Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

В частности, диффеоморфизм Te сохраняет нумерацию и оснащение всех седловых критических точек, т.е. этот диффеоморфизм не долженповорачивать сепаратрисы в критических точках на угол π по сравнению с исходным диффеоморфизмом T . Дополнительные свойства 1) и 2) означают, что если F = F 0 , то такиевозмущенные функции Fe и Fe0 не только послойно эквивалентны, но и послойно топологически эквивалентны и, в частности, лежат в пересечении одной связной компоненты классапослойной эквивалентности функций с малой окрестностью исходной функции. Отсюда следует, что любая связная компонента класса послойной эквивалентности есть класс топологической послойной эквивалентности; и что указанные пересечения суть страты некоторойстратификации малой окрестности данной функции (см.

§2.5.2).Ниже мы докажем следующее обобщение утверждения 2.5.2, точнее импликаций (iii) =⇒(i) и (iii) =⇒ (iv) этого утверждения (импликации (i) =⇒ (ii), (ii) =⇒ (iii) и (iv) =⇒ (i)очевидны).Лемма 2.5.5. Пусть функции F и F 0 заданы на одном и том же (ориентированном илинеориентированном) атоме, и пусть возмущённые функции Fe и Fe0 ограничены по C 3 –норменекоторой константой и C 2 –близки к функциям F и F 0 соответственно (т.е. удовлетворяют (2.5) и (2.6) при r = 2). Из согласованности набора критических значений (c01 , . .

. , c0n )функции Fe0 с графом возмущения W num функции Fe следует сильная послойная эквивалентность возмущений Fe и Fe0 .Доказательство. Пусть Fe и Fe0 — C r –малые возмущения функций Морса F и F 0 (для некоторого r ≥ 2), представляющих атом V = (P, K)# . Пусть W num — граф возмущения дляфункции Fe, и пусть набор (c01 , . . . , c0n ) критических значений функции Fe0 согласован с графом возмущения W num , т.е. удовлетворяет отношению частичного полупорядка , которыйзадается графом возмущения W num .

Докажем, что возмущения Fe и Fe0 сильно послойно эквивалентны. В частности, граф возмущения для функции Fe0 совпадает с W num .Пусть πFe : Pe → W num — каноническая проекция (2.4) поверхности на граф возмущенияW num функции Fe (т.е. на ее граф Кронрода-Риба W с метками).

По определению графаКронрода-Риба, на графе W num корректно определена непрерывная функция fe = Fe ◦ πF−1e .numПостроим на графе Wеще одну непрерывную функцию, которую будем обозначать fe0 ,обладающую следующими свойствами.а) В окрестности каждой вершины графа возмущения W num , которой приписан номер i,имеем: fe0 ≡ fe − ci + c0i .б) В окрестности каждого конца графа W num имеем: fe0 ≡ fe.в) На каждом ребре графа возмущения W num функция fe0 является гладкой строго возрастающей функцией от fe и имеет положительную производную.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ89Существование такой функции fe0 на W num очевидно следует из условия согласованностинабора (c01 , . .

. , c0n ) с графом возмущения W num . Рассмотрим функцию fe0 ◦ πFe на Pe. Ясно, чтоэта функция является морсовской и имеет те же связные компоненты линий уровня, что ифункция Fe.Теперь начнем построение диффеоморфизма Te : Pe0 → Pe, переводящего связные компоненты линий уровня функции Fe0 в связные компоненты линий уровня функции fe0 ◦ πFe , азначит и функции Fe.Введем риманову метрику на поверхности M и, тем самым, на ее подповерхностях P , P 0 ,Pe, Pe0 . Окружим все критические точки xi (1 ≤ i ≤ n) невозмущённой функции F попарно непересекающимися окрестностями, т.е. “координатными крестами”, в которых функцияимеет вид квадратичной формы, по лемме Морса.

