графа Γ.
Эту цепь обозначим через λα и назовем препятствием к продолжению погруженияα на всю неориентируемую поверхность Mµ .Лемма 1.5.2 (Основная). Сумма всех чисел λ(v) четна.Доказательство см. ниже.Следствие. Препятствие λα является границей: λα = ∂β.Доказательство следствия. Ввиду связности и неориентируемости поверхности Mµ (а также — конечности графа Γ) группа H0 (Γ, ∂) нулемерных гомологий графа Γ изоморфна группеZ2 . При этом 0–цепьXλ=λ(v)vv∈Γявляется границей в том и только в том случае, когда сумма всех чисел λ(v) четна. Такимобразом, лемма 1.5.2 гарантирует существование 1–цепи β такой, что λα = ∂β.
Следствиедоказано.Доказательство леммы 1.5.2. По определению чисел λ(v) их сумма равнаLXindΠ(ck −ε) α(f −1 (ck − ε)) − indΠ(ck +ε) α(f −1 (ck + ε)) .k=1Поэтому лемма будет доказана, если мы проверим, что k–ое слагаемое Sk этой суммы сравнимо по модулю 2 с числом связных компонент границы ∂Pk множества Pk = f −1 [ck − ε, ck +ε], 1 ≤ k ≤ N (так как объединение всех множеств Pk замкнуто).eРис.
1.6. Простые атомы A, B и BРис. 1.7. Замкнутые кривые с точками возвратаeдля атомов A, B и BНачнем проверку с простого частного случая, когда множество Pk содержит только однукритическую точку x функции f , причем эта точка — морсовская. В этом случае Pk состоитиз некоторого числа цилиндров и одного из множеств, изображенных на рис. 1.6. Это —e (т.е. атомы с одной вершиной). См. [10]. Очевидно, что числопростые атомы A, B и Bсвязных компонент границы ∂Pk является четным только в неориентируемом случае (дляe оно равно 1, 3 и 2).
В то же время, число Sk , т.е. k–ое слагаемое в“атомов” A, B и Bвыписанной сумме, сравнимо по модулю 2 с индексом плоской замкнутой кривой, имеющейe показаны на рис. 1.7. Так какточки возврата. Эти кривые, отвечающие атомам A, B и B,этот индекс равен 1, −1 и 2indΠ(ck ) α(γ) соответственно, то в описанном частном случае (т.е.в морсовском) лемма доказана.В общем случае (когда функция не обязательно морсовская) мы рассмотрим малую деформацию αt |Pk → R3 погружения α = α0 , тождественную на границе ∂Pk и превращающуюфункцию высоты в простую функцию Морса. То есть, имеющую на каждом критическомуровне только одну критическую точку. Поскольку погружение не изменилось на границе∂Pk , а для простой функции Морса (определение 1.6.6) доказываемое утверждение уже доказано (см.
описанный выше частный случай), то лемма полностью доказана.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ44Далее, рассуждения в точности такие же, как и в ориентируемом случае. Для произвольXной 1–цепиβ=β(r)r,где β(r) ∈ Z,r∈Γпостроим новое погружение αe множеств f −1 [ck − ε, ck + ε], реализующее f как функцию высоты и совпадающее с α в окрестности каждой критической точки. А именно, — добавим укаждой кривой α(R) в соответствующей горизонтальной плоскости Π(ck ) несколько петель,алгебраическое число которых равно β(r) (рис. 1.5). Зададим новое погружение αe так, чтобы на кривых R оно было согласовано с погружением α|R с учетом добавленных петель.Исходная цепь β называется в этом случае различающей цепью и обозначается β(α, αe).Лемма 1.5.3.
Имеет место равенство: λαe = λα + ∂β(α, αe).Доказательство леммы точно такое же, как и в ориентируемом случае.Окончание доказательства теоремы 1.3.2. По следствию из леммы 1.5.2, препятствие является границей, т.е. λα = −∂β. Построим новое погружение αe, взяв различающую цепьβ(α, αe) = β. Тогда, согласно лемме 1.5.3, λαe = 0, так что (по лемме 1.5.1) погружение αe продолжается до некоторого погружения неориентируемой поверхности Mµ в R3 , реализующегоf как функцию высоты. Тем самым, теорема 1.3.2 полностью доказана.А следовательно, — напомним еще раз, — доказан пункт “в” теоремы 1.1.2, как очевидноеследствие теоремы 1.3.2.Таким образом, в ориентируемом случае, вопрос о реализации функции f в виде функциивысоты решается путем анализа интересного уравненияNXεk indxk (grad f ) = 0,k=1дополняющего стандартное тождествоNXindxk (w) = χ(Mg ) = 2 − 2g.k=1Было бы очень интересно получить другие геометрические или топологические интерпретации первого уравнения (т.е.
