Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть теперь автоморфизм многогранника a : Uf0 → Uf0 тривиален. Покажем, что автоморфизм многогранника b : Df → Df тоже тривиален. Если количество седловых значенийs(f ) > 1, то Uf0 является (2q − n(f ))-мерным многогранником, поэтому из тривиальности автоморфизма a : Uf0 → Uf0 следует, что h переводит в себя каждое ребро графа Gf , а потому икаждое седло, откуда b : Df → Df тривиален. Если s(f ) = 1, то по лемме 3.3.9 ниже отображение h переводит в себя хотя бы одно ребро графа Gf (а потому и каждое его ребро ввидусвязности графа Gf , а потому и каждую седловую точку), откуда автоморфизм b : Df → Dfтривиален.
Так как автоморфизм b : Df → Df является ограничением автоморфизма многогранника Pq−1f , индуцированного перестановкой координатных осей, то по лемме 3.3.7 ондопустим. Лемма 3.3.8 доказана.Шаг 8. Изучим взаимосвязь утолщенных цилиндров S[f ]top , S[g]top для примыкающих классов топологической эквивалентности [f ]top ≺ [g]top . Пусть f ∈ F1 — отмеченная функция Морса класса топологической эквивалентности [f ]top .
Для любой грани τ 0 ≺ τJ(c(f )) =:D[f ]top = Df обозначим через g ∈ F1 отмеченную функцию класса топологической эквивалентности δτ 0 [f ]top (см. (3.22)) и фиксируем диффеоморфизм hf,τ 0 ∈ D 0 как в (3.22) и (3.23).Рассмотрим индуцированный изоморфизмh∗f,τ 0 : Hf1 → Hg1ГЛАВА 3.164ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА00векторных пространств, аналогичный изоморфизму h∗0f,τ 0 : Hf → Hg из (3.23).
Докажемвключенияh∗f,τ 0 (Uf ) ⊂ Ug ,h∗f,τ 0 (Uf∞ ) ⊂ Ug∞ .(3.50)Пусть, как и выше, s = s(f ) – количество седловых критических значений функции f , иk := q − s — размерность многогранника Df (см. шаги 1, 2). С учетом определения Uf ⊂Uf∞ ⊂ Hf1 (см. (3.31), (3.32)), нам достаточно показать, что сопряженный к изоморфизмуh∗f,τ 0 изоморфизм (hf,τ 0 )∗ : Hg,1 = H1 (M \ (Cg,0 ∪ Cg,2 ), Cg,1 ; R) → H1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ; R) =Hf,1 переводит гомологический класс любого ориентированного ребра графа Gg в суммугомологических классов некоторых ориентированных ребер графа Gf (см.
определение графаGf в обозначении 3.1.6), и что количество этих ребер всегда ≤ 2k + 1.Обозначим через Cg связную компоненту графа Gg , в которой лежит рассматриваемоеребро графа Gg . Дополнение графа Gf в поверхности M распадается на “открытые цилиндры” Z` (f ) ≈ S 1 × (0; 1), 1 ≤ ` ≤ n = n([f ]), “полуоткрытые цилиндры” S 1 × [0; 1) и открытыекруги, содержащие ровно одну критическую точку минимума или максимума функции f .Поэтому имеется ретракция!n[%f : Mf0 := (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 )) \γ` (f ) → Gf ,`=1где γ` (f ) = S 1 × { 21 } ⊂ Z` (f ).
Более точно, определим эту ретракцию так, чтобы она переводила любую точку поверхности Mf0 в точку пересечения проходящей через нее интегральнойтраектории векторного поля grad f |Mf0 (в смысле некоторой фиксированной римановой метрики ds20 на M ) с графом Gf . Без ограничения общности мы также будем считать, что функция fe и диффеоморфизм h0;f,fe в определении диффеоморфизма hf,τ 0 (см. (3.23)) строилисьтак: фиксируем попарно непересекающиеся круги вокруг седловых точек функции f ∈ F1 ипотребуем, чтобы в каждом из них fe = f + const, и чтобы h0;f,fe = idM и функция fe ∈ F1была получена при помощи C 2 -малого возмущения функции f . Тогда hf,τ 0 (Gg ) ⊂ Mf0 , причемотображение(3.51)pf,τ 0 := %f ◦ hf,τ 0 |Cg : Cg → Gfявляется погружением графов, переводит множество вершин на множество вершин согласно биекции hf,τ 0 |Cg : Cg → Cf и сохраняет ориентацию ребер. Отсюда получаем, что pf,τ 0переводит любое ориентированное ребро графа Gg в ориентированный путь на графе Gf ,ориентация которого согласована с ориентацией ребер графа Gf .Осталось показать, что длина указанного пути на графе Gf (т.е.
