Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Подгруппы Hfabs и Hf являются нормальными в Df∗ , и выполнены следующиеусловия:(A) Ограничение Bfabs |H : H → Zq−1на любую из трех подгрупп H ∈ {Df∗ , K , Df∗ ∩ K }2является эпиморфизмом, при H = K не зависит от f , и Hfabs ⊂ ker (Bfabs |Df∗ ). При q ≥ 2для любой пары седловых критических точек скручивание Дэна вокруг границы некоторогодиска (зависящего от f ), содержащего эти две точки и не содержащего других критических точек, принадлежит Df∗ \ Hfabs (т.е. сохраняет компоненту Fffix функции f в Ffix , ноне является абсолютно допустимым диффеоморфизмом для f ). В частности, ограничениеabs( Df∗ при q ≥ 2.

ЕслиBfabs |Df∗ индуцирует эпиморфизм Df∗ /Hfabs → Zq−12 , и поэтому HfM = S 2 и q ≥ 2, то Hfabs = Hf ( Df∗ .(Б) Если M 6= S 2 , то ограничение Bfabs |Hf : Hf → Z2q−1 является эпиморфизмом, индуцирующим эпиморфизм Hf /Hfabs → Z2q−1 , причем Hfabs ( Hf ⊂ Df∗ и допустимый дляфункции f диффеоморфизм на рис.

2.4 не является абсолютно допустимым для f .Если у функции f1 ∈ Fffix ровно q ≥ 1 седловых критических значений, то на M имеютсяq + g − 1 окружностей, являющихся компонентами линий уровня функции f1 , и таких чтоподгруппа группы Hfabs /(D ∗ )0 , порожденная скручиваниями Дэна вокруг этих окружностей,изоморфна Zq+g−1 .Следствие 2.7.6. (A) Пусть M = S 2 .

Если количество седел q ≥ 2, то имеется цепочкачетырех групп (D ∗ )0 ( Hfabs = Hf ( Df∗ ( D ∗ , в которой все множества смежных классовнетривиальны и допускают мономорфизм Zq−1 Hfabs /(D ∗ )0 и эпиморфизмы Df∗ /Hf →Z2q−1 , D ∗ /hhDf∗ ii → Zp+r−1 . Если q = 1, то имеются две группы (D ∗ )0 = Hfabs = Hf = Df∗ (D ∗ с бесконечной факторгруппой D ∗ /(D ∗ )0 ∼= π1 (S 2 \ {x2 , x3 , x4 }, x1 ) ∼= F2 , где F2 – свободнаягруппа ранга 2.(Б) Если M 6= S 2 , то имеется цепочка пяти групп (D ∗ )0 ( Hfabs ( Hf ⊂ Df∗ ( D ∗ , вкоторой все множества смежных классов (за исключением, быть может, Df∗ /Hf ) нетривиальны и допускают мономорфизм Zq+g−1 Hfabs /(D ∗ )0 , эпиморфизм Hf /Hfabs → Zq−12и сюръекцию D ∗ /Df∗ → Zp+r−1 .Доказательство теорем 2.7.2 и 2.7.5. Шаг 1.

В данном доказательстве под кривой понимается гладкое компактное (не обязательно связное) ориентированное 1-мерное подмногообразие α ⊂ M , край которого есть пересечение множества α с множеством критическихточек x1 , . . . , xp+q+r . Пустьγi : [0, 1] → M,1 ≤ i ≤ p + q + r − 1,(2.12)– кривая из точки γi (0) = xp+q+r в точку γi (1) = xi . Фиксируем на M риманову метрику.Определение 2.7.7. Для любой такой кривой γ : [0, 1] → M и любой функции f ∈ Ffix обозначим через wf (γ) вещественное число, равное “полному количеству оборотов” касательноговектора dγ(t) вокруг нуля по отношению к ортогональному реперу в Tγ(t) M , содержащемуdtвектор grad f (γ(t)), 0 < t < 1.

