Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ FГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА152функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованныекритические точки, из которых некоторые точки могут быть закрепленными (см.
определение 3.1.3). Предположим, чтоpb + qb + rb > χ(M )(3.19)(т.е. количество пронумерованных критических точек превосходит χ(M )). Тогда:(A) Имеется косой цилиндрически-полиэдральный комплексe =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+Ke=(называемый комплексом оснащенных функций Морса) ранга q − 1 и размерности dim Ke = 0 при q ≤ 1, косые цилиндрические ручки которого находятся3q − 2 при q ≥ 2 и dim Kво взаимно однозначном соответствии с классами топологической эквивалентности [f ]topфункций Морса f ∈ F1 .
Индекс ручки D[f ]top , отвечающей классу топологической эквивалентности [f ]top , равен q − s(f ), где s(f ) — количество седловых критических значенийфункции f . Подошва ∂D[f ]top ручки D[f ]top содержится в объединении ручек D[g]top , такихчто [f ]top ≺ [g]top .e автоморфизмами косого(B) Дискретная группа D ± /D 0 кокомпактно действует на Kцилиндрически-полиэдрального комплекса, причем индуцированное действие на множестверучек согласовано с естественным действием на множестве F1 / ∼top классов топологической эквивалентности функций. В частности, для любого класса топологической эквивалентности [f ]top все ручки D[f h]top , h ∈ D ± , изоморфны одной и той же стандартнойкосой цилиндрической ручке (D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] , см.
определение 3.3.1(В). Имеется D ± /D 0 e на D ± /D 0 -инвариантное подмножество некоэквивариантный гомеоморфизм полиэдра Kторого гладкого 3q-мерного многообразияf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+Mс плоской аффинной связностью, на котором группа D ± /D 0 действует диффеоморфизмами, сохраняющими связность.(C) Для каждой ручки D[f ]top ≈ (D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] ≈ (D[f ] × (Rc([f ]) × (S 1 )d([f ]) ) × P[f ] )/Γ[f ] ∼(S 1 )d /Γ[f ] размерность d = d([f ]) тора (S 1 )d обладает свойствами (3.44), c + d = n([f ])(см. (3.33)) и d ≤ min{p − p∗ + r − r∗ , t − 1}, где t = t([f ]) ≤ q — количество связныхкомпонент графа Gf (см.
обозначение 3.1.6). Если число фиксированных критических точекp∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1, то d = t − 1, а при дополнительном условии t = q выполненоd ≤ p − p∗ + r − r ∗ − q ∗ .Замечание 3.3.4. Согласно теоремам 3.2.1 и 3.2.5 из предыдущего параграфа (т.е. [143, теоремы 1.7 и 2.5]), пространства F1 , F1 суть строгие деформационные ретракты пространствF, F соответственно, а забывающие отображения F → F, F1 → F1 суть гомотопические эквивалентности, где F1 ⊂ F – пространства оснащенных функций Морса.
Мы покажем ниже,f из теоремы 3.3.3(B) в действительности гомеоморфно F1 /D 0 , т.е. являчто многообразие Mется универсальным пространством модулей оснащенных функций Морса (см. утверждение3.4.7), причем действие группы D 0 на F1 свободно и проекция F1 → F1 /D 0 является тривиe есть строгий деформациональным расслоением со слоем D 0 (см. утверждение 3.4.10), а Kf (см. лемму 3.5.8 или теорему 3.5.6). Отсюда и из (3.2) следует требуемаяный ретракт Mгомотопическая эквивалентность (3.1).
Мы также покажем, что указанные гомотопическиеэквивалентности D 0 -эквивариантны и их ограничения на любой класс [f ]top топологическойe являются гомотоэквивалентности функций из F1 или на любую косую ручку комплекса Kпическими эквивалентностями (см. утверждение 3.4.10 и лемму 3.5.8).ГЛАВА 3.153ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАСледствие 3.3.5. Пусть M — связная компактная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности.Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fфункций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованныекритические точки, из которых некоторые точки могут быть закрепленными (см. определение 3.1.3). Предположим, что выполнено (3.19) (т.е.
количество пронумерованных критических точек превосходит χ(M )) и либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1 (т.е. все критическиеточки локальных экстремумов пронумерованы), либо q − qb ≤ 1 (т.е. все седловые критические точки пронумерованы). Тогда:(A) Имеется полиэдральный комплексe =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+Ke = q − 1, клетки которого(называемый комплексом функций Морса) размерности dim Kнаходятся во взаимно однозначном соответствии с классами топологической эквивалентности [f ]top функций Морса f ∈ F1 .
