Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рассмотрим в круге полярные координатыr` ∈ 0; 1 − b` , ϕ` mod 2π ∈ R/2πZ, такие, что u` = r` cos ϕ` , v` = r` sin ϕ` . В этих координатахbh` (r`2 ).h` (1 − r`2 ) = 1 − r`2eh` ◦ f2 |Z̄` = bf2 |Z̄` = 1 − r`2 ,Определим диффеоморфизм h3 |Z̄` круга Z̄` в себя следующей формулой в полярных координатах r` , ϕ` mod 2π: q2eh3 |Z̄` : (r` , ϕ` mod 2π) 7→ r` h` (r` ), ϕ` mod 2π .Эта формула определяет диффеоморфизм круга в себя, так как eh` — положительная гладкая2eфункция, и h` (r` ) ≡ 1 в некоторой окрестности границы круга. Тогда в круге Z̄` выполненоf2 ◦ h3 |Z̄ = 1 − r2eh` (r2 ) = bh` ◦ f2 |Z̄ = ρ2 (h2 ◦ fe)|Z̄ ,`````и в достаточно малой окрестности граничной окружности круга Z̄` выполнено h3 |Z̄` = id. Если Z̄` является цилиндром, то диффеоморфизм h3 |Z̄` определяется аналогично, при помощикоординатного диффеоморфизма (r` , ϕ` mod 2π) : Z̄` → [0; b` ] × S 1 , такого что f2 |Z̄` = 1 − r`2 .При этом функции f2 |Z̄` , bh` ◦f2 |Z̄` и диффеоморфизм h3 |Z̄` имеют такой же вид в координатахr` , ϕ` mod 2π, как в случае круга, см.
выше.Если Z̄` либо является замкнутым кругом, содержащим точку w` ∈ Cfe,0 локального минимума, либо является цилиндром, содержащим граничную окружность δ` ⊂ ∂ − M , то построение диффеоморфизма h3 |Z̄` проводится аналогично.Поскольку для каждого круга или цилиндра Z̄` выполнено h3 |Z̄` = id в достаточно малойокрестности его границы ∂ Z̄` = Z̄` ∩ M 0 в M , то отображение h3 корректно определено,является диффеоморфизмом поверхности M и обладает требуемым свойством (3.8).(Б) Докажем лишь то утверждение данного пункта, которое нам понадобится в дальнейшем.
Даказательства остальных утверждений данного пункта опускаем. А именно, мыe отображениепокажем, что для любой функции fe ∈ Feeρlab | ee : [f ]top ∩ F → [f2 ]top2[f ]top ∩FГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА141eявляется гомотопической эквивалентностью, где f2 = ρlab2 (f ), см. (3.7).
Отметим, что приfe 6∈ F1 аналогичное отображение ρ2 |[fe]top ∩Fe не является ретракцией, так как [f1 ]top ∩[fe]top = ∅.Шаг 1. Для любых вещественных чисел a, b > 0 определим диффеоморфизм отрезковha,b : [0; a] → [0; b] правиломha,b (x) := x + (b − a)I0,a (x),ha,b (x) := h−1b,a (x),0 ≤ x ≤ a,0 ≤ x ≤ a,a ≤ b,a ≥ b.(3.9)При тех a, b > 0, для которых диффеоморфизм ha,b определен обеими из приведенных формул (а именно, при a = b), эти определения совпадают.
При этом для любого x ∈ [0; a] изнекоторой окрестности нуля, зависящей от чисел a и b, выполнено ha,b (x) = x, а для любогоx ∈ [0; a] из некоторой окрестности числа a выполнено ha,b (x) = x + b − a.e построим отображениеШаг 2. Для любой функции fe ∈ F1e→ [fe]top ∩ F.ρfe : [f2 ]top ∩ Flab1eПо любой меченой функции Морса f20 ∈ [f2 ]top ∩Flabбудем строить функцию ρfe(f20 ) ∈ [fe]top ∩F.Пусть ec1 (f10 ) < .
. . < ecN (f10 ) — все седловые критические значения функции f10 , а ec1 (fe) < . . . <ecN (fe) — все седловые критические значения функции fe. Положим также ec0 (f10 ) = ec0 (fe) := −1cN +1 (fe) := 1.иecN +1 (f10 ) = ecm (fe),cm (f10 ) 7→ eОпределим диффеоморфизм h = hf10 : [−1; 1] → [−1; 1], переводящий e0 ≤ m ≤ N + 1, по следующему правилу:h(x) = ecm (fe) + hecm+1 (f 0 )−ecm (f 0 ),ecm+1 (fe)−ecm (fe) (x − ecm (f10 )) ,11x ∈ [ecm (f10 ); ecm+1 (f10 )],0 ≤ m ≤ N .
