Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 62
Текст из файла (страница 62)
По построению косых цилиндрических ручек D[f ]top комe для любой функции Морса f ∈ F1 многогранник D[f ] является гранью пермутоэдраплекса K,Pq−1⊂ Hf0 (см. (3.21)). Напомним также, что группа Γ[f ] определяется как (3.48). Ввиду теоfремы 3.3.3 достаточно показать, что для любой функции Морса f ∈ F1 индуцированноеправое действие группы Γ[f ] на многограннике D[f ] тривиально. Рассмотрим любой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f .
Так как по условию либо (a) p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1, либо (b) q − qb ≤ 1,то диффеоморфизм h оставляет неподвижными либо (a) все критические точки локальныхэкстремумов функции f , либо (b) все седловые точки функции f , соответственно. Достаточно (и даже необходимо в силу леммы 3.3.7) показать, что h оставляет неподвижными всеседловые критические точки функции f . Поэтому в случае (b) все доказано. В случае (a),согласно шагу 2 доказательства предложения 3.3.15(A) диффеоморфизм h переводит в себякаждую вершину и каждое ребро графа Gf (см. обозначение 3.1.6), и в частности каждуюседловую точку. Следствие доказано.3.3.6e оснащенных функций МорсаГомологии комплекса Ke стандартнымиЗдесь из теоремы 3.3.3 выводится следствие 3.3.6 о гомологиях комплекса Kметодами теории Морса (см., например, [34, §45]).
Также мы доказываем некоторые свойстваe (предложение 3.3.17).когомологий комплекса KДокажем сначала техническую лемму.Лемма 3.3.16. Пусть π : E → B — конечнолистное накрытие и k — абелева группа поля характеристики 0. Тогда индуцированный гомоморфизм когомологий π ∗ : H ∗ (B; k) →H ∗ (E; k) является мономорфизмом, т.е. имеет нулевое ядро.
В частности, если B компактно, то полиномы Пуанкаре базы накрытия B и накрывающего пространства E связанысоотношениями P (E; t) = P (B; t) + R(t) и χ(E) = | deg π| χ(B), где R = R(t) — некоторый полином переменной t с целыми неотрицательными коэффициентами. Если при этомχ(E) = 0, то P (E; t) = P (B; t) + (1 + t)R1 (t) для некоторого полинома R1 = R1 (t) с целыминеотрицательными коэффициентами.Доказательство.
Шаг 1. Докажем, что ker π ∗ = 0. Достаточно показать, что гомоморфизмπ ∗ имеет левый обратный. Определим “усредняющий” гомоморфизм цепей a : Ck (B; k) →Ck (E; k) следующим образом. Возьмем любую k-цепь y ∈ Ck (B; k) на базе B, поднимем ее вкаждый лист накрытия E и сложим полученные k-цепи по всем листам. Ввиду конечностичисла листов, получим k-цепь y 0 ∈ Ck (E; k) такую, что π∗ (y 0 ) = Ay, где A := deg π ∈ N — число листов накрытия. Положим a(y) := A1 y 0 . Имеем π∗ a(y) = y, т.е. построенный гомоморфизмa является правым обратным гомоморфизма π∗ : Ck (E; k) → Ck (B; k).
Рассмотрим сопряженные гомоморфизмы коцепей a∗ : C k (E; k) → C k (B; k) и π ∗ : C k (B; k) → C k (E; k), тогдаa∗ π ∗ (η) = η для любой k-коцепи η ∈ C k (B; k), т.е. a∗ является левым обратым гомоморфизмаπ ∗ . Заметим, что все наши гомоморфизмы согласованы с (ко-)граничными операторами.Пусть когомологический класс [ξ] ∈ H k (B; k) k-коцикла ξ ∈ C k (B; k) принадлежит ker π ∗ .Тогда найдется (k − 1)-коцепь η ∈ C k−1 (E; k) такая, что π ∗ (ξ) = δη. Поэтому ξ = a∗ π ∗ (ξ) =δ(a∗ η), т.е.
коцикл ξ является кограницей, т.е. [ξ] = 0.Так как ker π ∗ = 0, то числа Бетти βj (E) ≥ βj (B). Поэтому верно требуемое соотношениеP (E; t) = P (B; t) + R(t), где все коэффициенты многочлена R неотрицательны.Шаг 2. Соотношение χ(E) = deg π χ(B) доказывается с помощью клеточного разбиениябазы B и его поднятия на E.ГЛАВА 3.181ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАШаг 3. Пусть χ(E) = 0.
Тогда в силу шага 2 имеем χ(B) = 0. Поэтому 0 = χ(E) −χ(B) = P (E; −1) − P (B; −1), т.е. многочлен P (E; t) − P (B; t) = R(t) делится на 1 + t. Леммадоказана.Доказательство следствия 3.3.6. Пусть количество pb+ qb+br отмеченных критических точекпревосходит χ(M ).e ≤ 3q − 2, то при любом j ≥ 3q − 1 имеем(A) Так как по теореме 3.3.3(A) имеем dim Ke и βj (K)e = 0.j > dim K,(B) Пусть M̄ = S 2 (см. обозначение 3.1.4 (B)) и p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ≤ pb + qb +e состоит из конечного числа блоков D[f ]top , f ∈ F1 , поскольку конечноrb.
