Главная » Просмотр файлов » Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей

Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 15

Файл №1097915 Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей) 15 страницаТопология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915) страница 152019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В случае двумерной сферы пространство Fp,qфункций Морса с фиксированным расположением не более чем трех критических точек,линейно связно при любых значениях p и q.Мы выведем теоремы 1.6.2 и 1.6.4 из следующего основного утверждения о пространстведля произвольной замкнутой поверхности M (то есть произвольного рода).Рассмотрим группу D(M ) всех автоморфизмов поверхности M , т.е. всех диффеоморфизмов этой поверхности на себя, сохраняющих ориентацию, если поверхность ориентируема.

Группа D(M ) естественно действует (справа) на пространстве Fp,q (M ) функций Морса,φ : f 7→ f ◦ φ, f ∈ Fp,q (M ), φ ∈ D(M ). Рассмотрим однородное пространство Fp,q (M )/D(M ),numсостоящее из орбит этого действия, и аналогичное однородное пространство Fp,q(M )/D(M ).numFp,q(M )Предложение 1.6.5. Пусть M — любая замкнутая двумерная поверхность (ориентируеnum(M )/D(M ) линейно связмая или неориентируемая). Тогда однородное пространство Fp,qnum(M ) суно.

Другими словами, для любых двух функций Морса f0 и f из пространства Fp,qществует гладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса, и существуетдиффеоморфизм φ ∈ D(M ) поверхности на себя (сохраняющий ориентацию в ориентируемом случае), такие, что f1 = f ◦ φ.Доказательство теоремы 1.6.2. Известно [37], что любой автоморфизм φ ∈ D(M ) сферыили проективной плоскости изотопен тождественному, т.е. его можно соединить гладкимпутем φt , 1 ≤ t ≤ 2, φ1 = φ, φ2 = id, в пространстве всех диффеоморфизмов с тождественнымдиффеоморфизмом id поверхности на себя. В частности, беря в качестве φ автоморфизм изnumпредложения 1.6.5, мы получаем путь ft , 0 ≤ t ≤ 2, в пространстве Fp,q(M ), соединяющийисходные функции Морса f0 и f2 = f в пространстве всех функций Морса, где ft = f1 ◦ φt ,1 ≤ t ≤ 2.

Теорема 1.6.2 доказана.Доказательство теоремы 1.6.4. Согласно предложению 1.6.5, для любых двух нумерованnumnumных функций Морса f0 , f ∈ Fp,q(S 2 ) существует путь ft ∈ Fp,q(S 2 ), 0 ≤ t ≤ 1, и автоморфизм φ ∈ D(S 2 ), такие, что f1 = f ◦ φ. Как уже отмечалось, путем замены автоморфизма φна другой автоморфизм из пространства D(S 2 ) можно считать, что изотопия ft , 0 ≤ t ≤ 1,оставляет на месте все критические точки. При этом автоморфизм φ по определению оставляет на месте все точки набора C.Воспользуемся теперь следующим фактом.

Любой автоморфизм φ = φ0 ∈ D(S 2 ) сферы,оставляющий на месте каждую из выделенных точек, число которых не более трех, можносоединить с тождественным автоморфизмом φ1 = id некоторым путем φt ∈ D(S 2 ), 0 ≤ t ≤1, φ0 = φ, в пространстве всех автоморфизмов, оставляющих на месте выделенные точки.Этот факт следует из связности пространства всех путей с фиксированными концами насфере или диске. Из этого факта следует, что полученный автоморфизм φ можно соединитьпутем с тождественным автоморфизмом, при котором все выделенные критические точки изnumподмножества C остаются неподвижными. Таким образом, пространство Fp,q(S 2 ; C), |C| ≤ 3,линейно связно. Теорема 1.6.4 доказана.Остальная часть данного параграфа посвящена доказательству предложения 1.6.5, в котором мы приводим любую функцию Морса к каноническому виду.

Нам понадобятся следующие два определения.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ47Определение 1.6.6. Функцию Морса f на M назовем простой, если в каждой связнойкомпоненте ее линии уровня содержится не более одной критической точки.Определение 1.6.7. Гладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса f наM будем называть путем общего положения, если при каждом t, 0 ≤ t ≤ 1, кроме конечногочисла значений t1 , . . . , tN , функция Морса ft является простой, а при любом t = ti функцияft имеет ровно одну связную компоненту линии уровня, в которой содержится более однойкритической точки, причем число критических точек на этой связной компоненте равнодвум.Доказательство предложения 1.6.5.

ОРИЕНТИРУЕМЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть M = Mg — замкнутая ориентируемая поверхность и f0 — произвольная функция Морса на этой поверхности.Для каждой гладкой функции f на M рассмотрим ее граф Кронрода–Риба W = Wf (молекулу), т.е. базу расслоения (точнее, слоения) σ = σf : M → W поверхности M на связныекомпоненты линий уровня функции f . Итак, граф Кронрода–Риба изображает пространствосвязных компонент линий уровня функции. На этом графе корректно определена функцияf 0 = f ◦ σ −1 и имеется естественная ориентация, показывающая направление роста этойфункции. Ясно, что в случае простой функции Морса f на ориентируемой поверхности всевершины графа Кронрода–Риба Wf имеют кратность 1 или 3, причем для каждой вершиныкратности 3 имеется ребро, входящее в эту вершину, и ребро, выходящее из нее.

Отметим,что концевым вершинам отвечают точки максимума или минимума f , а вершинам кратности 3 отвечают особые линии уровня функции f , содержащие седловую точку. Верна итеорема реализации, а именно: любой связный ориентированный граф W указанного вида,не имеющий ориентированных циклов, является графом Кронрода–Риба некоторой простойфункции Морса на замкнутой поверхности.

