Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 39
Текст из файла (страница 39)
. . , πrs },π1 < . . . < πr1 , πr1 +1 < . . . < πr2 , . . . , πrs−1 +1 < . . . < πrs .(2.21)Здесь Σr1 ×Σr2 −r1 ×. . .×Σrs −rs−1 — подгруппа группы Σq , отвечающая разбиению {1, . . . , q} ={1, . . . , r1 } t {r1 + 1, . . . , r2 } t . .
. t {rs−1 + 1, . . . , rs }, и действие перестановки ρ ∈ Σq на точкеPπ дает точку Pρπ , где (ρπ)i := πρi , 1 ≤ i ≤ q.Если разбиение Jb получается из разбиения J = (J1 , . . . , Js ) путем измельчения (т.е. разбиения некоторых множеств Jk на несколько подмножеств), будем писать Jb ≺ J. Из описанияграней многогранника Pq−1 следует, что условие Jb ≺ J равносильно τJb ≺ τJ (см. определение 2.7.9(В)).Шаг 2. Для каждой функции Морса f ∈ Ffix рассмотрим набор c̄ = c̄(f ) = (c1 , . . .
, cq ) ∈ Rqее седловых критических значений ci := f (xi ), 1 ≤ i ≤ q. Сопоставим набору c̄ = (c1 , . . . , cq )число s(c̄) := |{c1 , . . . , cq }| различных седловых значений и упорядоченное разбиение J(c̄) =(J1 , . . . , Js ) множества {1, . . . , q}, определяемое свойствами (2.21) иcπ1 = . . . = cπr1 < cπr1 +1 = . .
. = cπr2 < . . . < cπrs−1 +1 = . . . = cπrs .(2.22)Сопоставим разбиению J(c̄) и классу почти-эквивалентности [f ]a грань τJ(c̄) ⊂ Pq−1 . Имеемdim τJ(c̄) = q − s(c̄).Шаг 3. Покажем, что для любой функции f ∈ Ffix имеется биекция δ[f ]a между множеством всех граней τ 0 ≺ τ := τJ(c̄(f )) и множеством всех классов почти-эквивалентностиГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ114[g]a [f ]a (см. определение 2.7.9(В)), такая что δ[f ]a : τ 0 7→ [g]a =: δτ 0 [f ]a при τ 0 = τJ(c̄(g)) . Этоследует из следующих двух свойств:1) для любого c̄ ∈ Rq существует ε0 > 0, такое что (i) для любого c̄0 ∈ Rq со свойством|c̄0 − c̄| < ε0 выполнено J(c̄0 ) J(c̄), и (ii) для любых ε ∈ (0, ε0 ] и разбиения Jb J(c̄)bсуществует c̄0 ∈ Rq со свойствами |c̄0 − c̄| < ε0 и J(c̄0 ) = J;2) согласно утверждению 2.5.2 или [145, утверждение 1.1 и §3], любая функция f ∈ Ffixимеет окрестность U в Ffix , такую что для любых g, g1 ∈ U равенства [g]a = [g1 ]a и J(c̄(g)) =J(c̄(g1 )) равносильны.Из этих свойств получаем, что из [h]a [g]a [f ]a следует [h]a [f ]a .
Поэтомуδτ 00 [f ]a = δτ 00 δτ 0 [f ]aдля любых граней τ 00 ≺ τ 0 ≺ τJ(c̄(f )) .(2.23)Шаг 4. Опишем построение полиэдрального комплекса K, удовлетворяющего условиямпункта (Б), вместе с правильным отображением r0 : K → Pq−1 . Рассмотрим метрическоепространствоGX :=υ[f ]a ,[f ]a ∈Ffix /∼где υ[f ]a является выпуклым многогранником, изометричным грани τJ(c̄(f )) ⊂ Pq−1 . Фиксируем отображение π : X → Pq−1 , ограничение которого на каждый многогранник υ[f ]a являетсяизометрией υ[f ]a → τJ(c̄(f )) .
Очевидно, π является правильным отображением полиэдральныхкомплексов (см. определение 2.7.9(Б)). Обозначим ϕ[f ]a := (π|υ[f ]a )−1 : τJ(c̄(f )) → υ[f ]a .ОпишемF(индукцией по k ≥ 0) построение отношения эквивалентности на множествеυ[f ]a ⊂ X вместе с отображением πk : K (k) → (Pq−1 )(k) , таких чтоX (k) :=dim υ[f ]a ≤kπk ◦ pk = π|X (k) ,pk ◦ ϕ[f ]a |τ 0 = pk ◦ ϕδτ 0 [f ]a∀f ∈ Ffix , dim υ[f ]a ≤ k,∀τ 0 ≺ τJ(c̄(f )) ,(2.24)где K (k) – множество классов эквивалентности в X (k) , pk : X (k) → K (k) – каноническая проекция, δ[f ]a – биекция из шага 3. При k = 0 различные точки считаем не эквивалентными,определим π0 формулой π0 (υ[f ]a ) := τJ(c̄(f )) при dim υ[f ]a = 0, тогда выполнено (2.24) дляk = 0.
