Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(3.2)). Тем самым,мы сводим изучение топологии пространства F функций Морса к комбинаторной задачеe (теоремы 3.2.1, 3.2.8, 3.5.6, 3.5.10). В случае M = S 1— изучению топологии полиэдра Ke состоит из одной точки и R = S 1 .аналогичный комплекс Ke могут быть изучены методами теории Морса,В некоторых случаях гомологии полиэдра Ke на косые цилиндрические ручки. В качествеввиду естественного разложения полиэдра Keиллюстрации мы получаем обобщенные неравенства Морса для чисел Бетти пространства Kи находим его эйлерову характеристику в случае, когда род поверхности M равен нулю и укаждой функции f ∈ F не менее χ(M ) + 1 критических точек помечены разными метками,т.е.
занумерованы (следствия 3.3.6 и 3.4.2).e функций Морса аналогичны известным (абстрактным симплиe иKНаши комплексы Kциальным флаговым) комплексам, рассматриваемым при изучении группы классов отображений поверхности M (см. [71]): комплекс C(M ) кривых [80, 79, 90], двумерный комплексCP (M ) разбиений на штаны [82]) и его одномерный остов — граф CP1 (M ) разбиений на штаны [99], комплекс Gsg толстых, или ленточных, графов на поверхности рода g c s > 2 − 2gГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА120проколами [124], граф Γp+d− ,q,r+d+ клеточных разбиений С.В.
Матвеева (см. §2.6 или [129,теорема 8]) и граф Γ∗p+d− ,q,r+d+ оснащенных клеточных разбиений (см. §2.6), комплекс Cs (M )разбивающих кривых и комплекс Торелли T (M ) (см. [71]), кубические комплексы [102].Опишем известные ранее результаты по топологии пространств функций Морса и другихпространств гладких функций с “умеренными” особенностями (см. результаты (R1)—(R7) из§2.1).(R0) С использованием параметрического h-принципа В.А. Васильев (см.
работу [14] иссылки в ней) изучил кольца когомологий пространств Rn -значных функций с умеренными особенностями на любом гладком многообразии (т.е. функций, не имеющих “слишкомсложных” критических точек, где морсовская особенность и особенность типа рождениеуничтожение пары критических точек считаются не слишком сложными). Однако 1-параметрический h-принцип невыполнен для пространств функций Морса на некоторых компактных многообразиях размерности большей 5, как показано в работах [64, 81]. Группыгомологий и гомотопий пространств функций с умеренными особенностями (с допущениемне-морсовских особенностей) на окружности изучал В.И. Арнольд [1].(R1) А.Т.
Фоменко [33, 32, 34, 9, 10, 8], [53, theorem 2.16] описал полный инвариант послойной эквивалентности в пространстве Fp,q,r (M ) функций Морса на поверхностях в терминахкомбинаторных объектов — “атомов” и “молекул” (предложение 2.4.6). Более точно: в работахА.Т. Фоменко [33, 32] была получена классификация особенностей боттовских интегралов наизоэнергетических поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Позжедостаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано в работе А.В.Болсинова, С.В. Матвеева, А.Т. Фоменко [8], где были введены понятия атомов и молекул.(R2) В 1997 г. А.
Т. Фоменко поставил вопрос о линейной связности пространства Fp,q,r (M ).Положительный ответ был получен автором (см. теорему 1.6.2 или [129, теорема 4]) дляM = S 2 , RP 2 , С. В. Матвеевым [129, теоремы 8 и 8’] и Х. Цишангом [38] (1998) в общемслучае (а также В.В. Шарко [40] (1998) и С.И. Максименко [96] (2005)). Более того, С. В.Матвеев (см. теорему 2.1.1, или теоремы 2.6.1 и 2.6.2, или [129, теоремы 8 и 8’]) доказаллинейную связность пространства Fp,q,r (M )extr ⊂ Fp,q,r (M ) с фиксироваными критическимиточками локальных экстремумов на поверхности M . В предыдущей главе 2 мы вывели изтеоремы 2.1.1 ее обобщение (теоремы 2.6.9, 2.6.10, 2.6.11, 2.6.12 или [129, теоремы 9, 9’, 10,num10’]), в частности доказали линейную связность пространства Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) функцийМорса с пронумерованными критическими точками, см.