Для несвязной кривой γ ⊂ M определим wf (γ) равным суммечисел, отвечающих ее компонентам. Назовем wf (γ) числом вращения кривой γ по отношению к функции f . Оно совпадает с числом вращения кривой γ по отношению к векторномуполю grad f (см. [118, §2], [65, определения (1.1)] или [60, §3.2]). Для замкнутой кривой γ число wf (γ) целое и не меняется при деформациях функции f ∈ Ffix (см. [118, §2], [65, леммы(5.1) и (5.2)], [60, §3.1, утверждение 5]).ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ109Аналогично [118, §2], определим различающее число кривой γ по отношению к функциямf, f h:∂h wf (γ) := wf (hγ) − wf (γ) = wf h (γ) − wf (γ) = (wf h − wf )(γ), h ∈ D ∗ .Отметим некоторые свойства чисел wf (γ) и ∂h wf (γ). Для любой пары h1 , h2 ∈ D ∗ выполнено∂h1 h2 wf (γ) = ∂h1 wf (γ) + ∂h2 wf h1 (γ),(2.13)поскольку ∂h1 h2 wf (γ) = (wf h1 h2 −wf )(γ) = (wf h1 h2 −wf h1 +wf h1 −wf )(γ) = (∂h2 wf h1 +∂h1 wf )(γ).Если si – маленькая окружность вокруг точки xi , ориентированная “против часовой стрелки”,тоwf (si ) = 1 − indxi (grad f ), 1 ≤ i ≤ p + q + r.(2.14)Таким образом, wf (si ) всегда четно, так как wf (si ) = 0 для точек xi локальных минимумови максимумов (q < i ≤ p + q + r) и wf (si ) = 2 для седловых точек xi (1 ≤ i ≤ q).

Более общо,для любой (не обязательно связной) разбивающей кривой α = ∂N , где N ⊂ M , выполненоXwf (∂N ) = χ(N ) −indxi (grad f ),(2.15)xi ∈Nгде кривая ∂N ориентирована так, что N “находится слева” (это выводится из (2.14) приклеиванием дисков к компонентам ∂N и продолжением векторного поля grad f внутрь каждогодиска с одной особой точкой, см. [65, лемма (5.7)]). Для любой кривой γ и любой связнойзамкнутой кривой α∂tkα wf (γ) = khα, γiwf (α),k ∈ Z,(2.16)где hα, γi – индекс пересечения кривых α и γ, tα – скручивание Дэна вокруг α.Согласно (2.14), (2.16) и построению (2.12) кривых γi , для любого j ∈ [1, p + q + r − 1]выполнено∂tsj wf (γi ) = 2δij ,1 ≤ i ≤ q;∂tsj wf (γi ) = 0,q < i ≤ p + q + r − 1.(2.17)Для любого h ∈ D ∗ выберем диффеоморфизм eh ∈ h(D ∗ )0 , ограничение которого на малуюокрестность U множества точек x1 , . . .

, xp+q+r совпадает с idM . Ясно, что число ∂eh wf (γi )целое и сохраняется при деформациях функции f в Ffix . При этом, в силу (2.13) и (2.17),значения ∂eh wf (γi ) mod 2 ∈ Z2 , 1 ≤ i ≤ q, и ∂eh wf (γi ) ∈ Z, q < i ≤ p + q + r − 1, не зависят отвыбора диффеоморфизма eh. Для любых функции f ∈ Ffix и набора кривых (2.12) определимabsотображения Bf и Bf формуламиBfabs : D ∗ → Zq−12 ,Bfabs (h) := (∂eh wf (γ1 ) mod 2, . . . , ∂eh wf (γq−1 ) mod 2);Bf : D ∗ → Zp+r−1 ,Bf (h) := (∂eh wf (γq+1 ), . . . , ∂eh wf (γp+q+r−1 )).В силу (2.13), для любых h1 , h2 ∈ D ∗ выполнены равенстваBf (h1 h2 ) = Bf (h1 ) + Bf h1 (h2 ),Bfabs (h1 h2 ) = Bfabs (h1 ) + Bfabsh1 (h2 ).(2.18)absПоэтому для любых h1 ∈ Df∗ и h2 ∈ D ∗ выполнены (в силу Bf h1 = Bf и Bfabsh1 = Bf ) равенстваBf (h1 h2 ) = Bf (h1 ) + Bf (h2 ),Bfabs (h1 h2 ) = Bfabs (h1 ) + Bfabs (h2 ).(2.19)Шаг 2.

