Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 33
Текст из файла (страница 33)
поверхность P с краем, граничныекомпоненты которой разбиты на два класса ∂ + P и ∂ − P : положительные и отрицательныеокружности. Фиксируем на поверхности P произвольную риманову метрику. Рассмотримпроизвольную функцию Морса f ∈ F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ), т.е. функцию Морса на поверхности Pсо следующими свойствами.1) Функция f имеет лишь седловые критические точки на поверхности P .2) Функция f не имеет критических точек на границе поверхности.3) Функция f принимает значение +1 на всех p положительных компонентах границы ипринимает значение −1 на всех q отрицательных компонентах границы.Пусть x1 , . .
. , xr — (седловые) критические точки функции f . Для каждой критическойточки xi рассмотрим гладкую неориентированную сепаратрисную дугу si , т.е. входящимив эту точку траекториями векторного поля grad f . Ясно, что каждый конец сепаратриснойдуги si лежит либо на ∂ − P , либо в некоторой другой седловой точке xj функции f , гдеf (xj ) < f (xi ). Функцию Морса f ∈ F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) назовем хорошей, если оба конца каждойсепаратрисной дуги si лежат на ∂ − P . Ясно, что с помощью достаточно малой изотопии любойфункции Морса f можно добиться, чтобы эта функция стала хорошей.Определение 2.6.4. Разрезом поверхности–бордизма (P, ∂ + P, ∂ − P ) называется набор непересекающихся простых дуг s1 , .
. . , sr в P со следующими свойствами.1) Внутренность каждой дуги si лежит внутри P , а концы этой дуги лежат на ∂ − P .2) Дополнение к ∂ − P ∪ s1 ∪ · · · ∪ sr в поверхности P гомеоморфно (∂ + P ) × (0, 1]. То естьдуги s1 , . . . , sr разбивают поверхность P в объединение плоских колец.Объединение дуг разреза s1 , .
. . , sr и отрицательных окружностей ∂ − P назовем узором наповерхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ).Лемма 2.6.5 (С.В. Матвеев). Для любой хорошей функции Морса f набор сепаратрисныхдуг s1 , . . . , sr является разрезом.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ98Доказательство. Выпустим из верхнего края ∂ + P поверхности P интегральные траектории векторного поля −(f + 1)grad f .
Такие траектории определяют диффеоморфизм междуP \(∂ − P ∪ s1 ∪ · · · ∪ sr ) и (∂ + P ) × R+ ' (∂ + P ) × (0, 1], так как эти траектории взаимно непересекаются и, очевидно, целиком покрывают P \(∂ − P ∪ s1 ∪ · · · ∪ sr ). Отметим, что этитраектории не выходят из поверхности P через отрицательные окружности ∂ − P , так как наэтих окружностях указанное векторное поле обращается в ноль.
Лемма доказана.Лемма 2.6.6. (A) Для любого разреза s1 , . . . , sr поверхности P и любого выбора точек xi ∈si существует хорошая функция Морса f на P с критическими точками x1 , . . . , xr , длякоторой входящими сепаратрисами служат отрезки дуг si этого разреза, на которые ихразбивают точки xi .(B) Обозначим черезF1 (P, [s1 ∪ . .
. ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr })совокупность всех хороших функций Морса на поверхности-бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ) с фиксированными критическими точками x1 , . . . , xr , для которых набор сепаратрисных дуг изотопен набору дуг s1 , . . . , sr разреза (т.е. получается из этого разреза действием некоторогодиффеоморфизма поверхности P , оставляющего неподвижными все точки x1 , .
. . , xr и изотопного тождественному в пространстве гомеоморфизмов P , переводящих в себя каждуюточку x1 , . . . , xr ; множество таких диффеоморфизмов обозначим через Diff 0 (P ; {x1 , . . . , xr })).Пространство F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr }) всех таких хороших функций Морса линейносвязно.Доказательство. (A) (С.В. Матвеев). Рассмотрим непересекающиеся регулярные окрестности Ui дуг si в P . В каждой такой окрестности Ui рассмотрим гладкую функцию gi соследующими свойствами.1) На границе ∂Ui окрестности Ui в P функция gi постоянна и равна на ней 1.2) Функция gi имеет ровно одну критическую точку xi ∈ Ui , причем эта точка являетсяседловой.3) Дуга si образована входящими в точку xi сепаратрисами.4) На каждой из этих сепаратрис функция gi принимает значения в полуинтервале [−1, 0).Аналогично, рассмотрим регулярную окрестность U0 нижнего края ∂ − P поверхности P ,не содержащую точки xi .