количество проходимыхэтим путем ребер графа Gf ) не превосходит 2k + 1. Пусть Cf – компонента связности графаGf , в которой лежит рассматриваемый путь. Граф Cf имеет не более k + 1 вершины (таккак число компонент связности графа Gf не меньше чем s = q − k), а потому он имеет неболее 2k + 2 ребер. Но наше ребро является собственным подграфом графа Cg , а потомунаш путь является собственным подграфом графа pf,τ 0 (Cg ) ⊂ Cf . Так как граф Cf имеет неболее 2k + 2 ребер, наш путь имеет не более 2k + 1 ребер, что и требовалось. Это завершаетдоказательство включений (3.50).∼=Изоморфизм h∗f,τ 0 : Hf1 −→ Hg1 индуцирует изоморфизм∼=bhf,τ 0 : Aut(Hf1 ) −→ Aut(Hg1 ),h∗ 7→ h∗f,τ 0 h∗ (h∗f,τ 0 )−1 ,n(f )h∗ ∈ Aut(Hf1 ).n(g)Рассмотрим вложение множеств окружностей {γ` (f )}`=1 ,→ {γm (g)}m=1 , сопоставляющееокружности γ` (f ) окружность γm(`) (g), такую что h−1f,τ 0 (γ` (f )) ⊂ Zm(`) (g).
Тогда для каждоговекторного поля v` (f ) на Hf1 (см. (3.35) и (3.42)) выполнено (h∗f,τ 0 )∗ (v` (f )) = vm(`) (g). Отсюдаbhf,τ 0 (Θ∗f ) ⊂ Θ∗g , а потомуbhf,τ 0 ((D 0 ∩ Θf )∗ ) ⊂ (D 0 ∩ Θg )∗ .ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА165Поэтому вложение h∗f,τ 0 |Uf : Uf ,→ Ug (см. (3.50)) индуцирует корректно определенное отображение пространств орбит[h∗f,τ 0 |Uf ] : Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ # Ug /(D 0 ∩ Θg )∗ ,(3.52)являющееся погружением утолщенных цилиндров (так как группа Θ∗f действует свободно идискретно на Uf , см.
шаги 6 и 7).Докажем, что погружение (3.52) утолщенных цилиндров является допустимым (см. определение 3.3.1,(D)). Из (h∗f,τ 0 )∗ (v` (f )) = vm(`) (g), 1 ≤ ` ≤ n, (3.46) и описания подгруппыΘf,k ⊂ D 0 ∩ Θf (см. шаг 7) следует, что при νk−1 (f ) < j < νk (f ), 1 ≤ k ≤ e(f ), выполненоvj (f )) = (h∗f,τ 0 )∗ (vj (f ) − vj+1 (f )) = vm(j) (g) − vm(j+1) (g)(h∗f,τ 0 )∗ (e= (vm(j) (g) − vm(j)+ηk (g)) + (vm(j)+ηk (g) − vm(j)+2ηk (g)) + .
. .= ηk (evm(j)+(ηk −1)/2 (g) + vem(j)+(3ηk −1)/2 (g) + . . . + vem(j+1)−(1+ηk )/2 (g)),где ηk = ηk (f, g) := sgn (m(νk − 1) − m(νk )). Отсюда следует, что при вложении h∗f,τ 0 |Uf : Uf ,→Ug коммутирующие векторные поля (a) vei (f ), i ∈ A(f ), (b) vej (f ), j ∈ B(f ), на Uf (потоки которых задают свободное действие группы RA(f ) × RB(f ) на Uf и свободное действие цилиндраRA(f ) × (S 1 )B(f ) на Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ ) переходят в следующие векторные поля на Ug :(a) vem(i) (g) (при νe (g) < m(i) ≤ n(g)) или vem(i) (g) + vem(i)+1 (g) + . . .