В некоторой окрестности точки ecm (f10 ), 0 ≤ m ≤ N + 1, выполнено h(x) =x+ecm (fe) − ecm (f10 ).Ввиду топологической эквивалентности меченых функций f20 и f2 , найдутся диффеоморфизмы h1 ∈ D 0 и h2 ∈ D + (R) такие, что верно равенство f20 = h2 ◦ f2 ◦ h1 меченых функций.Для каждой точки w` (f10 ) ∈ Cf10 ,0 ∪ Cf10 ,2 локального минимума или максимума функции f10обозначим через Q` 3 w` (f10 ) такой открытый диск в M , что его граница содержится в графеGf10 , см.
обозначение 3.1.6, и сам диск не пересекается с графом Gf10 . Для каждой компонентыb` ⊃ δ` такой полуоткрытый цилиндр всвязности δ` края поверхности M обозначим через QM , что его отличная от δ` граничная окружность содержится в графе Gf10 , и сам цилиндр непересекается с графом Gf10 . На множестве[[bM\Q` ∪Q`w` ∈Cf 0 ,0 ∪Cf 0 ,2δ` ⊂∂M11определим функцию Морса ρfe(f20 ) совпадающей с h ◦ f20 , а на каждом диске Q` и цилиндреb` определим следующим образом.
Рассмотрим диск Q` , содержащий критическую точкуQw` (f10 ) ∈ Cf10 ,2 локального максимума. Определим функцию ρfe(f20 ) на диске Q` 3 w` (f20 ) формулойρfe(f20 )|Q` := h(a` (f20 )) + h1−h(a` (f20 )), a` (f2 )−h(a` (f20 )) (h(a` (f20 )) − h(a` (f20 )))= h ◦ f10 (∂Q` ) + h1−h◦f 0 (∂Q` ), fe(w` (fe))−h◦f 0 (∂Q` ) (h ◦ f10 |Q` − h ◦ f10 (∂Q` )) ,11а на дисках Q` , содержащих критические точки w` (f10 ) ∈ Cf10 ,0 локального минимума, формулойρfe(f20 )|Q` := a` (f2 ) + hh(a` (f20 ))+1, h(a` (f20 ))−a` (f2 ) (h(a` (f20 )) + 1)0= fe(w` (fe)) + h 00ee (h ◦ f |Q + 1) .h◦f1 (∂Q` )+1, h◦f1 (∂Q` )−f (w` (f ))1`ГЛАВА 3.142ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАЗдесь нумерация критических точек функции fe определяется как индуцированная из нумерации критических точек функции f10 при диффеоморфизме h1 , т.е.w` (fe) := h1 (w` (ρfe(f20 ))),1 ≤ ` ≤ p + q + r.Так определенная функция ρfe(f20 )|Q` имеет единственную критическую точку w` (f10 ) и совпадает с функциями h◦f10 |Q` и f10 |Q` в некоторой окрестности границы диска Q` , а в окрестноститочки w` (f10 ) совпадает с f10 |Q` + fe(w` (fe)) − f10 (w` (f10 )).
Аналогичными формулами определяb` .ется функция ρfe(f20 )|Qb` на каждом цилиндре Qe Построенная функция ρ e(f 0 ) является функциейШаг 3. Покажем, что ρfe(f20 ) ∈ [fe]top ∩ F.f 2Морса с тем же набором связных компонент линий уровня, что и у f10 , и в окрестностяхвсех критических точек и точек края поверхности M она отличается от f10 на аддитивнуюлокальную константу.
Кроме того, значения функции ρfe(f20 ) в седловых критических точкахте же, что и у функции f10 , а значения функции ρfe(f20 ) в точках локальных экстремумов и в0точкахкрая поверхности M равны меткам меченойфункции f2 в этих точках. Отсюда имеемρfe(f20 ) w` (ρfe(f20 )) = fe h1 (w` (ρfe(f20 ))) = fe w` (fe) , 1 ≤ ` ≤ p + q + r, и (ρfe(f20 ))|∂M = fe|∂M .eВ частности, ρ e(f 0 ) ∈ F.f2Покажем, что ρfe(f20 ) ∼top fe.
