Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Фоменко вопроса (Q2) и решение С.В. Матвеева вопроса (Q4) (в частично усиленной постановке), а также некоторыеобобщения (теоремы 2.6.9 и 2.6.11) теоремы Матвеева на случай морсовских функций с нумерованными и оснащенными критическими точками, полученные автором в [129].Пусть M — компактная связная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружностии (p, q, r) — тройка неотрицательных целых чисел. Рассмотрим пространствоFp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ) (см. определение 2.2.1), имеющих ровно p +q + r критических точек, из которых p точек являются точками локальных минимумов, qточек являются седловыми и r точек являются точками локальных максимумов.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ70Теорема 2.1.1 (С.В.
Матвеев [129, теоремы 8 и 8’] и Х. Цишанг [38, 40], см. теоремы 2.6.1и 2.6.2). Пространство функций Морса Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ), снабженное C ∞ -топологией,линейно связно.Замечание 2.1.2. В 1997 году А.Т. Фоменко сформулировал вопрос о линейной связности пространства Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) функций Морса на поверхности M (см. определение2.2.1).
В том же году С.В. Матвеев получил положительный ответ и передал Е.А. Кудрявцевой доказательство своей теоремы 2.1.1 (и равносильных ей теорем 2.6.1 и 2.6.2), котораябыла включена (со ссылкой на С.В. Матвеева) в статью Е.А. Кудрявцевой [129], принятуюк печати в 1997 году. Доказательство С.В. Матвеева основано на методе спайнов, применяемом в трехмерной топологии (см. доказательство теорем 2.6.1 и 2.6.2 в §2.6). В июне 1998года Х.
Цишанг [38] сообщил свое доказательство этой теоремы Е.А. Кудрявцевой и В.В.Шарко. Доказательство Х. Цишанга основано на методе Я. Нильсена и не было опубликовано. Позднее В.В. Шарко [40] опубликовал доказательство этой теоремы Матвеева-Цишанга,тоже основанное на методе Нильсена.
Позже С.И. Максименко [96] опубликовал еще однодоказательство этой теоремы (и ее обобщения для морсовских отображений M → S 1 ), основанное на том, что группа классов отображений поверхности порождена скручиваниямиДэна [67] и что скручивания Дэна сохраняют некоторые функции Морса.num(M, ∂ + M, ∂ − M )В §2.6 из теоремы 2.1.1 мы выведем линейную связность пространства Fp,q,rфункций Морса с пронумерованными критическими точками.num,frОпишем основные результаты главы в виде двух теорем. Пусть Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M )— пространство функций Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками (см.определение 2.2.2 (В)).
Пусть D 0 — компонента единицы в группе D ± = Diff(M ).Теорема 2.1.3 (см. теорему 2.3.4 и утверждение 2.5.2). (A) Функции f, g ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )топологически эквивалентны (определение 2.2.4 (B)) тогда и только тогда, когда отвечаю≤щие им “упорядоченные” графы G≤f , Gg (т.е. объединения Gf , Gg критических уровней функций f, g с некоторым отношением частичного порядка, см.
обозначения 2.3.1 (Б) и 2.3.3 (А))0≤изотопны в M , т.е. h(G≤f ) = Gg для некоторого диффеоморфизма h ∈ D .num,fr(M, ∂ + M, ∂ − M ) — пара топологически послойно эквивалент(B) Пусть f, g ∈ Fp,q,rных функций Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками. Пусть fe, ge ∈num,frFp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) — функции, близкие к f, g по C 2 –норме и не слишком большие по C 3 –норме (см. (2.5) и (2.6) при r = 2). Пусть W num — ориентированный граф Кронрода-Рибафункции fe с метками в вершинах, отвечающими нумерации критических точек (определение 2.4.1).
Тогда возмущенные функции fe и ge топологически послойно эквивалентны втом и только том случае, когда набор критических значений функции ge согласован (определение 2.5.3) с графом W num функции fe.Пусть Ffix ⊆ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) — пространство функций Морса f ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ),имеющих фиксированное множество критических точек индекса λ, для любого λ ∈ {0, 1, 2}.Для ориентируемой поверхности M обозначим через D ⊂ D ± группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Пусть D ∗ ⊆ D — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M , оставляющих неподвижными все критические точки функций f ∈ Ffix , (D ∗ )0 —компонента связности idM в D ∗ .
Для любой функции f ∈ Ffix обозначим через Fffix компоненту связности функции f в Ffix , и через Df∗ ⊂ D ∗ множество диффеоморфизмов, сохраняющихFffix . Пусть Hf — подгруппа Df∗ , порожденная (D ∗ )0 и всеми диффеоморфизмами h ∈ D ∗ ,сохраняющими какие-либо функции f1 ∈ Fffix , и пусть Hfabs — ее подгруппа, порожденная(D ∗ )0 и скручиваниями Дэна вокруг компонент линий уровня функций f1 ∈ Fffix .