+ veνt (g) (при νt−1 (g) <m(i) ≤ νt (g), 1 ≤ t ≤ e(g)),(b) vem(j) (g) (при 1 ≤ j ≤ ν0 (f )) или ηk (evm(j)+(ηk −1)/2 (g) + vem(j)+(ηk −1)/2+ηk (g) + . . . ++evm(j+1)−(1+ηk )/2 (g)) (при νk−1 (f ) < j < νk (f ), 1 ≤ k ≤ e(f )),причем каждое поле vem (g), 1 ≤ m ≤ n(g), входит в качестве слагаемого (с коэффициентом±) не более чем в одно из полей (h∗f,τ 0 )∗ (ev` (f )), 1 ≤ ` ≤ n(f ).Из описанного поведения векторных полей ve` , 1 ≤ ` ≤ n, при погружении (3.52) следует, что это погружение является допустимым погружением утолщенных цилиндров (см.определение 3.3.1(D)).Построение косой цилиндрической ручки Dst[f ]top для класса топологической эквивалентности [f ]topШаг 9. Рассмотрим стандартную цилиндрическую ручку D[f ]top × S[f ]top = Df × Sf = τJ(c(f )) ×(Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ ) и покомпонентное правое действие на ней дискретной группыef / ((D 0 ∩ Θf )(stabD 0 f )0 )/(stabD 0 f )0 ,Γ[f ]top = Γf ∼=Γгдеe[f ]top = Γef := (stabD 0 f )/(stabD 0 f )0 ,(3.53)Γдопустимыми автоморфизмами (см.
(3.48) и лемму 3.3.8). Покажем, что это действие (аef на U ∞ ) свободно. Докажем две леммы.также действие группы ΓfЛемма 3.3.9. Если выполнено условие (3.19), то для любого диффеоморфизма h ∈ stabT fнайдется ребро графа Gf (см. обозначения 3.1.4(B) и 3.1.6), переходящее в себя при отображении h.Доказательство. Шаг 1. Пусть Wf — граф Кронрода-Риба функции f (см. [19] или определение 2.4.1 или [129]), т.е. граф Wf получен из поверхности M стягиванием в точку каждойкомпоненты связности линии уровня функции f . Обозначим через pf : M → Wf естественную проекцию. Вершину графа Wf назовем сферической, если прообраз достаточно малой ееокрестности при отображении pf гомеоморфен сфере с проколами. Вершину графа Wf назовем граничной (соответственно отмеченной), если ее прообраз при отображении pf являетсякомпонентой края M (соответственно содержит отмеченную критическую точку функцииf ).
Подграф графа Wf назовем stabT f -неподвижным, если при автоморфизме pf ◦ h ◦ p−1fГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА166графа Wf , индуцированном любым диффеоморфизмом h ∈ stabT f , любая вершина и любоеребро этого подграфа переходят в себя. Обозначим через Wf0 минимальный связный подграфграфа Wf , содержащий каждый простой цикл графа Wf , каждую граничную вершину, каждую отмеченную вершину и каждую несферическую вершину. Он непуст и содержит неграничную вершину в силу (3.19). Покажем, что подграф Wf0 является stabT f -неподвижным.Пусть h ∈ stabT f . Так как h сохраняет неподвижными все отмеченные критические точки функции f и переводит в себя каждую компоненту края, то все отмеченные вершиныи все граничные вершины stabT f -неподвижны. Ввиду h ∈ T индуцированный автоморфизм гомологий h̄∗ ∈ H1 (M̄ ) (см.
обозначение 3.1.4(B)) совпадает с тождественным, поэтомукаждая несферическая вершина v ∈ Wf является stabT f -неподвижной, а каждый простойцикл на графе Wf переходит в себя с сохранением ориентации при отображении pf ◦ h ◦ p−1f .Если пересечение двух простых циклов непусто и связно, то оно stabT f -неподвижно, поэтому такие циклы stabT f -неподвижны. Поэтому каждая компонента связности объединенияпростых циклов, не являющаяся простым циклом (или содержащая несферическую или отмеченную вершину), stabT f -неподвижна.
Пусть Wf00 ⊂ Wf — объединение всех простых циклов, множества несферических вершин и множества отмеченных вершин графа Wf , и пустьпростой путь в графе Wf соединяет две компоненты связности графа Wf00 и пересекается сWf00 только в концах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
