Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В случае двумерной сферы пространство Fp,qфункций Морса с фиксированным расположением не более чем трех критических точек,линейно связно при любых значениях p и q.Мы выведем теоремы 1.6.2 и 1.6.4 из следующего основного утверждения о пространстведля произвольной замкнутой поверхности M (то есть произвольного рода).Рассмотрим группу D(M ) всех автоморфизмов поверхности M , т.е. всех диффеоморфизмов этой поверхности на себя, сохраняющих ориентацию, если поверхность ориентируема.
Группа D(M ) естественно действует (справа) на пространстве Fp,q (M ) функций Морса,φ : f 7→ f ◦ φ, f ∈ Fp,q (M ), φ ∈ D(M ). Рассмотрим однородное пространство Fp,q (M )/D(M ),numсостоящее из орбит этого действия, и аналогичное однородное пространство Fp,q(M )/D(M ).numFp,q(M )Предложение 1.6.5. Пусть M — любая замкнутая двумерная поверхность (ориентируеnum(M )/D(M ) линейно связмая или неориентируемая). Тогда однородное пространство Fp,qnum(M ) суно.
Другими словами, для любых двух функций Морса f0 и f из пространства Fp,qществует гладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса, и существуетдиффеоморфизм φ ∈ D(M ) поверхности на себя (сохраняющий ориентацию в ориентируемом случае), такие, что f1 = f ◦ φ.Доказательство теоремы 1.6.2. Известно [37], что любой автоморфизм φ ∈ D(M ) сферыили проективной плоскости изотопен тождественному, т.е. его можно соединить гладкимпутем φt , 1 ≤ t ≤ 2, φ1 = φ, φ2 = id, в пространстве всех диффеоморфизмов с тождественнымдиффеоморфизмом id поверхности на себя. В частности, беря в качестве φ автоморфизм изnumпредложения 1.6.5, мы получаем путь ft , 0 ≤ t ≤ 2, в пространстве Fp,q(M ), соединяющийисходные функции Морса f0 и f2 = f в пространстве всех функций Морса, где ft = f1 ◦ φt ,1 ≤ t ≤ 2.
Теорема 1.6.2 доказана.Доказательство теоремы 1.6.4. Согласно предложению 1.6.5, для любых двух нумерованnumnumных функций Морса f0 , f ∈ Fp,q(S 2 ) существует путь ft ∈ Fp,q(S 2 ), 0 ≤ t ≤ 1, и автоморфизм φ ∈ D(S 2 ), такие, что f1 = f ◦ φ. Как уже отмечалось, путем замены автоморфизма φна другой автоморфизм из пространства D(S 2 ) можно считать, что изотопия ft , 0 ≤ t ≤ 1,оставляет на месте все критические точки. При этом автоморфизм φ по определению оставляет на месте все точки набора C.Воспользуемся теперь следующим фактом.
Любой автоморфизм φ = φ0 ∈ D(S 2 ) сферы,оставляющий на месте каждую из выделенных точек, число которых не более трех, можносоединить с тождественным автоморфизмом φ1 = id некоторым путем φt ∈ D(S 2 ), 0 ≤ t ≤1, φ0 = φ, в пространстве всех автоморфизмов, оставляющих на месте выделенные точки.Этот факт следует из связности пространства всех путей с фиксированными концами насфере или диске. Из этого факта следует, что полученный автоморфизм φ можно соединитьпутем с тождественным автоморфизмом, при котором все выделенные критические точки изnumподмножества C остаются неподвижными. Таким образом, пространство Fp,q(S 2 ; C), |C| ≤ 3,линейно связно. Теорема 1.6.4 доказана.Остальная часть данного параграфа посвящена доказательству предложения 1.6.5, в котором мы приводим любую функцию Морса к каноническому виду.
Нам понадобятся следующие два определения.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ47Определение 1.6.6. Функцию Морса f на M назовем простой, если в каждой связнойкомпоненте ее линии уровня содержится не более одной критической точки.Определение 1.6.7. Гладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса f наM будем называть путем общего положения, если при каждом t, 0 ≤ t ≤ 1, кроме конечногочисла значений t1 , . . . , tN , функция Морса ft является простой, а при любом t = ti функцияft имеет ровно одну связную компоненту линии уровня, в которой содержится более однойкритической точки, причем число критических точек на этой связной компоненте равнодвум.Доказательство предложения 1.6.5.
ОРИЕНТИРУЕМЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть M = Mg — замкнутая ориентируемая поверхность и f0 — произвольная функция Морса на этой поверхности.Для каждой гладкой функции f на M рассмотрим ее граф Кронрода–Риба W = Wf (молекулу), т.е. базу расслоения (точнее, слоения) σ = σf : M → W поверхности M на связныекомпоненты линий уровня функции f . Итак, граф Кронрода–Риба изображает пространствосвязных компонент линий уровня функции. На этом графе корректно определена функцияf 0 = f ◦ σ −1 и имеется естественная ориентация, показывающая направление роста этойфункции. Ясно, что в случае простой функции Морса f на ориентируемой поверхности всевершины графа Кронрода–Риба Wf имеют кратность 1 или 3, причем для каждой вершиныкратности 3 имеется ребро, входящее в эту вершину, и ребро, выходящее из нее.
Отметим,что концевым вершинам отвечают точки максимума или минимума f , а вершинам кратности 3 отвечают особые линии уровня функции f , содержащие седловую точку. Верна итеорема реализации, а именно: любой связный ориентированный граф W указанного вида,не имеющий ориентированных циклов, является графом Кронрода–Риба некоторой простойфункции Морса на замкнутой поверхности.