Поскольку f20 ∼top f2 , то f2 = h2 ◦ f20 ◦ h1 для некоторыхдиффеоморфизмов h1 ∈ D 0 и h2 ∈ Diff + ([−1; 1]). В силу D ± -эквивариантности отображенияρfe и перечисленных выше свойств функции ρfe(f20 ), функция (ρfe(f20 ))◦h1 = ρfe(f20 ◦h1 ) являетсяфункцией Морса с тем же набором связных компонент линий уровня, что и у f10 ◦h1 = h−12 ◦f1 ,eкоторые такие же как у f1 , а потому такие же, как у f . Кроме того, значения функции(ρfe(f20 )) ◦ h1 в критических точках и точках края поверхности M такие же, как у fe.
Отсюдаeпо лемме 2.3.2 имеем ρfe(f20 ) ∈ feD 0 , поэтому ρfe(f20 ) ∼top fe. Значит, ρfe(f20 ) ∈ [fe]top ∩ F.0Так как значения функции ρfe(f2 ) строились по значениям и меткам функции f20 , тоe явρ e(f 0 ◦h1 ) = (ρ e(f 0 ))◦h1 для любого h1 ∈ D 0 , т.е.
отображение ρ e : [f2 ]top ∩F1 → [fe]top ∩ Ff2f2flabляется D 0 -эквивариантным. Аналогично показывается корректность и D ± -эквивариантностьотображения1eρ[fe] : [f2 ] ∩ Flab→ [fe] ∩ F,определенного условием ρ[fe] |[f2 ◦h1 ]top = ρfe◦h1 для любого h1 ∈ D ± .eeeeШаг 4. Зададим гомотопию между отображениями ρfe◦ρlabe2 : [f ]top ∩ F → [f ]top ∩ F и id[fe]top ∩Fформулойege 7→ get := (1 − t)eg + tρ e ◦ ρlab (eg ) = (1 − t)eg + tρ e(g2 ),0 ≤ t ≤ 1, ge ∈ [fe]top ∩ F.f2fe такВсе функции get в процессе гомотопии являются функциями Морса и принадлежат F,e функция ρ e(g2 ) локально на поверхности M является гладкой функциейкак ge, ρfe(g2 ) ∈ F,fс положительной производной от функции g1 , а потому и от ge, и в некоторых окрестностях критических точек функция ρfe(g2 ) отличается от g1 (а потому и от ge) на аддитивнуюлокальную константу.Покажем, что все функции get в процессе указанной гомотопии топологически эквивалентны исходной функции ge.
Действительно, функции ge и ρfe(g2 ) имеют одни и те же критическиеточки и связные компоненты линий уровня, отличаются на аддитивную локальную константу в окрестности каждой критической точки, а разность значений функции ρfe(g2 ) в любыхдвух точках, являющихся критическими точками или точками края поверхности M , имееттот же знак (соотв. равна нулю), что и разность значений функции ge в этих точках. Поэтомутаким же условиям удовлетворяет и пара функций get и ge для любого t ∈ [0; 1]. Согласнолемме 2.3.2, отсюда следует, что get ∈ geD 0 .
Следовательно, get ∼top ge, 0 ≤ t ≤ 1.11Шаг 5. Зададим гомотопию между отображением ρlab2 ◦ ρfe : [f2 ]top ∩ Flab → [f2 ]top ∩ Flab и01id[f2 ]top ∩Flabформулой f20 7→ (1 − t)f20 + tρlab2 ◦ ρfe(f2 ), 0 ≤ t ≤ 1. Эта гомотопия задает путь вГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА1431меченых функций Морса согласно тем же аргументам, что и дляпространстве [f2 ]top ∩ Flabпредыдущей гомотопии.(В) Доказательство утверждений этого пункта нетрудно и опускается.Ясно, что утверждения 3.2.11 и 3.2.13 доказывают теорему 3.2.5(А) для следующих объектов:• сильно D ± -эквивариантная строгая деформационная ретракция p0 := ρ2 ◦ ρ1 : F → F1 ,f 7→ f1 ;e f3 := πlab,≤ ◦ ρlab (fe) и• для каждой функции f ∈ F и ее образов fe := ρ1 (f ) ∈ F,2e) накрывающее пространство E[f ] := [f3 ]top ⊆ F1(ff1 := ρ2 (fe) = π≤ ◦ πlab,≤ ◦ ρlabtop≤2и конечнолистное накрытиеπ[f ]top = π≤ |[f3 ]top : [f3 ]top → [f1 ]top ∩ F11и в F1 ;между классами топологической эквивалентности в F≤• гомотопическая эквивалентность p0,[f ]top := πlab,≤ ◦ ρlab2 ◦ ρ1 |[f ]top : [f ]top → E[f ]top , f ∈ F.Осталось доказать теорему 3.2.5 (Б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
