Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так как набор сепаратрисных дуг оснащенной функции Морса(f1 , α1 ) совпадает с набором сепаратрисных дуг se1 , . . . , ser оснащенной функции (f1/2 , α1 ), то(согласно шагу 3) он получается из набора сепаратрисных дуг s∗1 , . . . , s∗r оснащенной функцииМорса (f, α) = (f0 , α0 ) скачком дуги s∗i через дугу s∗j . Так как каждая функция f0 , f1 имеетлишь одно критическое значение, то (с учетом шага 1) отсюда следует, что набор сепаратрисных дуг функции Морса f1 изотопен набору, получающемуся из набора сепаратрисныхдуг s1 , . .
. , sr функции Морса f = f0 скачком дуги si через дугу sj .Шаг 5. Итак, мы построили путь в пространстве F1 оснащенных функций Морса, соединяющий оснащенные функции (f0 , α0 ) и (f1 , α1 ), а значит, и путь в пространстве F1 функцийМорса, соединяющий функции f0 и f1 . Но обе функции f1 и fb имеют лишь одно критическоезначение и (в силу шага 4) их наборы сепаратрисных дуг изотопны друг другу, т.е.
отличаются друг от друга действием некоторого диффеоморфизма из группы Diff 0 (P ). Используяэту изотопию и лемму 2.6.6 (B), получаем, что функции f1 и fb топологически эквивалентны, а потому их тоже можно соединить путем в пространстве F1 функций Морса на P . Изуказанных путей получаем искомый путь в F1 , соединяющий функции f0 = f и fb.Лемма доказана.Развивая идеи С.В. Матвеева доказательства теорем 2.6.1 и 2.6.2, автором были доказаны[129] следующие усиления этого результата.Рассмотрим пространствоnumFp,q(M )extrфункций Морса f со следующими свойствами на замкнутой двумерной поверхности M .
Оноnumаналогично пространству Fp,q(M ), рассмотренному в параграфе 1.6.1) Функция f имеет p точек локальных минимумов и q точек локальных максимумов.2) Все точки минимумов и максимумов функции f предполагаются фиксированными наповерхности M .3) На множестве всех седловых критических точек функции f задано и фиксированоотношение порядка, или нумерация.Такую функцию Морса f можно назвать функцией с нумерацией или нумерованной функцией, с фиксированными точками локальных экстремумов.numЯсно, что пространство Fp,q(M )extr является накрывающим для пространства Fp,q (M )extr .numНа пространстве Fp,q (M )extr очевидно действует группа перестановок Σr . Здесь r — числоседловых критических точек функции f .
Ясно, что r = p+q−χ(M ), где χ(M ) = 2−2g или 2−µ— эйлерова характеристика поверхности M , g и µ — род поверхности M (в ориентируемом иnumнеориентируемом случае). Факторизуя пространство Fp,q(M )extr по действию этой группы,мы и получаем пространство Fp,q (M )extr . Слой получившегося накрытия изоморфен группеΣr .Любая изотопия ft , 0 ≤ t ≤ 1, функций Морса (определение 1.6.1), лежащих в пространnumстве Fp,q (M )extr , однозначно определяет изотопию в накрывающем пространстве Fp,q(M )extrнумерованных функций, такую, что при непрерывном изменении положения критическихточек на поверхности сохраняется их отношение порядка, т.е. нумерация.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ103Рассмотрим еще одно пространствоfrFp,q(M )extrфункций Морса f со свойствами 1), 2) и 3’) на замкнутой двумерной поверхности M , гдесвойство 3’) определяется так.3’) В каждой седловой критической точке функции Морса f ∈ Fp,q (M )extr фиксировано ееоснащение (определение 2.2.2 (В)).Назовем такую функцию f функцией Морса с оснащенными критическими точками.Полученное пространство функций Морса с оснащенными критическими точками обознаfrчим через Fp,q(M )extr .
Ясно, что это пространство является накрывающим для пространстваFp,q (M )extr со слоем, изоморфным группе (Z2 )r .Теорема 2.6.9 ([129, теорема 9]). Если M — любая связная замкнутая двумерная поверхnumfrность, то пространство Fp,q(M )extr нумерованных функций и пространство Fp,q(M )extrфункций Морса с оснащенными критическими точками линейно связны, при любых значениях p и q.Поскольку точки минимумов и максимумов предполагаются фиксированными на поверхности M , то теорему 2.6.9 можно переформулировать на языке поверхностей–бордизмов аналогично теореме 2.6.2. Обозначим черезF1,num (P, ∂ + P, ∂ − P ),F1,fr (P, ∂ + P, ∂ − P )пространства функций Морса f ∈ F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ), все критические точки которых пронумерованы (соответственно оснащены).
Теорема 2.6.9 утверждает в действительности следующее.Теорема 2.6.10 ([129, теорема 9’]). а) Любые две нумерованные функции Морса f0 и f1 , заданные на одной и той же компактной поверхности P с фиксированным разбиением края∂P = ∂ + P t ∂ − P на положительные и отрицательные граничные окружности (т.е. на одной и той же поверхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P )), могут быть гладко продеформированыдруг в друга посредством изотопии (определение 1.6.1), сохраняющей функцию на крае.
