Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 22
Текст из файла (страница 22)
вопросы (Q1) и (Q2)) мы заодно изучим похожие отношения эквивалентности — (топологическую) сопряженность и (топологическую)послойную эквиваленность функций Морса на поверхностях. Послойную эквивалентностьизучал А.Т. Фоменко в связи с изучением орбитальной эквивалентности гамильтоновых систем с 1 степенью свободы, лиувиллевой (совместно с Х. Цишангом) и орбитальной (совместно с А.В.
Болсиновым) эквивалентностей гамильтоновых систем с 2 степенями свободы.Мы изучим указанные вопросы классификации не только для самих пространств функцийМорса, но и для их конечнолистных накрытий (пространств функций Морса с нумерованными и оснащенно-нумерованными критическими точками), а также для их подпространств(пространств функций Морса, некоторые критические точки которых закреплены, т.е. фиксированы на поверхности).Дадим краткий исторический обзор.
ПустьFp,q,r (M )— пространство гладких функций на связной замкнутой поверхности M , имеющих p точеклокальных минимумов, q седловых критических точек и r точек локальных максимумов,снабженное C ∞ -топологией, где p > 0, q ≥ 0, r > 0, p − q + r = χ(M ). Пусть D0 (M ) —компонента единицы в группе D(M ) = Diff + (M ) сохраняющих ориентацию (если поверхность M ориентируема) диффеоморфизмов M . Группа D0 (R) × D(M ) действует на Fp,q,r (M )“лево-правыми заменами координат”. Орбиты этого действия суть классы эквивалентностифункций Морса, а орбиты действия подгруппы D0 (R) × D0 (M ) — классы топологическойэквивалентности функций Морса.Перечислим известные нам результаты других авторов о классификации функций Морсас точностью до следующих отношений эквивалентности: послойной эквивалентности, топологической (послойной) эквивалентности, изотопности (определение 1.6.1) в пространствеFp,q,r (M ).(R1) А.Т.
Фоменко [33, 32, 34, 9, 10, 8], [53, theorem 2.16] описал полный инвариант послойной эквивалентности в пространстве Fp,q,r (M ) функций Морса на поверхностях в терминахкомбинаторных объектов — “атомов” и “молекул” (предложение 2.4.6). Более точно: в работахА.Т. Фоменко [33, 32] была получена классификация особенностей боттовских интегралов наизоэнергетических поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Позжедостаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано в работе А.В.Болсинова, С.В. Матвеева, А.Т. Фоменко [8], где были введены понятия атомов и молекул.(R2) В 1997 г. А.
Т. Фоменко поставил вопрос о линейной связности пространства Fp,q,r (M ).Положительный ответ был получен автором (см. теорему 1.6.2 или [129, теорема 4]) дляM = S 2 , RP 2 , С. В. Матвеевым и Х. Цишангом [38] (1998) в общем случае (а также В.В.Шарко [40] (1998) и С.И. Максименко [96] (2005)). Более того, С.
В. Матвеев (см. теорему 2.1.1, или теоремы 2.6.1 и 2.6.2, или [129, теоремы 8 и 8’]) доказал линейную связностьпространства Fp,q,r (M )extr ⊂ Fp,q,r (M ) функций Морса с фиксированными критическими точками локальных экстремумов на поверхности M .(R3) Полный инвариант изотопности в пространстве гладких функций без критическихточек на открытой поверхности (с краем) описан Ю.М. Бурманом [13, 60] в терминах числавращения.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ68(R4) В.
И. Арнольд исследовал — в связи с изучением 16-й проблемы Гильберта (о взаимном расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, или алгебраических поверхностей) — количество классов эквивалентности (определение 2.2.4) типичных(следствие 2.4.12) функций Морса на прямой [2] и на поверхности [3, 44, 45, 4]. В частности,В.И. Арнольд [45] изучил асимптотику количества классов эквивалентности (= топологической эквивалентности) типичных функций Морса в пространствах Fp,p+r−2,r (S 2 ) функцийМорса на сфере — в зависимости от количества q = p + r − 2 седел — при q → ∞. Е.В.Кулинич [95] (см. также [53, theorem 2.6]) вычислил количество классов эквивалентноститипичных функций Морса на замкнутой ориентируемой поверхности рода g ≤ 6, имеющихровно одну точку локального минимума и ровно одну точку локального максимума.(R5) Дж.
Харер и Д. Загье [78] вычислили (1986) производящую функцию (см. следствия3.3.6 (C) и 3.4.2 (C)) для количества εg (q) клеточных разбиений замкнутой связной ориентированной поверхности рода g с r = q + 1 − 2g вершинами, r ребрами, одно из которыхотмечено и ориентировано, и одной двумерной клеткой с точностью до сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности. С помощью этого комбинаторного результата ониполучили важный топологический результат — вычислили эйлерову характеристику χ(Gsg )“комплекса ленточных графов” Gsg при s > 2 − 2g, а значит, ввиду [124], и χ(Msg ), где Msg —пространство модулей комплексных алгебраических кривых рода g с s > 3 − 3g пронумерованными проколами (подробнее см. ниже).
Заметим, что число εg (q) совпадает с количествомклассов послойной эквивалентности (= эквивалентности) правильных (определение 2.4.3(E)) функций Морса f на замкнутой поверхности M рода g, принадлежащих пространству0(M ) (см. определение 2.2.2 (В)), т.е.