Оказывается, что в большинстве случаев Fffix ( Ffix и Df∗ ( D ∗ , поэтому нетривиален вопрос онахождении факторгрупп в цепочке нормальных подгрупп (D ∗ )0 ⊆ Hfabs ⊆ Hf ⊆ Df∗ .ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ71Теорема 2.1.4 (см. следствие 2.7.6 и теорему 2.7.13). Предположим, что M — компактнаясвязная ориентируемая поверхность рода g и число седел q ≥ 1. Тогда для любой функцииf ∈ Ffix выполнено |π0 (Ffix )| = [D ∗ : Df∗ ] = ∞ и(D ∗ )0 ( Hfabs ( Hf ⊆ Df∗ , если род g ≥ 1,(D ∗ )0 ( Hfabs = Hf ( Df∗ , если род g = 0 и число седел q ≥ 2,(D ∗ )0 = Hfabs = Hf = Df∗ , если число седел q = 1,а также оценки для рангов факторгрупп:q − 1 ≤ rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)), rank (D ∗ /hhDf∗ ii) ≥ p + r − 1 при g = 0,rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)),rank (Hf /Hfabs ) ≥ q − 1при g > 0.Более того, существуют мономорфизм Zq+g−1 Hfabs /(D ∗ )0 и эпиморфизмы Hf /Hfabs →e иKZ2q−1 при g ≥ 1, Df∗ /Hf → Zq−1при g = 0, π1 (K) → Df∗ /Hf в общем случае.
Здесь K2— (q − 1)-мерные полиэдральные комплексы, ассоциированные с пространством Ffix , причемe ∼ Ffix , D ∗ /(D ∗ )0 действует эффективно наимеется гомопопическая эквивалентность K∗e K∼eK,/(D ∗ )0 ) конечен и связен.= K/(DГлава имеет следующую структуру.i) В §2.2 вводятся пространства F ⊂ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M ) функций Морса и Fnumнумерованных функций Морса (и некоторые другие) и естественные отношения эквивалентности на них.ii) В §2.3 мы докажем критерии топологической эквивалентности, топологической послойной эквивалентности и топологической сопряженности функций Морса из F и Fnum (теоремы 2.3.4 и 2.3.5). Этот результат будет использоваться в следующей главе (точнее, в §3.2, т.е.
в[143]) при изучении гомотопического типа пространства F и его подпространств [f ]top , f ∈ F.А именно, наш критерий топологической эквивалентности функций Морса используется приизучении ограничения гомотопической эквивалентности между F и пространством F “оснащенных функций Морса” на классы [f ]top топологической эквивалентности функций Морсаf ∈ F (точнее, в доказательстве [143] теоремы 3.2.5 и утверждения 3.2.13(Б), используемогопри доказательстве теоремы 3.2.5(А)), а также при изучении отображений инцидентностиe оснащенных функций Морса, отвемежду парами инцидентных ручек нашего комплекса Kчающими парам (см. шаги 3 и 10 в §3.3.2), и при изучении взаимосвязи примыкающих другf (см.
шаг 3 в §3.4.2).к другу стратов нашего многообразия Miii) В §2.4 формулируется классификация А.Т. Фоменко [10, гл. 2, определения 4, 6, 9, 10,теоремы 4 и 8] функций Морса из F (соответственно Fnum,fr ) с точностью до послойной эквивалентности в случае ориентированной поверхности M (см. предложение 2.4.6), и из неевыводятся классификации с точностью до эквивалентности и сопряженности (следствие2.4.11). Этот результат будет использоваться в главе 4 при введении понятий гамильтоновойсистемы на атоме и (относительно-) продолжимого инварианта C 0 -сопряженности гамильтоновых систем на атоме (определения 4.1.18, 4.1.20, 4.1.22), а также в формулировке критерияБолсинова-Фоменко C 0 -сопряженности невырожденных гамильтоновых систем на поверхностях (теорема 4.3.16).iv) В §2.5 доказан критерий топологической послойной эквивалентности (а также аналогичные критерии для всех остальных рассматриваемых отношений эквивалентности) пары“возмущенных” функций Морса fe, ge ∈ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ), полученных малыми возмущениями из пары топологически послойно эквивалентных функций Морса f, g ∈ F (утверждение2.5.2 и следствие 2.5.8).
Этот результат будет использован в главе 3 при описании отобраe оснащенных функций Морса и в главе 4 (§4.3.2) прижений инцидентности в комплексе Kописании структуры стратов Максвелла (вместе с их разбиением на классы топологическойГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ72C 0 –сопряженности) в пространстве (4.11) невырожденных гамильтоновых систем на поверхностях.v) В §2.6 приводится доказательство С.В. Матвеева линейной связности пространствфункций Морса с фиксированными точками локальных экстремумов (теоремы 2.6.1 и 2.6.2),а также наше обобщение этого результата на случай нумерованных и оснащенных седел(теоремы 2.6.9, 2.6.10, 2.6.11, 2.6.12).vi) В §2.7 строится (неполный) инвариант изотопности на пространстве Ffix функций Морса с фиксированными критическими точками (теорема 2.7.2), изучается нетривиальностьфактор-групп в естественно возникающей цепочке вложенных подгрупп группы диффеоморфизмов поверхности (теорема 2.7.5), получены верхние и нижние оценки рангов этихфактор-групп (следствие 2.7.6, теоремы 2.7.13 и 2.7.14), вводятся и изучаются комплексыe K функций Морса (теоремы 2.7.11 и 2.7.13).
Важные свойства комплексов K,e K (и ихK,аналогов для более общих пространств функций Морса) будут установлены в §3.6 главы 3(следствие 3.3.5, примеры 3.6.3, предложения 3.6.4 и 3.3.17 (d)).2.2Основные типы эквивалентности функций МорсаПерейдем к точным формулировкам. Введем более общее пространство F ⊂ C ∞ (M ) функцийМорса и три его конечнолистных накрытия Fnum , Fnum,fr и F0 . На каждом из них мы введемтри типа эквивалентности и три типа топологической эквивалентности.Определение 2.2.1. Пусть M — гладкая (то есть класса C ∞ ) компактная связная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность, край которой пуст или не пуст, с разбиениемкрая ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности.(А) Обозначим через C ∞ (M ) пространство гладких (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
