Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В последующих параграфах 3.3—3.5, на основерезультатов настоящего параграфа, мы сведем задачу к комбинаторной (т.е. докажем аналогпараметрического h-принципа) в случае pb + qb + rb > χ(M ), а в §3.7 — в общем случае.Основная идея в нашем подходе состоит в введении оснащенных функций Морса на компактной поверхности M (определение 3.2.2). Если поверхность M ориентирована, то оснащенной функцией Морса на (M, ∂ + M, ∂ − M ) называется пара (f, α), где f ∈ F, α — замкнутая1-форма на поверхности M с выколотыми точками локальных минимумов и максимумов,имеющая каноническое поведение в (проколотых) окрестностях критических точек, и такаячто 2-форма df ∧ α отлична от нуля всюду на M с выколотыми критическими точками и задает положительную ориентацию M .
Пусть F — пространство оснащенных функций Морсаи пусть подпространство F1 ⊂ F состоит из оснащенных функций Морса (f, α) ∈ F, такихчто f ∈ F1 .В работе [143] доказана гомотопическая эквивалентность F ∼ F пространства F функций Морса и пространства F оснащенных функций Морса на M . А именно, в ней доказаноследующее утверждение.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА129Теорема 3.2.1 (Е.А. Кудрявцева и Д.А. Пермяков [143, теорема 1.7]).
Имеются гомотопические эквивалентностиF ∼ F 1 ∼ F1 ∼ Fпространств функций Морса и пространств оснащенных функций Морса. Более того:(А) Подпространство F1 ⊂ F (соответственно F1 ⊂ F) является строгим деформационным ретрактом пространства F (соответственно F).(Б) “Забывающее” отображение Forg : F → F (соответственно Forg1 : F1 → F1 ), переводящее любую оснащенную функцию Морса (f, α) ∈ F в функцию Морса f ∈ F, сюръективнои является гомотопической эквивалентностью.В частности, любая функция Морса f ∈ F имеет оснащение. Мы также доказываем аналог теоремы 3.2.1 для ограничений указанных гомотопических эквивалентностей на классытопологической эквивалентности [f ]top (теорема 3.2.5).
Последнее дает положительный ответна вопрос, поставленный В.И. Арнольдом.Данный раздел имеет следующую структуру. В §3.2.1 вводится понятие оснащенной функции Морса и формулируется основной результат работы [143] (теорема 3.2.5 и замечание 3.2.7),обобщающий теорему 3.2.1, и некоторые приложения (замечание 3.2.6 и теорема 3.2.8). В §3.2.2определяется C ∞ -топология на пространствах F, F и D ± , а также на других пространствах, которые используются в доказательстве. В §3.2.3 доказаны гомотопическая эквивалентность F ∼ F1 и теорема 3.2.5 (А).
В §3.2.4 доказана теорема 3.2.14 о “равномерных” D ± эквивариантных локальных координатах в классической лемме Морса, а в §3.2.5 сформулированы леммы 3.2.19 и 3.2.20 о “равномерных” D ± -эквивариантных локальных координатахдля оснащенных функций Морса. Указанные обобщения (двумерной) классической леммыМорса являются ключевыми для доказательства теоремы 3.2.5(Б), а также используютсяпри получении основных результатов глав 2, 3 и 4.3.2.1Точная формулировка результата и мотивировкаПерейдем к точным формулировкам.Определение 3.2.2.
(A) Оснащенной функцией Морса на ориентированной поверхности M(или на поверхности-кобордизме (M, ∂ + M, ∂ − M )) назовем пару (f, α), где f ∈ F — функцияМорса на (M, ∂ + M, ∂ − M ), α — замкнутая 1-форма на M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), такие что (i) 2-формаdf ∧ α не имеет нулей в M \ Cf и задает положительную ориентацию, (ii) в окрестностилюбой критической точки x ∈ Cf существуют локальные координаты u, v, в которых либо, гдеf = u2 − v 2 + f (x) и α = d(2uv), либо f = κf,x (u2 + v 2 ) + f (x) и α = κf,x udv−vduu2 +v 2κf,x = const 6= 0.(B) Пространство оснащенных функций Морса обозначим через F. Обозначим через F1 ⊂F подпространство, состоящее из оснащенных функций Морса (f, α) таких, что f ∈ F1 (см.определение 3.1.3 (B)).