Размерность замкнутой клетки-многогранника D[f ]top ,отвечающей классу топологической эквивалентности [f ]top , равна q − s(f ), где s(f ) — количество седловых критических значений функции f . Граница ∂D[f ]top замкнутой клеткиD[f ]top содержится в объединении замкнутых клеток D[g]top , таких что [f ]top ≺ [g]top .e автоморфизмами полиэдрального ком(B) Дискретная группа D ± /D 0 действует на Kплекса, причем индуцированное действие на множестве замкнутых клеток согласовано сестественным действием на множестве F1 / ∼top классов топологической эквивалентности функций. В частности, для любого класса топологической эквивалентности [f ]top всезамкнутые клетки D[f h]top , h ∈ D ± , изоморфны одному и тому же стандартному выпуклому евклидовому многограннику D[f ] .e →Ke косого цилиндрически-поли(C) Имеется D ± /D 0 -эквивариантный эпиморфизм Ke на полиэдральный комплекс K,e переводящий любую косую цилинэдрального комплекса Ke на соответствующую замкнутуюдрическую ручку D[f ]top ≈ (D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] комплекса Ke в виде проекции (D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] → D[f ] , гдеклетку-многогранник D[f ]top ≈ D[f ] комплекса Kдействие группы Γ[f ] на многограннике D[f ] тривиально.Пусть k — поле (например, R, Q или Zp ).
Для топологического пространстваX рассмотPjрим числа Бетти βj (X) := dimk Hj (X; k) и полином Пуанкаре P (X; t) := ∞tβj (X). Слеj=0дующее утверждение выводится из теоремы 3.3.3 в §3.3.6 стандартными методами теорииМорса (см., например, [34, §45] или §3.3.6).Следствие 3.3.6 ([134, следствие 2.8]). (A) Если количество pb + qb + rb пронумерованныхe = 0 при любом j ≥ 3q − 1.критических точек превосходит χ(M ), то βj (K)(B) Пусть M̄ = S 2 (см. обозначение 3.1.4), p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ≤ pb + qb + rb. Тогдаe = K является конечным, связным и компактным косым торическиD = D 0 , комплекс Kполиэдральным комплексом ранга q − 1 и размерности 3q − 2 или 0 (при q ≥ 2 и q ≤ 1соответственно); полином Пуанкаре комплекса K допускает верхнюю оценкуXXP (K; t) =tq−s(f ) P (D[f ] ; t) − (1 + t)R1 (t) =tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) − (1 + t)R(t)[f ]∈F1 /∼[f ]∈F1 /∼для некоторых многочленов R1 = R1 (t) и R2 = R2 (t) с целыми неотрицательными коэффициентами, R(t) = R1 (t) + R2 (t); другими словами, числа Бетти βj = βj (K) комплекса Kудовлетворяют неравенствам Морса-Смейла:βj − βj−1 + βj−2 − βj−3 + .
. . ≤ qj − qj−1 + qj−2 − qj−3 + . . . ,j ≥ 0,ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАPjгде через ∞j=0 t qj обозначен любой из двух многочленовXXQ1 (t) :=tq−s(f ) P (D[f ] ; t),Q2 (t) :=tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) ,[f ]∈F1 /∼154[f ]∈F1 /∼так что Q2 (t) = Q1 (t) + (1 + t)R2 (t). В частности, справедливы неравенства Морса:βj ≤ qj , j ≥ 0.χ(K) = (−1)q−1 [f ] ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 ,(C) Пусть 0 ≤ q0∗ ≤ q ∗ , 0 ≤ q0∗ ≤ qb0 ≤ q0 , и пусть пространство F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ ;bq0 ;q0∗состоит из функций Морса f ∈ Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ), для каждой из которыхфиксированы оснащения (определение 2.2.2 (В)) у q0∗ фиксированных седловых точек и уq00 := qb0 − q0∗ отмеченных нефиксированных седловых точек.Если qb0 > 0 (т.е.
число qb0 седловых точек с фиксированным оснащением положительно),то существует косой цилиндрически-полиэдральный комплексe =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ;bq ;q∗ ,K0 0для которого верны аналоги утверждений (A, B, C) теоремы 3.3.3, причем действие дис0e свободно, и K := K/(D/Deкретной группы D/D 0 на комплексе K) является компактнымкосым торически-полиэдральным комплексом ранга q − 1 и размерности 3q − 2 или 0 (приq ≥ 2 и q = 1 соответственно).Если qb0 > 0, M̄ = S 2 (см. обозначение 3.1.4 (B)) и p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1, то верныаналоги всех утверждений из п.(B) данного следствия.Если количество локальных минимумов равно p + |π0 (∂ − M )| = 1, число qb отмеченныхседловых точек равно числу седловых точек с фиксированным оснащением и равно qb0 = 1,и нет отмеченных точек локальных максимумов (т.е.
rb = |π0 (∂ + M )| = 0), то χ(K) =(−1)q−1 εg (q), где g — род поверхности M (т.е. χ(M̄ ) = 2 − 2g) и числоεg (q) := [f ]top ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 определяется производящей функцией Харера-Загье [78]:tX εg (q)1+sq+1 q+1−2gs t=.1+2(2q−1)!!1−sq3.3.2Построение стандартных косых цилиндрических ручек Dst[f ]top иотображений инцидентности χ[f ]top ,[g]topВ данном параграфе предполагается, что выполнено условие (3.19) (т.е. количество pb + qb + rbотмеченных критических точек превосходит χ(M )). Для каждого класса топологическойэквивалентности [f ]top функций Морса мы опишем построение стандартной косой цилиндрической ручки Dst[f ]top , а для каждой пары примыкающих классов топологической эквивалентности — соответствующее отображение инцидентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