В этой окрестности рассмотрим гладкую функцию g0 , которая1) постоянна на всех компонентах ее границы ∂ − P и ∂U0 ,2) она равна −1 на ∂ − P и равна 1 на ∂U0 , и3) не имеет критических точек в U0 .Склеим теперь полученные функции в единую функцию f . Для этого рассмотрим регулярную окрестность U узора ∂− P ∪s1 ∪· · ·∪sr , лежащую в U0 ∪U1 ∪· · ·∪Ur . Нетрудно показать,что в этой окрестности существует функция f , обладающая следующими свойствами.1) Функция f постоянна на всех компонентах границы ∂ − P и ∂U , причем ограничениефункции f на ∂ − P и ∂U равно соответственно −1 и 1/2.2) Вне окрестностей Ui Функция f совпадает с g0 , а вне окрестности U0 она совпадает сgi .3) Функция f не имеет других критических точек кроме x1 , .
. . , xr .Заметим теперь, что, по определению разреза, дополнение к U в P распадается на положительные кольца (∂ + P ) × [0, 1] с гладкими краями, каждое из которых примыкает ровно кодной положительной окружности из ∂ + P . Поэтому построенную функцию f можно легкопродолжить на всю поверхность P до некоторой хорошей функции Морса на поверхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ) с теми же критическими точками x1 , . . .
, xr . Существование хорошейфункции f с заданными входящими сепаратрисами доказано. Заметим, что построеннаяфункция f имеет ровно одно критическое значение — нулевое (количество критических точек равно r = −χ(P ) > 0 по условию).ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ99(B) (Е.А. Кудрявцева). Пусть f ∈ F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) — любая функция Морса, x1 , . . . , xr —ее критические точки, и s1 , .
. . , sr — ее сепаратрисные дуги. В силу (A), существует функцияf0 ∈ F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ), имеющая не более одного критического значения, и имеющая те жекритические точки x1 , . . . , xr и те же сепаратрисные дуги s1 , . . . , sr .Шаг 1. Покажем, что (при подходящем выборе функции f0 ) функции f, f0 изотопны впространствеF1 (P, s1 ∪ .
. . ∪ sr ; {x1 , . . . , xr }) ⊆ F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr })функций Морса, имеющих фиксированный набор входящих сепаратрис s1 , . . . , sr .Нетрудно продеформировать функцию f0 малым возмущением так, чтобы возмущеннаяфункция fe ∈ F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr }) имела те же сепаратрисные дуги s1 , . . . , sr .Более того, без ограничения общности можно считать, что в малой окрестности любой точкиxi функции f, f0 , fe отличаются на некоторые аддитивные константы, причем sgn (f (xi ) −f (xj )) = sgn (fe(xi ) − fe(xj )) для любых i, j ∈ {1, . .
. , r}, и связные компоненты линий уровняэтих функций совпадают в некоторых окрестностях множества s1 ∪. . .∪sr . Значит, существуетдиффеоморфизм h ∈ Diff + [−1; 1] такой, что f (xi ) = h(fe(xi )) для любого i ∈ {1, . . . , r} и h0 ≡ 1в малой окрестности множества {fe(x1 ), . . . , fe(xr )} в [−1; 1].Итак, хорошие функции Морса f и h ◦ fe имеют одно и то же множество критическихточек {x1 , .
. . , xr }, один и тот же набор входящих сепаратрис s1 , . . . , sr , причем эти хорошиефункции совпадают в малой окрестности U множества {x1 , . . . , xr }, а также имеют одни и теже связные компоненты линий уровня в некоторой окрестности Ui любой дуги si . Нетрудностроится (единственный) диффеоморфизм h0 : P → P , тождественный в U ∪ ∂ − P , переводящий интегральные кривые векторного поля grad f в интегральные кривые векторного поляgrad (h ◦ fe), и такой, чтоf = h ◦ fe ◦ h0 .Без ограничения общности считаем, что U есть объединение “крестов” (см.
определение4.2.7), Ui \ U состоит из интегральных кривых векторного поля grad f в P \ U , и h(Ui ) = Ui ,1 ≤ i ≤ r. Нетрудно проверяется, что h0 изотопен некоторому диффеоморфизму h1/2 в пространстве диффеоморфизмов пары (P, s1 ∪ · · · ∪ sr ) такому, что h1/2 = id в некоторой малойокрестности U0 узора s1 ∪ . . . ∪ sr ∪ ∂ − P , причем в процессе изотопии {ht }0≤t≤1/2 множество Uостается неподвижным, а каждая связная компонента линии уровня функции f |Ui переходитв связную компоненту линии уровня этой функции.Легко строится регулярная окрестность U1 узора s1 ∪ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