Такой же вид будет иметь и возмущеннаяфункция Fe, в некоторой быть может меньшей окрестности Ui . Аналогичную окрестность Ui0введем для Fe0 .Не ограничивая общности, мы будем считать, что диффеоморфизм T : P 0 → P , осуществляющий послойную эквивалентность F 0 и F , переводит F в F 0 − c0 + c, где c, c0 – критическиезначения, т.е.F ◦ T = F 0 − c0 + c.Рис. 2.1. Диффеоморфизм “креста”, переводящий функцию Fe в функцию Fe0Рассмотрим диффеоморфизм Tei окрестности Ui0 , близкий к T |Ui0 по норме C r−2 (см.

(3.11)–(3.16) и следствие 3.2.17) и переводящий функцию Fe в функцию Fe0 с точностью до константы,зависящей от i:Fe ◦ Tei = Fe0 − c0i + ciв Ui0 .(2.8)−1eСм. рис. 2.1. Рассмотрим композицию Di ◦ Ti , где Di — поток вдоль векторного поля(grad Fe)/|grad Fe|2 за время τi := fe0 ◦ πFe − Fe − c0i + ci (зависящее от номера i, точки изUi и постоянное на связных компонентах линий уровня функции Fe), Di (exi ) := xei .

Отметим,0numeчто по построению функции f на графе возмущения W, отображение Di тождественноeвблизи критического уровня {F = ci } в Ui , кроме тогоFe ◦ Di = Fe + τi = fe0 ◦ πFe − c0i + ciв Ui .(2.9)Осталось проверить, что полученные диффеоморфизмы Di−1 ◦ Tei можно согласованно продолжить до послойного диффеоморфизма Te всей поверхности Pe0 → Pe, т.е. внутрь всех “ленточек”, соединяющих “кресты” Ui0 (рис. 2.1). По построению, на каждом кресте, а значит иГЛАВА 2.90КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙна любой общей границе соседних ленточки и креста, имеем(2.8)(2.9)Fe0 = Fe ◦ Tei + c0i − ci = Fe ◦ Di ◦ Di−1 ◦ Tei + c0i − ci = fe0 ◦ πFe ◦ Di−1 ◦ Teiв Ui0 ,т.е. функция fe0 ◦ πFe переходит в Fe0 при диффеоморфизмах Di−1 ◦ Tei : Ui0 → Ui крестов.

Этоусловие, очевидно, гарантирует продолжимость такого диффеоморфизма внутрь ленточек,до некоторого диффеоморфизма Te : Pe0 → Pe со свойствомfe0 ◦ πFe ◦ Te = Fe0 .Дело в том, что на любой общей границе соседних ленточки и креста в Pe (соответственно вPe0 ) функция Fe (соответственно Fe0 ) строго монотонна и ее значения параметризуют линииуровня на ленточке (рис. 2.1).Итак, мы построили диффеоморфизм Te, переводящий линии уровня функции Fe0 в линии уровня функции fe0 ◦ πFe . Но функция fe0 ◦ πFe имеет те же связные компоненты линийуровня, что и функция Fe. Поэтому построенный диффеоморфизм осуществляет послойнуюэквивалентность функций Fe0 и Fe.Изотопность диффеоморфизмов Te и T , а также условия 1) и 2) из определения 2.5.4 легкопроверяются из построения Te.Построение графа возмущения по возмущенным критическим значениям функции МорсаДля полноты изложения изучим следующий естественный вопрос, возникающий в связис утверждением 2.5.2 и леммой 2.5.5.

Пусть задана функция Морса F на атоме (P, K)# ,для которой ноль является единственным критическим значением. Пусть задан любой набор (c1 , . . . , cn ). Как построить граф W num = Wcnum(в смысле определения 2.4.1), который1 ...cnбудет отвечать любому возмущенному гамильтониану Fe с критическими значениями видаεc1 , . . . , εcn , а следовательно, и со значениями вида a + εc1 , . . . , a + εcn ? В частности, как построить граф возмущения W num (см. определение 2.5.1), отвечающий такому возмущенномугамильтониану Fe? В данном параграфе мы дадим ответ на эти вопросы в терминах линийуровня, заключенных между критическими значениями.Рис.