Наделим пространство F C ∞ -топологией (см. §3.2.10), а подпространство F1 ⊂ F — индуцированной топологией. Группа D ± действует справа на пространствахF1 ⊂ F очевидным образом (см. обозначения 3.1.4 и 3.2.3).Обозначение 3.2.3. (А) Для любой римановой метрики ds20 на поверхности M обозначимчерез Iso± (M, ds20 ) := Iso± (M, C0 , C1 , C2 ; ds20 ) подгруппу группы D ± (см. обозначение 3.1.4),состоящую из всех изометрий римановой поверхности (M, ds20 ), принадлежащих D ± .(Б) Рассмотрим правые действия группы D ± на пространствах F и F:(h, g) 7→ g ◦ h,(h, f, α) 7→ h# (f, α) := (f ◦ h, sgn (h) h∗ α),h ∈ D ± , g ∈ F, (f, α) ∈ F,где sgn : D ± → {1, −1} — гомоморфизм (ориентирующий характер), значение которогоsgn (h) на любом диффеоморфизме h ∈ D ± показывает, сохраняет ли h ориентацию поверхности M . Рассмотрим индуцированные действия группы D ± и ее подгрупп D 0 ⊂ D иIso± (M, ds20 ) на подпространствах F1 ⊂ F и F1 ⊂ F.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА130Определение 3.2.4.
Пусть ρX : Φ → Homeo(X) и ρY : Φ → Homeo(Y ) — гомоморфизмы,т.е. правые действия группы Φ на топологических пространствах X и Y , и пусть a : X → Y —непрерывное отображение. Будем говорить, что отображение a является Φ-эквивариантным,если a◦ρX (φ) = ρY (φ)◦a для любого φ ∈ Φ. Предположим, что пространства X и Y гомотопически эквивалентны. Будем говорить, что гомотопическая эквивалентность X ∼ Y являетсясильно Φ-эквивариантной, если существуют такие Φ-эквивариантные непрерывные отображения a : X → Y и b : Y → X, такая гомотопия hX : X × [0; 1] → X между отображениямиhX |X×{0} = b ◦ a и hX |X×{1} = idX , и такая гомотопия hY : Y × [0; 1] → Y между отображениями hY |Y ×{0} = a◦b и hY |Y ×{1} = idY , что для любого t ∈ [0; 1] отображения hX |X×{t} и hY |Y ×{t}являются Φ-эквивариантными.
Аналогично определяется сильно Φ-эквивариантная строгаядеформационная ретракция X → Y ⊂ X.Основным результатом работы [143] является следующая теорема 3.2.5, обобщающая теорему 3.2.1, о гомотопической эквивалентности пространств F, F1 функций Морса и пространств F, F1 оснащенных функций Морса. В качестве мотивировки ниже формулируетсятеорема 3.2.8, описывающая топологию пространства F1 оснащенных функций Морса.
В действительности, теорема 3.2.5 является уточнением теоремы [143, теорема 2.5] в части (iii);отметим, что часть (iii) теоремы 3.2.5 не используется в доказательстве основных результатовдиссертации, а представляет самостоятельный интерес и отвечает на вопрос В.И. Арнольда2007 г.Теорема 3.2.5 (Е.А. Кудрявцева и Д.А. Пермяков [143, теорема 2.5]). Пусть M — связная компактная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательные окружности, и пусть набор чисел (p, q, r; pb, qb, rb; p∗ , q ∗ , r∗ )удовлетворяет условиям из определения 3.1.3. Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fфункций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованныекритические точки и закрепленные критические точки (см.
определение 3.1.3). Рассмотрим соответствующие пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fоснащенных функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ). Тогда имеются гомотопические эквивалентностиF ∼ F1 ∼ F1 ∼ F.Более того, справедливы следующие утверждения:(А) (i) Имеется сильно D ± -эквивариантная строгая деформационная ретракция p0 : F →F1 (см. обозначение 3.1.4 и определение 3.2.4), сохраняющая разбиение поверхности M насвязные компоненты линий уровня функции, а также отношение частичного порядка намножестве седловых критических точек по значениям функции в этих точках.
(ii) Ретракция p0 переводит топологически эквивалентные функции Морса в топологически экви∼валентные. (iii) Ее ограничение p0 |[f ]top : [f ]top −→ [p0 (f )]top ∩F1 на любой класс [f ]top топологической эквивалентности “поднимается до гомотопической эквивалентности в некотороеконечнолистное накрытие” в следующем смысле: существуют конечнолистное накрытиеπ[f ]top : E[f ]top → [p0 (f )]top ∩ F1 и сильно D 0 -эквивариантная гомотопическая эквивалент∼ность p0,[f ]top : [f ]top −→ E[f ]top такие, что π[f ]top ◦ p0,[f ]top = p0 |[f ]top .(Б) (iv) Забывающие отображения Forg : F → F и Forg1 : F1 → F1 сюръективны и являются гомотопическими эквивалентностями. Более того, для любой римановой метрики ds20 на M эти гомотопические эквивалентности являются сильно Iso± (M, ds20 )-эквивариантными (см.
