Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 59
Текст из файла (страница 59)
§3.3.2, шаги 3 и 10), где ∂[g]top D[f ]top содержится в подошвеst∂Dst[f ]top стандартной косой цилиндрической ручки D[f ]top и является объединением ее попарноstнепересекающихся косых граней ∂τ 0 Dst[f ]top ⊂ ∂D[f ]top , см. (3.57), (3.58); рассмотрим индуцированное вложение ∂[g]top υ [f ]top := {[f ]top } × (∂[g]top Dst[f ]top ) ,→ υ [g]top (которое тоже обозначимe и ее образ в υ [g]top ⊂ Yeчерез χ[f ]top ,[g]top ); назовем любую точку множества ∂[g]top υ [f ]top ⊂ Yпри данном вложении ∼glue -эквивалентными.◦S ◦eeeПусть pY : Y → K – каноническая проекция.
Рассмотрим подмножество Y :=υ [f ]top ⊂[f ]top◦◦ste где υ [f ]top := {[f ]top } × DY,[f ]top (см. определение 3.3.1,(C)). Обозначим D[f ]top := pY (υ [f ]top ),◦◦◦D[f ]top := pY (υ [f ]top ), ∂D[f ]top := pY (∂υ [f ]top ), ∂τ 0 υ [f ]top := {[f ]top }×(∂τ 0 Dst[f ]top ), и через∂ [g]top υ [f ]top ◦0обозначим объединение открытых (косых) граней {[f ]top } × ((τ ) × S[f ]top )/Γ[f ]top стандартной (косой) цилиндрической ручки υ [f ]top , таких что τ 0 ≺ D[f ]top и δτ 0 [f ]top = [g]top .e = Y/e ∼glue обладает структуройТеорема 3.3.13 ([134, теорема 4.2]).
Пространство Kкосого цилиндрически-полиэдрального комплекса ранга q − 1 с косыми цилиндрическими ручe [f ]top ∈ F1 / ∼top . При этом для любого класса топологическойками D[f ]top = pY (υ [f ]top ) ⊂ K,ГЛАВА 3.172ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАe является характериэквивалентности [f ]top отображение ϕ[f ]top := pY |υ[f ]top : υ [f ]top → K◦e →Ke биективно), истическим отображением ручки D[f ]top (откуда отображение pY | ◦ : YeY[выполнено◦◦(3.63)∂D[f ]top ⊂D[g]top , D[f ]top ∩ D[g]top = ϕ[f ]top (∂ [g]top υ [f ]top ),[g]top [f ]topϕ[g]top ◦ χ[f ]top ,[g]top = ϕ[f ]top |∂[g]top υ[f ]top(3.64)для любых [f ]top ≺ [g]top .e автоморфизмами косого цилиндрически-полиДискретная группа D ± /D 0 действует на Kэдрального комплекса.Доказательство.
Шаг 1. При любом k ∈ Z рассмотрим подмножества◦[e (k) :=Yυ [f ]tope = X/e ∼,⊂Y(k)eYdim D[f ]top ≤k◦e (k)υ [f ]top ⊂ Y[:=dim D[f ]top ≤ke (k) := Ye (k) / ∼glue с фактортопологией. Докас индуцированной топологией, и множество K◦(k)e (k) , Ke (k) , Yee (k) и проекции pY,k :=жем лемму (индукцией по k) для пространств Y⊂ Ye (k) → Ke (k) . При k < 0 доказывать нечего, так как Ke (k) = ∅.pY |Ye (k) : Ye (k−1) , Ke (k−1) . Покажем, что для кажПусть k ≥ 1, и доказываемое утверждение верно для Yдого [f ]top , такого что indυ [f ]top = k, имеется (“приклеивающее”) отображение ϕ0[f ]top : ∂υ [f ]top →e (k−1) подошвы ∂υ [f ]top косой цилиндрической ручки υ [f ]top , такое что ϕ0|∂=Kυ[f ]top[g]top[f ]toppY,k−1 ◦ χ[f ]top ,[g]top для любого [g]top [f ]top (а потому indυ [g]top < k), см.
(3.58) и (3.57).Действительно, это отображение однозначно, так как для любых [g1 ]top [g]top [f ]topи τ 00 ≺ D[f ]top , таких что δτ 00 [f ]top = [g1 ]top , выполнено pY,k−1 ◦ χ[f ]top ,[g1 ]top |∂τ 00 υf = pY,k−1 ◦e (k−1) , Ke (k−1) .χ[g]top ,[g1 ]top ◦ χ[f ]top ,[g]top |∂τ 00 υf = pY,k−1 ◦ χ[f ]top ,[g]top |∂τ 00 υf ввиду (3.59) и (3.64) для Y0Отображение ϕ[f ]top непрерывно, так как его область определения является конечным (ввиду (3.22)) объединением замкнутых подмножеств ∂[g]top υ [f ]top , таких что [g]top [f ]top , и егоограничение на такое подмножество есть композиция pY,k−1 ◦ χ[f ]top ,[g]top непрерывных отображений.