2.2. Морсовская перестройка c = a#b пары отрицательных окружностейa, b в 1-ой вершине атома1) Опишем построение сначала для случая простого возмущения функции Морса Fe. Безограничения общности можно считать, что c1 < c2 < . . . < cn . Возьмем первое значение c1 .Тем самым, в множестве вершин атома выделилась одна вершина x1 , отвечающая указанному значению c1 . Рассмотрим все отрицательные окружности исходного атома, проходящиевблизи вершины x1 . Таких окружностей — одна или две. Пусть, для определенности, их две.Начнем строить граф W num . Сначала рассмотрим множество его нижних ребер, нижние концы которых взаимно-однозначно отвечают отрицательным окружностям исходного атома.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ91Теперь выделим среди них два ребра, которые войдут в первую вершину графа возмущения,т.е.

лежащую на первом уровне (считая снизу вверх). Это именно те ребра, которые отвечаютуже выбранной паре отрицательных окружностей, проходящих вблизи x1 . Из этой вершинывверх выйдет ровно одно ребро. Оно отвечает одной окружности, получающейся как связнаясумма двух предыдущих окружностей. Эти окружности нужно “сложить” операцией связнойсуммы в вершине x1 , при помощи обычной морсовской перестройки. См. пример на рис. 2.2.Полученная окружность будет отвечать линиям уровня, проектирующимся на построенноеребро графа возмущения, выходящее из первой вершины. Затем процесс продолжается потой же схеме.Если же вблизи точки x1 проходила только одна отрицательная окружность, то картинапереворачивается, т.е.

одно нижнее ребро, входящее в вершину, расщепится на два исходяшихребра. Им будут отвечать линии уровня, опять получающиеся морсовской перестройкой извыбранной отрицательной окружности.2) Пусть теперь возмущение произвольное, т.е. не обязательно является простым. Безограничения общности можно считать, что c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ cn . Возьмем первое значение c1и все последующие c2 , . . . , ck , ему равные (если таковые есть). Отметим, что ck+1 > ck . Темсамым, в множестве вершин атома выделилось подмножество вершин x1 , . . .

, xk , отвечающих указанному значению c1 = c2 = . . . = ck . Рассмотрим все отрицательные окружностиисходного атома, проходящие вблизи вершин x1 , . . . , xk . Начнем строить граф возмущенияW num .Сначала рассмотрим множество его нижних ребер, нижние концы которых взаимно-однозначно отвечают отрицательным окружностям исходного атома. Теперь разобьем эти ребрана группы, в каждой из которых ребра пойдут в одну вершину графа возмущения, лежащуюна первом уровне (считая снизу вверх).

Ребра из разных групп пойдут в разные вершины.В результате ребра, отвечающие отрицательным окружностям, проходящим вблизи вершинx1 , . . . , xk , некоторым образом распределятся между вершинами первого уровня. Отметим,что на первом уровне таких вершин может быть несколько.Два ребра назовем инцидентными номеру i, 1 ≤ i ≤ k, если соответствующие им отрицательные окружности проходят вблизи вершины xi . Будем говорить далее, что два ребрапринадлежат одной группе, если их можно соединить таким образом цепочкой инцидентностей.

В противном случае отнесем ребра к разным группам. Таким образом, мы разбилиребра на группы, в каждой из которых ребра входят в одну вершину. Этой вершине приписываются все номера, которые участвовали в цепочках инцидентностей ребер, входящихв эту вершину. В частности, совокупность всех номеров, приписываемых вершинам первогоуровня, совпадает с 1, . . . , k.Фиксируем любую из только что построенных вершин графа возмущения. Опишем теперьребра графа возмущения, исходящие из этой вершины. Для этого нужно взять отрицательные окружности, отвечающие входящим (в эту вершину графа возмущения) ребрам, и осуществить их морсовские перестройки в тех точках, номера которых отвечают построеннойвершине графа возмущения.Далее процесс построения графа возмущения продолжается аналогичным образом, двигаясь снизу вверх. Число шагов будет равно числу различных чисел в наборе (c1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации