Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 24
Текст из файла (страница 24)
класса C ∞ ) вещественнозначныхфункций f на M . Обозначим через C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M ) подпространство, состоящее из таких функций f ∈ C ∞ (M ), что все ее критические точки (т.е. такие точки x ∈ M ,что df |x = 0) принадлежат int M , а любая граничная точка x ∈ ∂M имеет такую окрестностьU в M , что f (U ∩ ∂M ) = f (x), причем inf(f |U ) = f (x) при x ∈ ∂ − M , и sup(f |U ) = f (x) приx ∈ ∂ + M .
Снабдим это пространство C ∞ -топологией (см. [86, 100] или §3.2.2).(Б) Функцию f на M назовем функцией Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), еслиf ∈ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) и все ее критические точки невырождены (т.е. квадратичная формав Tx M , заданная матрицей вторых частных производных f в критической точке x, невырождена). Пусть p, q, r — неотрицательные целые числа иFp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )— пространство функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), имеющих ровно p + q + rкритических точек, включая p точек локальных минимумов, q седловых точек и r точеклокальных максимумов.
Пусть d+ , d− ≥ 0 — число граничных окружностей в ∂ + M и ∂ − Mсоответственно. Будем предполагать, что выполнены неравенства Морса:χ(M ) = p − q + r,p + d+ > 0,r + d− > 0,(2.1)так как в противном случае F = ∅. Множество C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) мы наделим C ∞ -топологией(см. также §3.2.2(а)), а его подмножество Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) наделиминдуцированой C ∞ -топологией и назовем пространством функций Морса на поверхности(M, ∂ + M, ∂ − M ).
Обозначим через1Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )подпространство в Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ), состоящее из таких функций f ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ),что все локальные минимумы равны f (∂ − M ) = −1, а все локальные максимумы равныf (∂ + M ) = 1.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ73Определение 2.2.2. (А) Для каждой функции f ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) обозначим черезCf,λ множество ее критических точек индекса λ ∈ {0, 1, 2}; Cf := Cf,0 ∪ Cf,1 ∪ Cf,2 . Пустьp∗ , q ∗ , r∗ — неотрицательные целые числа такие, что0 ≤ p∗ ≤ p,0 ≤ q ∗ ≤ q,0 ≤ r∗ ≤ r.Фиксируем “базисную” функцию f∗ ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) и подмножество Cλ ⊆ Cf∗ ,λ , состоящее из n∗λ точек, λ = 0, 1, 2, где n∗0 := p∗ , n∗1 := q ∗ , n∗2 := r∗ . ПустьF := Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 )— подпространство в пространстве Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) (см. теорему 2.1.1), состоящее изфункций Морса f ∈ Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) таких, что Cλ ⊆ Cf,λ для любого λ = 0, 1, 2.
Итак,пространство F состоит из функций Морса, у которых p∗ + q ∗ + r∗ критических точек закреплены на поверхности M (т.е. одни и те же для всех функций f ∈ F), причем C0 и C2 —множества закрепленных критических точек локальных минимумов и максимумов, состоящее из p∗ и r∗ точек соответственно, C1 — множество закрепленных седловых критическихточек, состоящее из q ∗ точек. Пространство F мы наделим C ∞ -топологией (см. [86, 100] или§3.2.2).(Б) Обозначим черезnumFnum = Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 )пространство, полученное из пространства F введением нумерации у всех незакрепленныхnum(M ; C0 , C1 , C2 )критических точек функций Морса f ∈ F (в замечании 1.6.3 пространство Fp,q,rnumбыло обозначено через Fp,r (M ; C0 ∪ C1 ∪ C2 )).
Рассмотрим каноническое включение Fnum ,→F × M p+q+r , где любой элемент пространства Fnum отождествляется с парой, состоящей изфункции Морса f ∈ F и упорядоченного набора ее критических точек. Снабдим пространствоF×M p+q+r топологией прямого произведения, а его подпространство Fnum — индуцированнойтопологией. Имеем (p − p∗ )!(q − q ∗ )!(r − r∗ )!-листное накрытие Fnum → F.(В) Фиксируем на поверхности M произвольную риманову метрику, и в каждой седловойкритической точке функции f ∈ F рассмотрим неориентированную гладкую дугу, образованную двумя сепаратрисами векторного поля grad f , входящими в эту критическую точку(эту дугу трансверсально пересекает другая гладкая дуга, образованная двумя выходящимисепаратрисами, мы ее не будем рассматривать). Мы будем называть эту дугу для краткости сепаратрисной дугой. Предположим, что в одной седловой критической точке функцииМорса f ∈ F фиксирована ориентация сепаратрисной дуги.