Докажем равенство Bf (Df∗ h2 ) = Bf (h2 ) для любого h2 ∈ D ∗ . Сначала докажемравенство Bf (Df∗ ) = 0. Для любого h ∈ Df∗ рассмотрим число ∂eh wf (γi ) = wf eh (γi ) − wf (γi ),q < i < p + q + r. Пусть U 0 ⊂ U – малая окрестность множества {xq+1 , . . .

, xp+q+r } точеклокальных минимумов и максимумов. Тогда любой путь ft в Ffix со свойством f0 |U = f1 |Uгомотопен в классе путей с фиксированными концами в пространстве Ffix такому пути fet ,что fet |U 0 = f0 |U 0 при любом t ∈ [0, 1]. Из h ∈ Df∗ имеем f eh ∈ Fffix , поэтому существует путь ftв Ffix , такой что f0 = f , f1 = f eh и ft |U 0 = f |U 0 при любом t ∈ [0, 1]. Разность wft (γi ) − wf (γi )целая при любом t (так как концы кривой γi содержатся в U 0 ), а значит, постоянна и равнаГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ110wf eh (γi ) − wf (γi ) = wf0 (γi ) − wf (γi ) = 0.

Поэтому Bf (h) = 0 и Bf (Df∗ ) = 0. С учетом (2.19), этодает Bf (Df∗ h2 ) = Bf (Df∗ ) + Bf (h2 ) = Bf (h2 ).Докажем равенство Bfabs (Hfabs h2 ) = Bfabs (h2 ) для любого диффеоморфизма h2 ∈ D ∗ . Заметим, что wf (α) = 0 для любой допустимой кривой α для f (см.

определение 2.7.3). В силу(2.16), это дает равенство ∂tkα wf (γi ) = 0 при 1 ≤ i < p + q + r, k ∈ Z, откуда Bfabs (tkα ) = 0.С учетом (2.19), для любого h2 ∈ D ∗ выполнено Bfabs (tkα h2 ) = Bfabs (h2 ), откуда индукциейполучаем Bfabs (Hfabs h2 ) = Bfabs (h2 ).Шаг 3. Докажем, что отображения Bfabs |Df∗ , Bfabs |K и Bf |K являются гомоморфизмами,причем второй и третий не зависят от функции f ∈ Ffix .

Первое отображение являетсягомоморфизмом в силу (2.19). В силу (2.15), для любой связной разбивающей кривой α =∂N число wf (α) не зависит от f . С учетом (2.16), для любого k ∈ Z число ∂tkα wf (γ) =khα, γiwf (α) тоже не зависит от f . Поэтому Bf (tkα ) не зависит от f .

Отсюда и из (2.18)получаем, что Bf (h1 tkα ) = Bf (h1 ) + Bf h1 (tkα ) = Bf (h1 ) + Bf (tkα ) для любого h1 ∈ D ∗ . ПоэтомуBf |K – гомоморфизм и не зависит от f ; аналогичное верно для Bfabs |K .Шаг 4. Покажем, что гомоморфизмы Bfabs |Df∗ ∩K и Bf |K являются эпиморфизмами. Этоследует из следующего факта. Для любых функции f ∈ Ffix и числа i 6= q, 1 ≤ i < p +q + r (точнее, i < q для Bfabs |Df∗ ∩K и i > q для Bf |K ) можно построить замкнутую кривуюsiq = si #sq ⊂ M , являющуюся “связной суммой” маленьких окружностей si и sq вокругкритических точек xi и xq и такую, что скручивание Дэна tsiq вокруг кривой siq обладаетследующими свойствами:1. tsiq ∈ K , а в случае 1 ≤ i < q выполнено tsiq ∈ Df∗ (т.е.

функция f tsiq принадлежиткомпоненте связности Fffix функции f в пространстве Ffix );2. в случае 1 ≤ i < q элемент Bfabs (tsiq ) совпадает с i-ым элементом канонического базисагруппы Zq−12 , а в случае q < i < p+q+r элемент Bf (tsiq ) совпадает с (i−q)-ым элементомканонического базиса группы Zp+r−1 (поэтому Bfabs (Df∗ ∩K ) = Zq−1и Bf (K ) = Zp+r−1 ).2Первая часть пункта 1 следует из определения группы K (так как siq – связная разбивающаякривая).

Характеристики

Список файлов диссертации