определение 2.2.2 (Б). Мы также доказали, что пространство функций Морса с закрепленными критическими точками состоитиз бесконечного числа связных компонент (теорема 2.7.2 или [133, теорема 1]).Замечание 3.1.1. Упомянутая теорема 2.1.1 Матвеева–Цишанга по сути доказывает 1-параметрический скорректированный h-принцип, относящийся к непрерывным отображениям отрезка в пространство Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) функций Морса.
Отметим, что в изначальныхдоказательствах С.В. Матвеева [129, теоремы 8 и 8’] и Х. Цишанга [38] теоремы 2.1.1 содержался пробел, а именно не было полного доказательства двух лемм 2.6.6 (B) и 2.6.8. Мыпривели в §2.6 более полные доказательства этих лемм с использованием нашего критериятопологической эквивалентности функций Морса (теорема 2.3.4) и введенного нами понятия оснащенных функций Морса (определение 3.2.2).
Укажем еще один способ доказательства указанных лемм: в действительности, они легко следуют из нашего результата (3.1),т.е. из теоремы 3.5.10. Поясним: каждое из изначальных доказательств в [129] и [38] теоремы 2.1.1 Матвеева-Цишанга полностью доказывает лишь “комбинаторное” утверждение,равносильное связности некоторого графа Γp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ), строящегося по пространству Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ). Доказательство теоремы 2.1.1 состоит из двух частей:1) сведение задачи о вычислении π0 (F) к комбинаторной задаче о вычислении π0 (Γ) (которое было неполным в [129] и [38], см.
выше);ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА1212) решение комбинаторной задачи о вычислении π0 (Γ) (С.В. Матвеев решал эту задачуметодом спайнов [129, теоремы 8 и 8’], а Х. Цишанг — методом Нильсена [38]).В настоящей главе мы вводим более общее пространство F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса (определение 3.1.3) и решаем для него (в большинстве случаев) параметe оснащенных функций Морса и доказырический аналог первой задачи: строим комплекс K0eваем гомотопическую эквивалентность F ∼ D × K (аналог параметрического h-принципа,e Можно показать, что соответствующий графсм. теорему 3.5.10), откуда π0 (F) = π0 (K).Γ = Γp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) из второй задачи двойствен в некотором смысле комe откуда π0 (K)e = π0 (Γ).
Поэтому из связности графа Γ (доказанной Матвеевым иплексу K,e = π0 (Γ) = 0, т.е. пространство F линейно связно. ТемЦишангом) получаем π0 (F) = π0 (K)самым, результаты настоящей работы (точнее, либо теорема 2.3.4 и наш метод оснащенныхфункций Морса, см. определение 3.2.2 и наше доказательство лемм 2.6.6 (B) и 2.6.8, либотеорема 3.5.10) восполняют пробел в изначальных доказательствах теоремы 2.1.1.(R3) Полный инвариант изотопности в пространстве гладких функций без критическихточек на открытой поверхности (с краем) описан Ю.М.
Бурманом [13, 60] в терминах числавращения.(R4), (R5) В.И. Арнольд [2]—[4] и Е.В. Кулинич [95] исследовали количество классовэквивалентности (см. определение 2.2.4) типичных (следствие 2.4.12) функций Морса напрямой [2] и на поверхности [3, 95, 44, 45, 4]. Дж. Харер и Д. Загье [78] вычислили (1986)количество εg (q) классов послойной эквивалентности (= эквивалентности) правильных (определение 2.4.3 (E)) функций Морса f на замкнутой поверхности M рода g, имеющих ровноодну точку локального минимума и q седловых точек, причем одна седловая точка оснащена (определение 2.2.2 (В)).
Как мы уже отмечали, такие комбинаторные результаты имеютважные топологические приложения. Например, результат (R5) Харера–Загье позволит намвычислить гомологические инварианты (типа эйлеровой характеристики) некоторых связных компонент пространств функций Морса на сфере (следствие 3.4.2 (C)). Кроме того, втерминах таких комбинаторных результатов мы оценим сверху числа Бетти связных компонент пространств функций Морса на сфере (следствия 3.3.6, 3.4.2 и предложение 3.3.17).(R6) С.И. Максименко [97] доказал асферичность класса топологической сопряженности(определение 2.2.4 (A)) любой функции Морса, имеющей седловые критические точки, назамкнутой связной поверхности и изучил свойства фундаментальных групп этих классовсопряженности.(R7) Функции Морса на поверхностях изучали А.Т.