Пусть k ≥ 1 и отношение эквивалентности на X (k−1) с отображением πk−1 уже построены, причем K (k−1) является (k −1)-мерным полиэдральным комплексом, πk−1 – правильнымотображением и выполнено (2.24) для k − 1. Из (2.23) и (2.24) для k − 1 следует, что длякаждого [f ]a , dim υ[f ]a = k, имеется правильное вложение ϕ0[f ]a : ∂τJ(c̄(f )) → K (k−1) , такое чтоϕ0[f ]a |τ 0 = pk−1 ◦ ϕδτ 0 [f ]a для любого τ 0 ≺ τJ(c̄(f )) .
Определим отношение эквивалентности на!FK (k−1) tυ[f ]a , отождествляя каждую точку из ∂υ[f ]a с ее образом при правильномdim υ[f ]a =kвложении ϕ0[f ]a ◦ π. Тогда выполнено (2.24), откуда K (k)и πk : K (k) → (Pq−1 )(k) – правильное отображение.– k-мерный полиэдральный комплексТаким образом, мы построили отношение эквивалентности ∼glue на всем X = X (q−1) , полиэдральный комплекс K = K (q−1) = X/ ∼glue и правильное отображение r0 = πq−1 : K → Pq−1 .Шаг 5. Из утверждения и теоремы 2.7.11(Б) следует, что полиэдральный комплекс Kконечен.
Из результата о приведении функций Морса к нормальной форме (см. предложение 1.6.5 или [129, предложение 2]) следует, что K связен. Аналогично шагам 2–4 строитсяe удовлетворяющий условиям пункта (Б), вместе с правильнымполиэдральный комплекс K,q−1eотображением K → P(для этого надо всюду в шагах 2–4 заменить [f ]a , υ[f ]a , X, X (k) ,e Xe (k) , Ke (k) , πK (k) , π, πk , pk , ϕ[f ]a , ϕ0[f ]a на [f ]a−top , υe[f ]a−top , X,e, πek , pek , ϕe[f ]a−top , ϕe0[f ]a−top ). Рассмотрим правое действие группы D ∗ /(D ∗ )0 на метрическом пространствеGe :=Xυe[f ]a−top ,[f ]a−top ∈Ffix /∼a−topГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ115где элемент h(D ∗ )0 ∈ D ∗ /(D ∗ )0 действует по правилуh(D ∗ )0 |υe[f ]a−top := ϕe[f h]a−top ◦ πe|υe[f ]a−top : υe[f ]a−top → υe[f h]a−top ;∗eтогда имеем гомеоморфизм X ≈ X/(D/(D ∗ )0 ).
Это действие индуцирует действие групe автоморфизмами полиэдрального комплекса (так как отобрапы D ∗ /(D ∗ )0 на полиэдре Kq−1e → Pe D ∗ /(D ∗ )0 жения πe: Xи δτ 0 , а потому и отношение эквивалентности ∼glue на X,e→инвариантны). Поэтому композиция правильного D ∗ /(D ∗ )0 -инвариантного отображения X∗∗ 0X и правильного отображения X → K индуцирует правильное D /(D ) -инвариантное отобe → K, такое что r(eражение r : Kσ ) = σ ↔ [f ]a при σe ↔ [f ]a−top . Отсюда r — разветвленноенакрытие (см. определение 2.7.10).Шаг 6 (отсутствовавший в работе [133]).
Осталось доказать пункт (А) теоремы 2.7.11 иутверждение о том, что r0 — разветвленное накрытие. Заметим, что они не будут использованы в доказательствах последующих теорем 2.7.13 и 2.7.14 настоящего параграфа. Теорема2.7.11 (А) будет доказана в предложении 3.6.4 (которое будет получено на основе теорем 3.3.3и 3.5.6).Покажем, что r0 является разветвленным накрытием. Заметим, что для любой функцииМорса g ∈ Ffix и любой грани τJ τJb многогранника Pq−1 , примыкающей к грани τJb, гдеJb := J(c̄(g)) и Jb ≺ J, выполнено следующее:(i) существует гладкая риманова метрика, по отношению к которой набор входящих сепаратрис векторного поля grad g является хорошим, т.е.
все сепаратрисы выходят из критических точек локальных минимумов (т.е. нет сепаратрисы, выходящей из одной седловойточки и входящей в другую седловую точку);(ii) существует правильная функция Морса f0 ∈ Ffix (определение 2.4.3 (E)) такая, чтовходящие сепаратрисы векторных полей grad f0 и grad g совпадают, согласно лемме 2.6.6;(iii) так как все седловые критические значения функции f0 совпадают, то существуют “возмущенные” функции fe, f , сколь угодно C 2 -близкие к f0 и такие, что J(c̄(f )) = J иJ(c̄(fe)) = Jb = J(c̄(g));(iv) нумерованные седло-упорядоченные графы Gfnum,≤, Ggnum,≤ ⊂ M (см. их определениеeв теореме 2.3.4), рассматриваемые с точностью до диффеоморфизмов из (D ∗ )0 , совпадают.Это следует из совпадения (с точностью до диффеоморфизмов из (D ∗ )0 ) хороших наборов входящих сепаратрис (см.