Отображение ϕ0[f ]top инъективно, так как его ограничение ϕ0[f ]top | ◦= pY,k−1 ◦∂ [g]top υ [f ]topχ[f ]top ,[g]top | ◦∂ [g]top υ [f ]topна объединение открытых граней, отвечающих классу [g]top [f ]top ,является композицией вложений χ[f ]top ,[g]top | ◦∂ [g]top υ [f ]topи pY,k−1 |υ◦[g]top(ввиду §3.3.2, шаг 10,и биективности pY,k−1 | ◦ (k−1) ), а образы таких ограничений содержатся в открытых ручках◦eY◦pY,k−1 ◦ χ[f ]top ,[g]top (∂ [g]top υ [f ]top ) ⊂ pY,k−1 (υ [g]top ), которые попарно не пересекаются (для разныхклассов [g]top ) ввиду биективности pY,k−1 | ◦ (k−1) .eYОтображение топологических пространств назовем хорошим, если оно переводит любоезамкнутое подмножество в замкнутое подмножество.
Отображение ϕ0[f ]top является хорошим,так как его ограничение на каждую косую грань∂τ 0 υ [f ]top ⊂ ∂[g]top υ [f ]top(для τ 0 ≺ D[f ]top , δτ 0 [f ]top = [g]top ) есть композицияpY,k−1 |υ[g]top ◦ χ[f ]top ,τ 0(автоматически хорошего, см. определение 3.3.1) мономорфизма χ[f ]top ,τ 0 косых цилиндрических ручек (см. §3.3.2, шаг 10) и (автоматически хорошего) характеристического отобe (k−1) (по предположению индукции), аражения pY,k−1 |υ[g]top косой ручки pY,k−1 (υ [g]top ) ⊂ Ke (k) гомеоморфнокаждая косая грань замкнута и их конечное число. Отсюда следует, что KГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА173e (k−1) приклеиванием косых цилиндрипространству (с фактортопологией), полученному из Kческих ручек υ [f ]top индекса k при помощи инъективных непрерывных хороших отображеe (k−1) их подошв, а потому Ke (k) удовлетворяет условию (w) из опрений ϕ0[f ]top : ∂υ [f ]top → Ke (k) обладает свойствами (3.63) и (3.64), отображение pY,k |υделения 3.3.2(B).
Поэтому K[f ]topявляется инъективным, непрерывным и хорошим, а потому задает структуру косой цилиндрической ручки на pY,k (υ [f ]top ) и является характеристическим отображением этой ручки.e (k) с полученным разбиением на косые цилиндрические ручки pY,k (υ [f ]top ) удоПространство Kвлетворяет условию (c) из определения 3.3.2(B), так как ограничение характеристическогоотображения pY,k |υ[f ]top любой ручки υ [f ]top индекса k на каждую свою косую грань ∂τ 0 υ [f ]topесть композиция pY,k |∂τ 0 υ[f ]top = ik−1 ◦ϕ0[f ]top |∂τ 0 υ[f ]top = ik−1 ◦pY,k−1 ◦χ[f ]top ,τ 0 = pY,k |υ[g]top ◦χ[f ]top ,τ 0мономорфизма χ[f ]top ,τ 0 стандартных косых цилиндрических ручек и характеристическогоe (k−1) ,→ Ke (k) –отображения pY,k |υ[g]top косой цилиндрической ручки pY,k (υ [g]top ), где ik−1 : Ke (k) является косым цилиндрически-полиэдральным комотображение включения.
Значит, Kплексом ранга k, что завершает доказательство индукционного перехода.e→Ye дискретной групШаг 2. Определим (естественное) правое действие ρY : D ± /D 0 × Ye формулойпы D ± /D 0 на пространстве Ye[f ]top (c, u)) 7→ ([f h]top , Γe[f h]top (h∗0(hD 0 , [f ]top , Γ(c), h∗(u)))1;[f ]top ,[f h]top1;[f ]top ,[f h]tope (см. §3.3.2, конец шага 9), где h1;[f ]top ,[f h]top ∈ hD 0 ⊂ D ± —при любых h ∈ D ± , ([f ]top , c, u) ∈ Xдиффеоморфизм, переводящий линии уровня отмеченной функции класса топологическойэквивалентности [f h]top в линии уровня отмеченной функции класса топологической эквивалентности [f ]top с сохранением направления роста.
Это действие определено корректно, таккак в силу леммы 2.3.2 (т.е. [132, лемма 1]) для любых h1 , h2 ∈ D ± выполнено00h−11;[f ]top ,[f h1 h2 ]top h1;[f ]top ,[f h1 ]top h1;[f h1 ]top ,[f h1 h2 ]top ∈ (stabD g)(Diff (M, Cg ))и действие групп stabg D 0 и Diff 0 (M, Cg ) на косой цилиндрической ручке Dst[g]top тривиально(см. (3.54), (3.53)), где g – отмеченная функция класса топологической эквивалентности[f h1 h2 ]top .