Фоменко [32], С.В. Матвеев и Фоменко [21, 23, 22], Матвеев, Фоменко и Шарко [23], Фоменко и Х. Цишанг [35], А.В. Болсинов и Фоменко [9, 10] в связи с задачей классификации (лиувиллевой, орбитальной) невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на неособыхкомпактных 3-мерных изоэнергетических многообразиях.
Эквивалентным образом можноизучать невырожденные интегрируемые несжимаемые течения без нулей на замкнутых 3мерных многообразиях (см. §4.1.1). Фоменко и Цишанг [35] построили полный инвариантлиувиллевой эквивалентности таких систем, а Фоменко и Болсинов [9, 10] построили полныйинвариант орбитальной эквивалентности таких систем. Важным инструментом обеих теорийявляется описание классов послойной эквивалентности (определение 2.2.4 (C) и предложение 2.4.6) функций Морса на замкнутых поверхностях, в терминах комбинаторного объекта— “молекулы” функции Морса.
В предыдущей главе мы доказали критерии топологическойэквивалентности функций Морса (теорема 2.3.4) и возмущенных функций Морса (утверждение 2.5.2) и показали, что разбиение пространства функций Морса на классы послойной эквивалентности является стратификацией (называемой стратификацией Максвелла),где страты отвечают “молекулам” (см. §2.5.2). Инварианты Болсинова-Фоменко орбитальнойГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА122эквивалентности гамильтоновых систем определялись по-разному на разных стратах Максвелла — классах лиувиллевой эквивалентности гамильтоновых систем, отвечающих классампослойной эквивалентности функций Морса на поверхностях.
В следующей главе мы опишем результаты автора [145, 137, 146] о “продолжимых” инвариантах на том или ином стратеМаксвелла, т.е. инвариантах, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного страта Максвелла до инварианта орбитальной эквивалентности.Основными результатами настоящей главы являются следующие результаты о топологиипространства F функций Морса на M в случае, когда число пронумерованных критическихточек pb + qb + rb > χ(M ):• введено понятие косого цилиндрически-полиэдрального комплекса (определение 3.3.2);в случае pb + qb + rb > χ(M ) построены косой цилиндрически-полиэдральный комплексe (“комплекс оснащенных функций Морса”) и стратифицированное многообразие MfK(универсальное пространство модулей оснащенных функций Морса), ассоциированныес пространством F (теоремы 3.3.3, 3.3.13, 3.3.14, утверждение 3.4.7);e ∼ R× Mf и [f ]top ∼ R×D[f ]top , f ∈• доказаны гомотопические эквивалентности F ∼ R× KF1 , где R — соответствующее многообразие из (3.1) и D[f ]top — косая ручка комплексаe отвечающая классу [f ]top топологической эквивалентности (определение 2.2.4 (B))K,функции Морса f ∈ F1 (теоремы 3.5.10, 3.5.10 и 3.4.1, следствие 3.5.9);• получена верхняя оценка hdF ≤ 3q + 1 для гомологической размерности пространстваF; получены верхние оценки для чисел Бетти пространства F в случае p∗ + q ∗ + r∗ ≤e (следствияχ(M ) + 1 и нулевого рода поверхности M (случай конечного полиэдра K)3.3.6 и 3.4.2).Сформулируем эти результаты в виде одной теоремы.Теорема 3.1.2 (см.
теоремы 3.3.3, 3.4.1, 3.5.10, следствия 3.3.6 и 3.4.2). Пусть M — связная замкнутая ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на d+положительных и d− отрицательных граничных окружностей,F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )— пространство функций Морса на M , имеющих p, q, r критических точек локальных минимумов, седловых точек и точек локальных максимумов, в том числе pb, rb, qb пронумерованных критических точек и p∗ , q ∗ , r∗ закрепленных критических точек соответственно.Пусть F1 ⊂ F — соответствующие пространства оснащенных функций Морса (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