Приэтом нумерация седловых точек функции f0 перейдет в нумерацию седловых точек функции f1 . Другими словами, пространство F1,num (P, ∂ + P, ∂ − P ) нумерованных функций Морсана поверхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ) линейно связно.б) Аналогично, любые две функции Морса f0 и f1 с оснащенными критическими точками, заданные на одной и той же компактной поверхности P с фиксированным разбиением края ∂P = ∂ + P t ∂ − P , могут быть гладко продеформированы друг в друга посредством изотопии, сохраняющей функцию на крае. При этом оснащения седловых точек функции f0 перейдут в оснащения седловых точек функции f1 . Другими словами, пространство F1,fr (P, ∂ + P, ∂ − P ) функций Морса f с оснащенными критическими точками наповерхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ) линейно связно.Теоремы 2.6.9 и 2.6.10 можно еще усилить.
Рассмотрим пространствоnum,frFp,q(M )extrфункций Морса с оснащенно–нумерованными критическими точками. То есть, пространствоnumнумерованных функций f ∈ Fp,q(M )extr , в каждой седловой точке которых фиксированооснащение — ориентация сепаратрисной дуги. Ясно, что это пространство является накрывающим пространством над пространством Fp,q (M )extr со слоем, изоморфным группе Σr ×(Z2 )r .Обозначим черезnum,fr0Fp,q(M )extrпространство нумерованных функций Морса, для которых фиксированы оснащения не всехседловых точек, а всех кроме одной (скажем, последней).ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ104Теорема 2.6.11 ([129, теорема 10]).
а) Если M — любая связная замкнутая двумерная поnum,fr(M )extr функцийверхность и число седел r = p + q − χ(M ) > 0, то пространство Fp,qМорса с оснащенно–нумерованными критическими точками распадается на две компоненты линейной связности.num,fr0(M )extrб) Если M — связная замкнутая двумерная поверхность, то пространство Fp,qфункций Морса с оснащенно–нумерованными критическими точками, для которых не фиксируется оснащение одной седловой точки, линейно связно.Пусть P — поверхность с фиксированным разбиением края ∂P = ∂ + P t ∂ − P на положительные и отрицательные граничные окружности (т.е. (P, ∂ + P, ∂ − P ) — это поверхность–бордизм).
Обозначим черезF1,num,fr (P, ∂ + P, ∂ − P )соответствующее пространство функций Морса f с оснащенно–нумерованными критическими точками. Обозначим через0F1,num,fr (P, ∂ + P, ∂ − P )пространство нумерованных функций Морса, для которых фиксированы оснащения не всехседловых точек, а всех кроме одной (скажем, последней).
На языке поверхностей–бордизмовтеорема 2.6.11 формулируется так.Теорема 2.6.12 ([129, теорема 10’]). а) Для любой поверхности P с фиксированным разбиением края ∂P = ∂ + P t ∂ − P на положительные и отрицательные граничные окружности, таких, что χ(P ) < 0, ∂ + P 6= ∅ и ∂ − P 6= ∅, соответствующее пространствоF1,num,fr (P, ∂ + P, ∂ − P ) функций Морса f с оснащенно-нумерованными критическими точками распадается на две компоненты линейной связности.0б) Для любой поверхности–бордизма (P, ∂ + P, ∂ − P ) пространство F1,num,fr (P, ∂ + P, ∂ − P )функций Морса f с оснащенно-нумерованными критическими точками, для которых нефиксируется оснащение одной седловой точки, линейно связно.Другими словами, любые две функции Морса f0 и f1 с оснащенно-нумерованными критическими точками, для которых не фиксируется оснащение одной седловой точки, заданныена одной и той же поверхности P , могут быть гладко продеформированы друг в друга посредством изотопии, сохраняющей функцию на краю P .
При этом, фиксированные оснащения инумерация седловых точек функции f0 перейдут в фиксированные оснащения и нумерациюседловых точек функции f1 .2.7Инварианты изотопности на пространстве Ffix функций Морса с фиксированными критическими точками. Комплексы функций МорсаВ этом разделе излагаются результаты работы автора [133].В предыдущем §2.6 изучались функции Морса с фиксированными (т.е. закрепленными)точками локальных экстремумов на замкнутой поверхности M , и была доказана изотопность (определение 1.6.1) любых двух функций Морса из этого пространства Fp,r (M )extr вэтом же пространстве.
В настоящем параграфе исследуется изотопность функций Морса вfixпространстве Ffix = Fp,q,rфункций Морса, у которых все критические точки (а не толькоточки локальных экстремумов) фиксированы.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ105fix —Аннотация: Пусть M – гладкая замкнутая связная ориентируемая поверхность и Ffix = Fp,q,rпространство функций Морса на M , имеющих ровно p критических точек локальных минимумов, q ≥ 1 седловых критических точек и r точек локальных максимумов, причем все эти точкификсированы. Пусть Fffix — компонента связности функции f ∈ Ffix в Ffix . С помощью числавращения, введенного Рейнхартом (1960), построена сюръекция π0 (Ffix ) → Zp+r−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