При этом род g поверхности Mg совпадает сродом графа W .Пусть f — нумерованная простая функция Морса, т.е. на каждом из трех множеств критических точек одного типа — минимумов, максимумов и седел — фиксировано отношениепорядка, или нумерация. Тогда при проекции σ : M → W поверхности на граф Кронрода–Риба нумерация критических точек функции f перейдет в некоторую нумерацию вершинграфа Кронрода–Риба W .
Обозначим полученный нумерованный граф Кронрода–Риба через W num = Wfnum . Итак, для нумерованного графа Кронрода–Риба фиксирован порядокна каждом из трех множеств вершин одного типа — 1) вершины кратности 1 с выходящимребром, 2) вершины кратности 1 с входящим ребром, 3) вершины кратности 3. Отметим ещедва свойства графа Кронрода–Риба Wf для простой функции Морса f , которые докажемниже.Лемма 1.6.8 (о графе Кронрода–Риба простой функции Морса).
а) Пусть f — нумерованная простая функция Морса на замкнутой ориентируемой поверхности M = Mg . Тогдасуществует вложение i : W num ,→ M нумерованного графа Кронрода–Риба W num = Wfnum вповерхность со следующими свойствами.1) При отображении i : W num ,→ M нумерация вершин графа W num переходит в нумерацию критических точек функции f .2) σ ◦ i = idW (и, значит, i ◦ σ|i(W ) = idi(W ) ), где σ : M → W — естественная проекция.numб) Подмножество в пространстве Fp,q(M )/D(M ), которому отвечают нумерованныепростые функции Морса f на M = Mg с одним и тем же (фиксированным) нумерованнымграфом Кронрода–Риба Wf = W , линейно связно.Пусть p и q — число локальных минимумов и число локальных максимумов функцииf0 .
Обозначим через W (g, p, q) граф, составленный из g окружностей, соединенных последовательно отрезками, и имеющий p нижних концов и q верхних концов. См. рис. 1.9. ЭтотГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ48Рис. 1.9. Граф W (g, p, q)граф однозначно определяется числами p и q. Фиксируем вложение M в R3 , при которомфункция высоты k является простой функцией Морса и ее граф Кронрода–Риба совпадаетс графом W (g, p, q). Докажем сначала более слабое утверждение, то есть, что существуетгладкий путь ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве всех функций Морса и сохраняющий ориентациюдиффеоморфизм φ ∈ D(M ) поверхности на себя, такие, что f1 = k ◦ φ (без учета порядка намножестве критических точек).
Заметим, что без ограничения общности мы можем считать,что исходная функция Морса f0 является простой.Рис. 1.10. Окрестности линий уровня с двумякритическими точкамиРис. 1.11. Допустимые перестройки графаКронрода-Риба функции МорсаРассмотрим пять простейших типов особенностей I, II, III, IV, V, возникающих у непростых функций Морса f на поверхности M , для которых некоторая связная компоненталинии уровня f −1 (c) содержит две критические точки (см. рис. 1.10). На рис. 1.10 показаны вложения в R3 соответствующих окрестностей особых линий уровня (т.е.
“атомов”)P = f −1 [c − ε, c + ε], при которых функция f является функцией высоты. Нетрудно построить гладкую деформацию ft : P → R, f0 = f , функции f , при которой эта функция Морсастановится простой, а ее значения в критических точках переставляются, скажем, имеют видc − t и c + t. На рис. 1.11 показаны пять соответствующих перестроек графа Кронрода–Риба,которые мы будем называть допустимыми.Лемма 1.6.9 (о приведении графа Кронрода–Риба к каноническому виду). Пусть W —граф Кронрода–Риба простой функции Морса f0 ∈ Fp,q (Mg ). Тогда существует конечнаяпоследовательность допустимых перестроек этого графа, приводящая его к каноническомувиду W (g, p, q).Доказательство леммы 1.6.8. Утверждение “а” очевидно.ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ49Докажем пункт “б”.
Пусть f0 и f — две простые функции Морса на поверхности Mg ,которым отвечает один и тот же ориентированный граф Кронрода–Риба W . Это значит,что имеется изоморфизм ψ 0 : W0 → W между ориентированным графом Кронрода–РибаW0 функции f0 и ориентированным графом Кронрода–Риба W функции f . Изоморфизмψ 0 мы будем рассматривать как гомеоморфизм между соответствующими топологическими пространствами W0 и W . Легко видеть, что этот гомеоморфизм обладает следующимсвойством. Для любых двух вложений i0 : W0 ,→ M и i : W ,→ M графов Кронрода–Риба вповерхность (см.
пункт а) гомеоморфизм i◦ψ 0 ◦i−10 между их образами i0 (W0 ) и i(W ) продолжается до некоторого послойного гомеоморфизма ψ : M → M , сохраняющего ориентациюповерхности M . Под послойным гомеоморфизмом мы понимаем гомеоморфизм, сохраняющий слоение поверхности M на связные компоненты линий уровня, т.е. удовлетворяющийравенству σ ◦ ψ = ψ 0 ◦ σ0 , где σ0 : M → W0 , σ : M → W — естественные проекции, отвечающие функциям f0 и f . Нетрудно показать, что послойный гомеоморфизм ψ : M → M можнонемного пошевелить так, чтобы он стал гладким, а значит, ψ ∈ D(M ).Итак, на поверхности M имеются две функции Морса f0 и f1 = f ◦ ψ, имеющие одни ите же связные компоненты линий уровня и одинаковое направление роста функции. Легковидеть, что пространство таких функций линейно связно: имеется гладкая гомотопия ft ,0 ≤ t ≤ 1, между функциями f0 и f1 , в процессе которой функция ft остается морсовскойна всей поверхности M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