имеющих ровно одну точку локального минимумаF1,q,rи q седловых точек, причем одна седловая точка оснащена (определение 2.2.2 (В)). Отсюдав следствии 3.3.6 (C) мы получим еще одно топологическое применение формулы Харера–Загье — формулуχ(K) = (−1)q−1 εg (q),0eгде K = Kp,q,r = K/(D/D) — компактный косой цилиндрически-полиэдральный комплекс00ee F0 (M ) ∼ K(T 2 ) ∼ T 2 ×K,(S 2 ) ∼ RP 3 ×K, Fp,q,rоснащенных функций Морса такой, что Fp,q,rp,q,re =Ke p,q,r является накрытием K.при g ≥ 2, и KИзложим кратко историю вопроса о пространстве Msg .
K. Strebel [124] показал (1984), чтопространство Msg имеет каноническое клеточное разбиение ([79, 94, 124] или [114]), клеткикоторого находятся во взаимно-однозначном соответствии с классами изотопности некоторых графов в поверхности M рода g с s проколами. Другими словами, согласно [124, 88]существует канонический вещественно-аналитический гомеоморфизм≈Gsg → Msg × Rs>0 ,s > 3 − 3g,где Gsg — хорошо известный “комплекс ленточных графов”.
Упомянутое клеточное разбиениеможет быть описано либо в духе [114, 115, 116] (“в гиперболической постановке”), либо с использованием квадратичных дифференциалов [124] (“в канонической постановке”) как в [79]или [94]. Любая точка клеточного комплекса Gsg представляется квадратичным дифференциалом, “квадратный корень” из которого имеет простые полюса в проколах и не имеет другихполюсов, причем его горизонтальное слоение имеет единственный особый слой — некоторыйграф G ⊂ M , являющийся строгим деформационным ретрактом поверхности M с выколотыми полюсами; такой квадратичный дифференциал называется гороциклическим.
С помощьюупомянутой выше производящей функции для чисел εg (q) Харер и Загье вычислили (1986)эйлерову характеристику комплекса Gsg ленточных графов, тем самым ввиду упомянутогорезультата Штребеля они получили [78] формулуχ(Msg ) = χ(Gsg ) = (−1)s(2g + s − 3)!B2g2g(2g − 2)!ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ69при s > 2 − 2g, где Bg есть g-ое число Бернулли, определяемое производящей функциейPznzn≥0 Bn n! = ez −1 . Позднее аналогичные формулы [75] и производящие функции для них[48, 49] были получены как для эйлеровой характеристики, так и для орбиобразной эйлеровойхарактеристики пространства Msg и его компактификации Msg Делиня-Мамфорда [68].(R6) Топология отдельно взятого класса топологической сопряженности (а также класса топологической эквивалентности) (определение 2.2.4 (A, B)) из пространства Fp,q,r (M )изучалась в работах С.И. Максименко [97] в случае поверхности M 6= S 2 , T 2 .
В частности,С.И. Максименко [97] доказал стягиваемость связных компонент стабилизатора любой функции Морса на замкнутой поверхности при действии группы диффеоморфизмов поверхности,а также доказал асферичность любой орбиты этого действия и изучил некоторые свойстваее фундаментальной группы.(R7) Функции Морса на поверхностях изучали А.Т. Фоменко [32], С.В. Матвеев и Фоменко [21, 23, 22], Матвеев, Фоменко и Шарко [23], Фоменко и Х. Цишанг [35], А.В. Болсинов и Фоменко [9, 10] в связи с задачей классификации (лиувиллевой, орбитальной) невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Фоменкои Цишанг [35] построили полный инвариант лиувиллевой эквивалентности таких систем, аФоменко и Болсинов [9, 10] построили полный инвариант орбитальной эквивалентности таких систем. Важным инструментом обеих теорий является описание (R1) классов послойнойэквивалентности (определение 2.2.4 (C) и предложение 2.4.6) функций Морса на замкнутыхповерхностях, в терминах комбинаторного объекта — “молекулы” функции Морса.Основными результатами настоящей главы являются следующие:• получен критерий топологической эквивалентности функций Морса на произвольнойкомпактной поверхности (теорема 2.3.4); получены аналогичные критерии топологической послойной эквиваленности (теорема 2.3.5) и топологической сопряженности (теорема 2.3.6);• получен критерий топологической послойной эквивалентности возмущенных функцийМорса на произвольной компактной поверхности (утверждение 2.5.2); получены аналогичные критерии топологической эквивалентности (следствие 2.5.8) и топологическойсопряженности (следствие 2.5.9);• доказана бесконечность количества связных компонент любого пространства Ffix функций Морса на компактной связной поверхности с закрепленными критическими точками, если число седел положительно (теорема 2.7.2); изучена факторгруппа (а именно:найдены наборы образующих и получены оценки на ранг) группы диффеоморфизмов,сохраняющих компоненту связности Fffix данной функции f в пространстве Ffix , по ееподгруппе, порожденной диффеоморфизмами, сохраняющими какие-либо функции изFffix (теорема 2.7.5 и ее следствие 2.7.6, теоремы 2.7.11, 2.7.13 и 2.7.14).Для полноты изложения приводятся также решение А.Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