(i)) у векторных полей grad fe и grad g ввиду (ii), равенстваJ(c̄(fe)) = Jb = J(c̄(g)) ввиду (iii), и однозначной определенности (с точностью до диффеоморфизмов из (D ∗ )0 ) нумерованного седло-упорядоченного графа GFnum,≤ любой функцииМорса F ∈ Ffix хорошим набором ее входящих сепаратрис и частичным порядком на множестве седел x1 , . . . , xq согласно значениям функции F в этих точках;(v) верна топологическая почти-эквивалентность fe ∼a−top g в силу (iv) и теоремы 2.3.4;(vi) верна почти-эквивалентность fe ∼a g в силу (v).Обозначим через σ, σe клетки комплекса K, отвечающие классам [f ]a , [fe]a , т.е.
σ ↔ [f ]a иσe ↔ [fe]a . В силу (vi) и утверждения 2.5.2 имеем примыкание классов почти-эквивалентности[f ]a ≺ [fe]a = [g]a в Ffix . Поэтому примыкают соответствующие клетки комплекса K, т.е.σe ≺ σ, в силу теоремы 2.7.11 (Б). Согласно (iii) и построению отображения r0 : K → Pq−1 нашаге 4, имеем r0 (σ) = τJ(c̄(f )) = τJ и r0 (eσ ) = τJ(c̄(fe)) = τJb. Таким образом, мы построили клеткуσ комплекса K, примыкающую к клетке σe ↔ [fe]a = [g]a и переходящую при отображенииq−1r0 : K → Pв грань τJ .
Поэтому r0 является разветвленным накрытием.e обозначим через (D ∗ )τb множествоОбозначение 2.7.12. Для любой клетки τb комплекса K∗∗ 0элементов h ∈ D /(D ) , таких что τbh = τb (см. теорему 2.7.11(В)). Пусть K (r) – r-мерныйостов комплекса K.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ116Теорема 2.7.13. Пусть q ≥ 1 и f ∈ Ffix . Имеется эпиморфизм µ : π1 (K) → Df∗ /Hf . Вчастности, группа Df∗ /Hf имеет набор образующих µ([γ1 ]), .
. . , µ([γ` ]), где [γ1 ], . . . , [γ` ] –образующие π1 (K).e – клетки комплексов K и K,e отвечающие классамДоказательство. Пусть τ ⊂ K и τe ⊂ K[f ]a и [f ]a−top (см. теорему 2.7.11(Б)). Без ограничения общности считаем, что эти клеткиe f – связная компонента комплекса K,e содержащая клетку τe. Рассмотримнульмерны. Пусть K∗ 0∗e f (см. теорему 2.7.11(В)).правое действие группы Df /(D ) и ее подгруппы Hf /(D ∗ )0 на K∗∗0e f → K является D /(D ) -инвариантным (см. там же), тоТак как разветвленное накрытие Kf0∗ 0eKf := Kf /(Hf /(D ) ) – полиэдральный комплекс, а проекция rf0 : Kf0 → K ≈ Kf0 /(Df∗ /Hf )– разветвленное накрытие.
В действительности, rf0 является накрытием, так как Kf0 связени действие на нем группы Df∗ /Hf свободно (в силу (D ∗ )τb ⊂ Hf /(D ∗ )0 ). Поэтому имеетсяестественный эпиморфизм µ : π1 (K, τ ) → Df∗ /Hf , переводящий гомотопический класс любойe(1) = γe(0)h−1петли γ : [0, 1] → K, γ(0) = γ(1) = τ , в элемент hγ ∈ Df∗ /Hf , такой что γγ .
Здесь∗ 00e(0) = τe(Hf /(D ) ).γe : [0, 1] → Kf – такое поднятие пути γ, что γОпишем теперь образующие группы Df∗ /(D ∗ )0 в терминах конечного связного графа K (1) .Пусть T ⊂ K (1) – остовное дерево графа K (1) , пусть σ1 , . . . , σn – все ребра из K (1) \ T .Пусть τ1 , . .
. , τV и σ1 , . . . , σE – все вершины и все ребра графа K (1) (каждое ребро снабдимe – любое непрерывноепроизвольной ориентацией). Имеем n = E − V + 1. Пусть S : T → Kподнятие дерева T , такое что S(τ ) = τe (здесь τ, τe как в доказательстве теоремы 2.7.13), ипусть σbe – такое поднятие ребра σe , что σbe (0) = S(σe (0)), 1 ≤ e ≤ n. Имеем σbe (1) = S(σe (1))he∗∗ 0∗для некоторого he ∈ Df /(D ) , 1 ≤ e ≤ n. Элементы h1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