обозначение 3.2.3 и определение 3.2.4). (v) Ограничение отображенияForg1 : F1 → F1 на прообраз Forg−1 ([f ]top ∩ F1 ) класса топологической эквивалентностиГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА131[f ]top ∩ F1 любой функции Морса f ∈ F1 является гомотопической эквивалентностью наэтот класс топологической эквивалентности. (vi) Ограничение отображения Forg : F → Fна прообраз Forg−1 ([f ]top ) класса топологической эквивалентности [f ]top любой функцииМорса f ∈ F является гомотопической эквивалентностью на этот класс топологическойэквивалентности.Замечание 3.2.6. Нетрудно показать (используя построения, аналогичные построениям издоказательства утверждения 3.2.13(А)), что в случае ∂M = ∅ пространство F1 = F1p,q,r (M )оснащенных функций Морса гомеоморфно пространству A = Ap,q,r (M ) “вещественно-нормированных мероморфных дифференциалов” [76] на поверхности M . Здесь через A обозначенопространство всех пар (J, αC ), где J — гладкая комплексная структура на поверхности M ,согласованная с ориентацией на M , а αC — такая мероморфная 1-форма на (M, J), имеющаяровно q нулей и p + r полюсов, что все нули и полюса простые, а вычет формы αC в каждомполюсе веществен и является положительным (соотв.
отрицательным) в p (соотв. r) полюсах.Таким образом, из теоремы 3.2.5 следует гомотопическая эквивалентность F ∼ F1 ∼ F1 ∼ A.Замечание 3.2.7. Теорема 3.2.5 легко обобщается на случай, когда поверхность M неориенc → M с риманотируема. Для этого рассмотрим двулистное ориентируемое накрытие π : M±c, π ∗ (ds2 )), переставляющей листы накрытиявой метрикой π ∗ (ds20 ) и изометрией J0 ∈ Iso (M0c. Оснащенной функцией Морса нанад каждой точкой x ∈ M . Фиксируем ориентацию на M+−неориентируемой поверхности (M, ∂ M, ∂ M ) назовем такую пару (f, α), что f ∈ F, (f ◦π, α)c, π −1 (∂ + M ), π −1 (∂ − M )), и J0# (f ◦ π, α) = (f ◦ π, α)— оснащенная функция Морса на (M(см.
обозначение 3.2.3 и определение 3.2.2). Пусть F1 ⊂ F — пространства оснащенныхc, π ∗ (ds20 ))-эквивариантные гомотопичефункций Морса на M . Ограничивая сильно Iso± (Mские эквивалентности из теоремы 3.2.5, примененной к пространствам функций Морса наc, на подпространства J0 -инвариантных функций Морса f ◦ π и оснащенных функций МорMса (f ◦ π, α) = J0# (f ◦ π, α), получаем сильно Iso± (M, ds20 )-эквивариантные гомотопическиеэквивалентности F ∼ F1 ∼ F1 ∼ F для неориентируемой поверхности M .В качестве еще одного приложения, или мотивировки теоремы 3.2.5 сформулируем результат автора, анонсированный в [143, теорема 2.9]. Мы его докажем в дальнейших разделах(см.
теоремы 3.5.6 и 3.5.10, следствие 3.3.5 и предложение 3.6.4) в следующей усиленной формулировке. Пусть d+ , d− ≥ 0 — число граничных окружностей в ∂ + M и ∂ − M соответственно(как в определении 2.2.1 (Б)).Теорема 3.2.8 (Е.А. Кудрявцева, см. [143, теорема 2.9]). Пусть выполнены предположениятеоремы 3.2.5, и пусть количество pb + qb + rb пронумерованных критических точек больше,чем χ(M ). Рассмотрим пространствоF1 = F1p,q,r;p,bq,r;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )оснащенных функций Морса (см. определение 3.2.2). Справедливы следующие утверждения:(А) Пространство F1 гомотопически эквивалентно прямому произведению группы D 0 (азначит, многообразия RD 0 , см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