критерия реализуемости).На рис. 1.8 изображено погружение тора в R3 , реализующее в виде функции высоты построенную выше функцию K3 с ровно тремя критическими точками (один минимум, одинмаксимум и одно вырожденное седло). Погружение наглядно изображено последовательностью сечений тора горизонтальными плоскостями, поднимающимися снизу вверх.1.6Изотопность функций Морса на сфере и проективнойплоскости. Приведение функций к каноническому видуОпределение 1.6.1. Две функции Морса f0 и f1 на гладком многообразии M n назовемизотопными, если их можно соединить гладким путем ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всехфункций Морса на M n .Рассмотрим (связную) замкнутую двумерную поверхность M = M 2 , и обозначим черезFp,q (M ) совокупность всех функций Морса на этой поверхности, имеющих фиксированноечисло p локальных минимумов и фиксированное число q локальных максимумов.
Ясно, чтоГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ45Рис. 1.8. Линии уровня функции высоты K3 для погружения тора в R3изотопные функции Морса принадлежат одному и тому же пространству Fp,q (M ). Заметим,что число r седловых точек функции из пространства Fp,q (M ) определяется поверхностьюM и числами p, q однозначно, по формуле эйлеровой характеристики p + q − r = χ(M ).Нетрудно проверить также, что при любых фиксированных p, q ≥ 1 пространство Fp,q (M ) непусто. Оказывается, что пространство Fp,q (M ) линейно связно, т.е. любые две функции иээтого пространства изотопны.
Доказательство этого известного факта мы приведем в параграфе 2.6. В дальнейшем, говоря о связности, мы всегда имеем в виду линейную связность.num(M ) пространство функций Морса на поверхности M со следующиОбозначим через Fp,qми свойствами:1) они имеют p локальных минимумов и q локальных максимумов,2) фиксирован порядок критических точек на каждом из трех множеств критическихточек одного типа: минимумов, максимумов и седел.Такие функции можно назвать нумерованными функциями Морса. В частности, каждойnumфункции из Fp,q (M ), где p, q ≥ 1, отвечает ровно p!q!(p + q − χ)! функций из Fp,q(M ), гдеχ = χ(M ) = 2−2g или 2−µ — эйлерова характеристика поверхности M = Mg или Mµ . Такимnumобразом, пространство Fp,q(M ) является p!q!(p + q − χ)!–листным накрытием над пространством Fp,q (M ).
Отметим, что Fp,q (M ) можно рассматривать как однородное пространствоnumFp,q(M )/(Sp × Sq × Sp+q−χ ) по действию групп перестановок критических точек каждоготипа. При этом, любая изотопия ft , 0 ≤ t ≤ 1, функций Морса, лежащих в пространствеnumFp,q (M ), однозначно определяет изотопию в накрывающем пространстве Fp,q(M ), такую,что при непрерывном изменении расположения критических точек на поверхности сохраняется их отношение порядка. При доказательстве предложения 1.7.2 о регулярной гомотопности любых двух погружений сферы в R3 (см. параграф 1.7) нам понадобится следующееутверждение.Теорема 1.6.2. Если поверхность M является либо двумерной сферой S 2 , либо проективnumной плоскостью RP 2 , то накрывающее пространство Fp,q(M ) линейно связно при любыхфиксированных значениях p и q.Замечание 1.6.3.
Выберем некоторое подмножество C в множестве всех критических тоnumчек нумерованной функции Морса. Рассмотрим подпространство Fp,q(M ; C) в пространствеГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ46num(M ), состоящее из всех функций Морса с p минимумами и q максимумами на поверхFp,qности M , для которых все критические точки из набора C предполагаются фиксированными точками на поверхности, а на множествах остальных критических точек каждого типапредполагаются фиксированными отношения порядка. Заметим, что из связности подпроnumnumстранства Fp,q(M ; C) следует связность пространства Fp,q(M ). В случае сферы нетруднодоказать следующее утверждение.num(S 2 ; C), |C| ≤ 3, нумерованныхТеорема 1.6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