Для любых [f ]top ≺ [g]top (а потому [f h]top ≺ [gh]top для любого h ∈ D ± ) определимотображение инцидентности[[υ [gh]top(∂[gh]top υ [f h]top ) →χ[f ],[g] :h∈D ±h∈D ±правиломχ[f ],[g] |∂[gh]top υ[f h]top := χ[f h]top ,[gh]top : ∂[gh]top υ [f h]top → υ [gh]topдля любого h ∈ D ± .
Отображение χ[f ],[g] определено корректно, так как для любых [f ]topи h1 ∈ stabD 0 f подмножества ∂[g]top υ [f ]top , ∂[gh1 ]top υ [f ]top ⊂ ∂υ [f ]top либо совпадают (откуда[g]top = [gh1 ]top ), либо не пересекаются ввиду леммы 3.3.7 (см. §3.3.2, шаг 10). Отображениеχ[f ],[g] является (D ± /D 0 )-эквивариантным (т.е. χ[f ],[g] ◦ ρY (h, ·) = ρY (h, χ[f ],[g] (·)) для любогоh ∈ D ± ), так как ввиду (3.24) выполнено0∗00h−1 h−1[f ]top ,τ 0 hh[f h]top ,h1;[f ] ,[f h] (τ ) ∈ (stabD g1 )(Diff (M, Cg1 ))toptopи действия групп stab g1 и Diff (M, Cg1 ) на стандартной косой цилиндрической ручке Dst[g1 ]topтривиальны, где τ 0 ≺ D[f ]top , δτ 0 [f ]top = [g]top , g1 — отмеченная функция класса топологической эквивалентности [gh]top , h ∈ D ± .
Поэтому правое действие ρY индуцирует правоеe →Ke автоморфизмами косого цилиндрически-полиэдрального комдействие ρ∗ : D ± /D 0 × Keплекса, такое что ρ∗ (hD 0 , pY (y)) := pY ◦ ρY (hD 0 , y) для любых h ∈ D ± , y ∈ Y.e индуциВ частности, действие ρ∗ (hD 0 , ·) любого элемента hD 0 ∈ D ± /D 0 на комплексе Keрует изоморфизм D[f ]top → D[f h]top косых цилиндрических ручек D[f ]top и D[f h]top комплекса Kдля любой функции f ∈ F. Поэтому эти ручки изоморфны одной и той же стандартной ручке (Df0 × Sf0 )/Γf0 , где f0 – отмеченная функция класса эквивалентности [f ] = [f h]. Теорема3.3.13 полностью доказана.D00ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА174fПостроение гладкого стратифицированного многообразия M3.3.4f А именно, рассмотримАналогично определению 3.3.12 определим гладкое многообразие M.qCf,1 ∼Cf,1 ∼0в евклидовом пространстве Hf = R= (−1; 1)q , и для любой= R открытый куб (−1; 1)◦◦рассмотрим ее внутренность τ и обозначим через (τ )∗ множество такихграни τ = τJ ⊂ Pq−1f0-коцепей c0 ∈ (−1; 1)Cf,1 ⊂ Hf0 ∼= Rq , что J(c0 ) = J (см.
§3.3.2, шаг 1), а через τ ∗ обозначим◦множество таких 0-коцепей c0 ∈ (−1; 1)Cf,1 ∼= (−1; 1)q , что J(c0 ) J. Назовем (τ )∗ стратом,а τ ∗ — звездой этого страта (отвечающими грани τ ). Тогда звезда τ ∗ открыта в Hf0 ,◦(τ )∗ ⊆ τ ∗ ,τ ⊂ τ ∗,◦страт (τ )∗ есть выпуклое открытое подмножество некоторого |f (Cf,1 )|-мерного линейногоподпространства в Hf0 , грань τ есть выпуклый (q − |f (Cf,1 )|)-мерный многогранник, причем◦грань τ и страт (τ )∗ пересекаются трансверсально в барицентре грани τ , являющемся внут◦∗∗ренней точкой каждого из них.
Положим S[f ]top := τJ(c(f)) , S[f ]top := (τ J(c(f )) ) . Рассмотрим впространстве (F1 / ∼top )discr × (−1; 1)Cf,1 × Hf1∗ подпространство[e :=X{[f ]top } × S[f ]top × U[f∞]top ,[f ]top ∈F1 /∼tope ⊂Xe .где U[f∞]top определено как в (3.32). Имеем включение Xe с помоАналогично определению 3.3.12 определим отношение эквивалентности ∼ на X∞e[f ]top (см. §3.3.2, шагщью покомпонентного действия на S[f ]top × U[f ]top дискретной группы Γst9). Определим “окрестность” стандартной ручки D[f ]top :∞∞fsteM[f ]top := (S[f ]top × U[f ]top )/Γ[f ]top ≈ (S[f ]top × S[f ]top )/Γ[f ]top ,eefstυ [f ]top := {[f ]top } × M[f ]top ⊂ Y := X / ∼ .e := Xe / ∼ с помощью вложенийОпределим отношение эквивалентности ∼glue на Yfstfstχ[f ]top ,[g]top : ∂[g]top M[f ]top ,→ M[g]top , определяемых теми же формулами, что и вложенияstχ[f ]top ,[g]top : ∂[g]top Dst[f ]top ,→ D[g]top (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