При этом род g поверхности Mg совпадает сродом графа W .Пусть f — нумерованная простая функция Морса, т.е. на каждом из трех множеств критических точек одного типа — минимумов, максимумов и седел — фиксировано отношениепорядка, или нумерация. Тогда при проекции σ : M → W поверхности на граф Кронрода–Риба нумерация критических точек функции f перейдет в некоторую нумерацию вершинграфа Кронрода–Риба W .

Обозначим полученный нумерованный граф Кронрода–Риба через W num = Wfnum . Итак, для нумерованного графа Кронрода–Риба фиксирован порядокна каждом из трех множеств вершин одного типа — 1) вершины кратности 1 с выходящимребром, 2) вершины кратности 1 с входящим ребром, 3) вершины кратности 3. Отметим ещедва свойства графа Кронрода–Риба Wf для простой функции Морса f , которые докажемниже.Лемма 1.6.8 (о графе Кронрода–Риба простой функции Морса).

а) Пусть f — нумерованная простая функция Морса на замкнутой ориентируемой поверхности M = Mg . Тогдасуществует вложение i : W num ,→ M нумерованного графа Кронрода–Риба W num = Wfnum вповерхность со следующими свойствами.1) При отображении i : W num ,→ M нумерация вершин графа W num переходит в нумерацию критических точек функции f .2) σ ◦ i = idW (и, значит, i ◦ σ|i(W ) = idi(W ) ), где σ : M → W — естественная проекция.numб) Подмножество в пространстве Fp,q(M )/D(M ), которому отвечают нумерованныепростые функции Морса f на M = Mg с одним и тем же (фиксированным) нумерованнымграфом Кронрода–Риба Wf = W , линейно связно.Пусть p и q — число локальных минимумов и число локальных максимумов функцииf0 .

Обозначим через W (g, p, q) граф, составленный из g окружностей, соединенных последовательно отрезками, и имеющий p нижних концов и q верхних концов. См. рис. 1.9. ЭтотГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ48Рис. 1.9. Граф W (g, p, q)граф однозначно определяется числами p и q. Фиксируем вложение M в R3 , при которомфункция высоты k является простой функцией Морса и ее граф Кронрода–Риба совпадаетс графом W (g, p, q). Докажем сначала более слабое утверждение, то есть, что существуетгладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса и сохраняющий ориентациюдиффеоморфизм φ ∈ D(M ) поверхности на себя, такие, что f1 = k ◦ φ (без учета порядка намножестве критических точек).

Заметим, что без ограничения общности мы можем считать,что исходная функция Морса f0 является простой.Рис. 1.10. Окрестности линий уровня с двумякритическими точкамиРис. 1.11. Допустимые перестройки графаКронрода-Риба функции МорсаРассмотрим пять простейших типов особенностей I, II, III, IV, V, возникающих у непростых функций Морса f на поверхности M , для которых некоторая связная компоненталинии уровня f −1 (c) содержит две критические точки (см. рис. 1.10). На рис. 1.10 показаны вложения в R3 соответствующих окрестностей особых линий уровня (т.е.

“атомов”)P = f −1 [c − ε, c + ε], при которых функция f является функцией высоты. Нетрудно построить гладкую деформацию ft : P → R, f0 = f , функции f , при которой эта функция Морсастановится простой, а ее значения в критических точках переставляются, скажем, имеют видc − t и c + t. На рис. 1.11 показаны пять соответствующих перестроек графа Кронрода–Риба,которые мы будем называть допустимыми.Лемма 1.6.9 (о приведении графа Кронрода–Риба к каноническому виду). Пусть W —граф Кронрода–Риба простой функции Морса f0 ∈ Fp,q (Mg ). Тогда существует конечнаяпоследовательность допустимых перестроек этого графа, приводящая его к каноническомувиду W (g, p, q).Доказательство леммы 1.6.8. Утверждение “а” очевидно.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ49Докажем пункт “б”.

Пусть f0 и f — две простые функции Морса на поверхности Mg ,которым отвечает один и тот же ориентированный граф Кронрода–Риба W . Это значит,что имеется изоморфизм ψ 0 : W0 → W между ориентированным графом Кронрода–РибаW0 функции f0 и ориентированным графом Кронрода–Риба W функции f . Изоморфизмψ 0 мы будем рассматривать как гомеоморфизм между соответствующими топологическими пространствами W0 и W . Легко видеть, что этот гомеоморфизм обладает следующимсвойством. Для любых двух вложений i0 : W0 ,→ M и i : W ,→ M графов Кронрода–Риба вповерхность (см.

пункт а) гомеоморфизм i◦ψ 0 ◦i−10 между их образами i0 (W0 ) и i(W ) продолжается до некоторого послойного гомеоморфизма ψ : M → M , сохраняющего ориентациюповерхности M . Под послойным гомеоморфизмом мы понимаем гомеоморфизм, сохраняющий слоение поверхности M на связные компоненты линий уровня, т.е. удовлетворяющийравенству σ ◦ ψ = ψ 0 ◦ σ0 , где σ0 : M → W0 , σ : M → W — естественные проекции, отвечающие функциям f0 и f . Нетрудно показать, что послойный гомеоморфизм ψ : M → M можнонемного пошевелить так, чтобы он стал гладким, а значит, ψ ∈ D(M ).Итак, на поверхности M имеются две функции Морса f0 и f1 = f ◦ ψ, имеющие одни ите же связные компоненты линий уровня и одинаковое направление роста функции. Легковидеть, что пространство таких функций линейно связно: имеется гладкая гомотопия ft ,0 ≤ t ≤ 1, между функциями f0 и f1 , в процессе которой функция ft остается морсовскойна всей поверхности M .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее