Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Такой (“минимаксный”) атом (P, K)# – это плоский атом сложности 1, валентности 1 и рода 0. Атомлокального минимума имеет положительный конец и согласованные ориентации поверхностиP и края ∂P ; атом локального максимума имеет отрицательный конец, и в нём ориентацииповерхности P и края ∂P не согласованны.(D) Определим тривиальный атом (P, K)# , где K ⊂ F −1 (c) есть регулярная (т.е. некритическая) связная компонента линии уровня функции F , P — замкнутая связная регулярнаяокрестность окружности K вида P = F −1 [c − ε, c + ε] в M , не содержащая критических точек функции F .
Тривиальный атом не имеет вершин, имеет два конца — положительныйи отрицательный (в случае K 6⊂ ∂P ) или один конец (в случае K ⊂ ∂P ), и согласованныеориентации поверхности P , края ∂P и окружности K. Если K ⊂ ∂P , то тривиальный атомназовем граничным.Седловые атомы, атомы локальных минимумов и атомы локальных максимумов, а такжетривиальные атомы будем называть также просто атомами.(E) Функция Морса F ∈ C ∞ (M, ∂M ) называется правильной, если ее значение в любойкритической точке равно индексу этой точки (т.е. индексу квадратичной формы, задаваемойматрицей Гесса функции F в этой критической точке), а значение F на любой компонентекрая M равно 0 или dim M , если на этой компоненте F достигает локального минимума илимаксимума соответственно.Замечание 2.4.4.
(A) Предположим, что поверхность M ориентируема и ориентирована.Нетрудно показать, что класс послойной эквивалентности (определение 2.2.4 (В)) правильной (определение 2.4.3 (E)) функции Морса F , или функции Морса F в малой окрестности Pее критического уровня K, на ориентированной поверхности полностью определяется классом топологической эквивалентности пары (P, K)# , т.е. атомом (определение 2.4.3 (A, B)).(B) Если не требовать ориентируемость поверхности M , то класс послойной эквивалентности правильной функции Морса F , или функции Морса F в малой окрестности P ееГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ83критического уровня K, полностью определяется классом топологической эквивалентностипары (P, K)#u , т.е.
неориентированным атомом (определение 2.4.2 или [53, definition 2.9]).(C) Пусть поверхность M ориентирована (соответственно неориентирована). ФункцииМорса из Fnum,fr (P ), послойно эквивалентные функции F |P , назовем функциями Морса наатоме (P, K)# (соответственно функциями Морса на неориентированном атоме (P, K)#u ), аnum,frсовокупность этих функций обозначим через F(P, K).Определение 2.4.5 (см. [9, 27]).
Пусть M — компактная ориентированная поверхность.Оснащенно-нумерованной ориентированной молекулой или оснащенно-нумерованным ориентированным инвариантом Фоменко (или просто молекулой) функции Морса F ∈ Fnum,frс оснащенно-нумерованными критическими точками называется ее граф W num (т.е. ориентированный КР-граф W с наборами номеров в вершинах, см. определение 2.4.1), вместе ссопоставлением каждой его вершине соответствующего ориентированного атома, ориентация которого согласована с ориентацией поверхности M , а каждому концу этого атома —ребра графа W num , в которое проектируется этот конец при проекции πF : M → W из (2.4).Обозначим молекулу через W # .Аналогичное, но более сложное понятие молекулы (инварианта Фоменко-Цишанга), введено в [35] для описания послойной эквивалентности невырожденных гамильтоновых системс двумя степенями свободы на неособых изоэнергетических 3-мерных многообразиях.Предложение 2.4.6 (А.Т.
Фоменко [10, гл. 2, §§3–8, теоремы 4 и 8]). Пусть M — компактная ориентированная поверхность (с краем или без края). Сопоставление любой функцииМорса f ∈ Fnum,fr ее молекулы W num (определение 2.4.5) является полным инвариантомпослойной эквивалентности функций Морса из Fnum,fr на ориентированной поверхностиM.2.4.1Критерии эквивалентности и сопряженности функций МорсаНапомним, что при исследовании невырожденных, т.е. боттовских, гамильтоновых систем содной или двумя степенями свободы возникают понятия атома и молекулы (см. определения2.4.3 и 2.4.5). Пусть M — связная замкнутая двумерная поверхность (с краем или без края)и F : M → R — функция Морса класса гладкости C ∞ .
Как и выше, мы предполагаем, чтоF ∈ C ∞ (M, ∂M ), т.е. функция F не имеет критических точек на границе поверхности ипостоянна на каждой граничной окружности.Послойная эквивалентность функций является более слабым отношением, чем сопряженность и обычная эквивалентность, описанные в определении 2.2.4. Однако в некоторых случаях из послойной эквивалентности функций все-таки следует обычная эквивалентность идаже сопряженность. Два таких случая мы укажем в следующих предложениях 2.4.7 и 2.4.10,которые легко следуют из нашего критерия топологической эквивалентности функций Морса [132] (т.е.
из леммы 2.3.2).Предложение 2.4.7. Пусть M — компактная поверхность (с краем или без края, ориентируемая или неориентируемая). Пусть функции Морса F и F 0 послойно эквивалентны,причем при диффеоморфизме, осуществляющем эту послойную эквивалентность, сохраняются значения функции во всех ее критических точках, а также на всех граничныхокружностях поверхности.
Тогда функции F и F 0 сопряжены, т.е. F 0 = F ◦ h при подходящем выборе диффеоморфизма h.Напомним понятие упорядоченного графа Кронрода-Риба для функции Морса F на поверхности M с границей ∂M [45]. Как обычно, будем считать, что функция F постоянна накаждой граничной окружности.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ84Определение 2.4.8 ([45]; ср.
теорему 2.3.4 и обозначение 3.2.12). Пусть M — компактнаяповерхность (с краем или без края, ориентируемая или неориентируемая) и F ∈ C ∞ (M, ∂M )— функция Морса на ней.(A) Введем отношение частичного порядка на множестве всех вершин графа КронродаРиба функции F с помощью критических значений функции F , а также ее значений на граничных окружностях поверхности M (не следует путать это отношение частичного порядка сотношением частичного порядка на множестве внутренних вершин графа возмущения W numиз §2.5, шаг 1). При этом две вершины или граничные окружности с равными значениямифункции F считаются не сравнимыми друг с другом.
Получившийся граф W≤num с отношением частичного порядка на множестве его вершин мы и назовем упорядоченным графомКронрода-Риба функции F .(B) Предположим, что поверхность M оринтирована. Упорядоченной молекулой функции F назовем ее упорядоченный граф W≤num , вместе с сопоставлением каждой его вершинесоответствующего ориентированного атома, а каждому концу этого атома — ребра графаW≤num , в которое проектируется этот конец при проекции πF : M → W из (2.4).
Обозначимупорядоченную молекулу через W≤# .Замечание 2.4.9. Не следует путать этот упорядоченный граф Кронрода-Риба с “ориентированным и нумерованным графом Кронрода-Риба” W num (определение 2.4.1), а такжес молекулой Фоменко W # (определение 2.4.5) функции Морса F . Упорядоченный графКронрода-Риба, вообще говоря, не определяется однозначно ни графом W num , ни молекулой W # .Предложение 2.4.10. Пусть M, M 0 — компактные поверхности (с краем или без края,ориентируемые или неориентируемые). Пусть функции Морса F на M и F 0 на M 0 послойно эквивалентны, причем эта послойная эквивалентность порождает изоморфизм упорядоченного графа Кронрода-Риба функции F на упорядоченный граф Кронрода-Риба функцииF 0 (т.е. изоморфизм графов, сохраняющий отношение частичного порядка на множествевершин).
Тогда такие функции F и F 0 эквивалентны, т.е. F 0 = g ◦ F ◦ h при подходящемвыборе диффеоморфизмов g и h, где g : R → R и h : M 0 → M .Из предложения 2.4.6 Фоменко и предложения 2.4.10 сразу получаемСледствие 2.4.11. Пусть M — компактная ориентированная поверхность. Сопоставление любой функции Морса f ∈ Fnum,fr ее упорядоченной молекулы W≤# (определение 2.4.8 (B))является полным инвариантом эквивалентности функций Морса из Fnum,fr на поверхностиM . Сопоставление любой функции Морса f ∈ Fnum,fr ее молекулы W # , каждый атом которой помечен критическим значением функции f в соответствующих критических точках,является полным инвариантом сопряженности функций Морса из Fnum,fr на поверхностиM.Назовем функцию Морса F ∈ C ∞ (M, ∂M ) на компактной поверхности M типичной (илиобщего положения), если ее значения в критических точках и на граничных окружностяхпопарно различны.
В частности, на каждом уровне лежит не более одной критической точки.Следовательно, ее упорядоченный граф Кронрода-Риба имеет простой вид. А именно, у негоровно n вершин, и все они занумерованы последовательными числами от 1 до n, в порядкевозрастания функции F , где n := p + q + r + d+ + d− — сумма числа критических точекфункции F и числа граничных окружностей поверхности M .Следствие 2.4.12 ([53, theorem 2.4]). Пусть M, M 0 — компактные ориентированные поверхности. Пусть даны две типичные функции Морса F на поверхности M и F 0 на поверхности M 0 . Тогда эти функции имеют одинаковые (т.е.
изоморфные) упорядоченныеГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ85графы Кронрода-Риба (определение 2.4.8) в том и только том случае, когда эти функцииэквивалентны (т.е. существуют сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы g : R → R иh : M 0 → M такие, что F 0 = g ◦ F ◦ h).2.5Топологическая послойная классификация возмущенных функций МорсаВ этом разделе излагается результат работы автора [145, §3] (см. также [134, шаг 3 доказательства леммы 3.1], [135, §3, шаг 3], [136, шаг 3 доказательства теоремы 3]).В отличие от предыдущих параграфов данной главы, в настоящем параграфе используется не только понятие функции Морса, но и понятие малых возмущений (деформаций)функции Морса.
Мы не предполагаем ориентируемость поверхности M (полученный здесьрезультат будет применяться в дальнейших главах 3 и 4 только в случае ориентированныхатомов). Результаты данного параграфа непосредственно обобщаются на случай произвольной размерности.В данном параграфе изучаются возмущения функций Морса, заданных либо на ориентированном атоме (P, K)# , либо на неориентированном атоме (P, K)#u (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