Назовем такую ориентацию оснащением данной седловой критической точки функции f , такую критическую точку назовемоснащенной, а саму функцию Морса f назовем функцией Морса с одной оснащенной критической точкой. Полученное пространство функций Морса с одной оснащенной критической0точкой обозначим через F0 = Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 ). Ясно, что пространство F0 является двулистным накрывающим пространством для пространства F. Обозначим черезnum,frFnum,fr := Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 )(2.2)numпространство функций Морса f ∈ Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 ), у всех седловых критических точек которых фиксированы оснащения (см. выше).
Функции f ∈ Fnum,fr на M будемназывать функциями Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками.Обозначение 2.2.3 (ср. обозначение 3.1.4). Обозначим через C := C0 ∪ C1 ∪ C2 ⊂ int Mмножество закрепленных критических точек. ПустьD ± = Diff(M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 )— группа всех (необязательно сохраняющих ориентацию и компоненты края) диффеоморфизмов поверхности M , переводящих в себя каждое подмножество ∂ + M , ∂ − M , C0 , C1 , C2 .ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ74Пространство D ± наделим C ∞ -топологией, см. §3.2.2(б). Если M ориентируема, обозначимчерез D ⊂ D ± подгруппу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов (с индуцированнойтопологией).
Пусть D 0 ⊂ D ± — подгруппа (с индуцированной топологией), состоящая извсех диффеоморфизмов h ∈ D ± , изотопных idM в классе гомеоморфизмов пары (M, C) всебя. Другими словами, D 0 совпадает (как множество, но не как топологическое пространство) с пересечением D ± и компоненты связности idM в пространстве гомеоморфизмов пары(M, C), снабженном C 0 -топологией.Определение 2.2.4 (см. [45], ср.
определение 2.7.8). (A) Говорят, что две функции F на M иF 0 на M 0 сопряжены (или принадлежат одной правой орбите), если существует диффеоморфизм h : M 0 → M такой, что F 0 = F ◦h. Если при этом M = M 0 , F, F 0 ∈ F и диффеоморфизмh ∈ D 0 , т.е. изотопен тождественному, то будем говорить, что F и F 0 топологически сопряжены.(B) Будем говорить, что две функции F и F 0 эквивалентны (или принадлежат однойлево-правой орбите), если они сопряжены при помощи диффеоморфизма как поверхностейM и M 0 , так и диффеоморфизма вещественной прямой. Другими словами, функции F и F 0эквивалентны, если существуют такие диффеоморфизмы g : R → R и h : M 0 → M , чтоF 0 = g ◦ F ◦ h и g возрастает. Будем обозначать это следующим образом: F ∼ F 0 .
Еслипри этом M = M 0 , F, F 0 ∈ F и диффеоморфизм h ∈ D 0 , т.е. изотопен тождественному, тобудем говорить, что F и F 0 топологически эквивалентны, и будем обозначать это следующим образом: F ∼top F 0 . Класс эквивалентности функции F обозначим через [F ], а класстопологической эквивалентности — через [F ]top .(C) Будем говорить, что две функции F и F 0 послойно эквивалентны, если существуетдиффеоморфизм h ∈ D ± , переводящий связные компоненты линий уровня F в связныекомпоненты линий уровня F 0 , и сохраняющий направление роста функций. Если при этомM = M 0 , F, F 0 ∈ F и диффеоморфизм h ∈ D 0 , т.е.
изотопен тождественному, то функции Fи F 0 назовем топологически послойно эквивалентными. Класс послойной эквивалентностифункции F обозначим через JF K, а класс топологической послойной эквивалентности — черезJF Ktop .(D) Если функции F, F 0 принадлежат пространству F (соответственно одному из пространств Fnum , Fnum,fr , F0 функций Морса), то в каждом из случаев (A, B, C) выше будемдополнительно требовать, чтобы h переводил в себя каждое множество ∂ + M, ∂ − M, C0 , C1 , C2(а также нумерацию и/или оснащения критических точек функций соответственно). Еслиповерхности M и M 0 ориентированы, то будем требовать, чтобы h сохранял ориентацию (т.е.h ∈ D, если M = M 0 ориентирована).2.3Топологическая классификация функций МорсаВ этом разделе излагается результат работы автора [132, теорема 1].
Отметим, что с помощью этого результата (точнее, леммы 2.3.2) в работе [61] показано, что естественная псевдометрика на пространстве Fsimple (M )/D ± (M ) классов сопряженности простых (определение1.6.6) функций Морса на замкнутой поверхности M является метрикой.Все построения и результат настоящего параграфа используют лишь понятие функцииМорса, но не используют понятий малых деформаций функции Морса (изучаемых в §2.5,см.
критерий топологической эквивалентности возмущенных функций Морса в утверждении2.5.2). Мы не требуем ориентируемость поверхности M . Приложение результата данногораздела к задаче о нахождении гомотопического типа пространства функций Морса описанав абзаце, предшествующем параграфу §2.2.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ75Аннотация: Пусть M — гладкая, компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с пустым или непустым краем. Пусть D 0 ⊂ Diff(M ) — группа диффеоморфизмов, изотопных idM .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