Тогда полиэдр Kколичество классов [f ]top топологической сопряженности функций Морса из F. Но все блокиD[f ]top компактны, так как они имеют видe[f ]top ,D[f ]top ≈ (D[f ]top × U[f ]top )/Γ2где D[f ]top — соответствующая грань пермутоэдра q+1Pfq−1 , а U[f ]top — выпуклая замкнутаямногогранная область (3.31) в 2q-мерном векторном пространстве. Поэтому в рассматрива0e конечен (и совпадает с полиэдром K = K/(D/De) ввиду тривиальемом случае полиэдр K0ности группы D/D ). Поэтому все возникающие в данном доказательстве числа Бетти иполиномы Пуанкаре будут конечны (в отличие от ситуации в примере 3.6.2 ниже).e = K:Изучим следующую фильтрацию конечного полиэдра Ke ≤−1 ⊂ Ke ≤0 ⊂ .
. . ⊂ Ke ≤q−1 = K,e∅=Ke ≤` :=где KSD[f ]top .q−s([f ])≤`e ≤` , Ke ≤`−1 ) получаем связьИз длинной точной гомологической последовательности пары (Kмежду полиномами Пуанкаре аналогично [34, §45]:e ≤` , Ke ≤`−1 ; t) − P (Ke ≤` ; t) + P (Ke ≤`−1 ; t) = (1 + t)P (Im ∂`−1 ; t),P (Ke ≤` , Ke ≤`−1 ) → H∗−1 (Ke ≤`−1 ) — граничный оператор. Складывая по всем `, полугде ∂`−1 : H∗ (Kчаем равенствоq−1Xq−1Xe ≤` , Ke ≤`−1 ; t) = P (K;e t) + (1 + t)P (K`=0(3.65)P (Im ∂`−1 ; t).`=0В левой части равенства (3.65) имеем сумму полиномов Пуанкаре всех ручек D[f ] , домноженных на tq−s(f ) , где q − s(f ) есть индекс ручки:q−1X`=0e ≤` , Ke ≤`−1 ; t) =P (KXP (D[f ] , ∂D[f ] ; t) =[f ]∈F1 /∼Xq−s(f )t[f ]∈F1 /∼P (D[f ] ; t) =: Q1 (t) =∞Xtj qj .j=0Но по теореме 3.3.3 каждая ручка D[f ] имеет своим строгим деформационным ретрактомпространство орбит (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] соответствующего тора (S 1 )d([f ]) по свободному действиюконечной группы Γ[f ] допустимыми автоморфизмами тора.
Значит, по лемме 3.3.16 их полиномы Пуанкаре связаны соотношениемP (D[f ] ; t) = (1 + t)d([f ]) − R[f ] (t)для некоторого многочлена R[f ] = R[f ] (t) с целыми неотрицательными коэффициентами. Таккак эйлерова характеристика тора положительной размерности равна 0, то по лемме 3.3.16e[f ] (t).при d([f ]) > 0 многочлен R[f ] (t) делится на 1 + t, т.е.
имеет вид R[f ] (t) = (1 + t)RГЛАВА 3.182ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАЕсли же d([f ]) = 0, то D[f ] гомотопически эквивалентно точке (т.е. стягиваемо), поэтомуe[f ] (t) для Re[f ] (t) := 0. Значит, равенство (3.65) принимает видR[f ] (t) = 0 = (1 + t)RXXe t) =P (K;tq−s(f ) P (D[f ] ; t) − (1 + t)R1 (t) =tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) − (1 + t)R(t), (3.66)[f ]∈F1 /∼q−1Pгде R1 (t) :=[f ]∈F1 /∼P (Im ∂`−1 ; t), R2 (t) :=e[f ] (t), R(t) = R1 (t) + R2 (t).tq−s(f ) RP[f ]∈F1 /∼`=0Домножим полученные равенства (3.66) на ряд 1 − t + t2 − t3 + · · · = (1 + t)−1 . Получимлибо∞∞XXjt (βj − βj−1 + βj−2 − βj−3 + . .
. ) =tj (qj − qj−1 + qj−2 − qj−3 + . . . ) − R1 (t)j=0в случаеj=0∞Ptj qj = Q1 (t) :=tq−s(f ) P (M[f ] ; t), либо[f ]∈F1 /∼j=0∞XPjt (βj − βj−1 + βj−2 − βj−3 + . . . ) =j=0в случае∞Xtj (qj − qj−1 + qj−2 − qj−3 + . . . ) − R1 (t) − R2 (t)j=0∞Ptj qj = Q2 (t) :=j=0Ptq−s(f ) (1 + t)d([f ]) = Q1 (t) + (1 + t)R2 (t). Отсюда получаем[f ]∈F1 /∼требуемые неравенства Морса:βj − βj−1 + βj−2 − βj−3 + . .
. ≤ qj − qj−1 + qj−2 − qj−3 + . . . ,j ≥ 0.Сравнивая коэффициенты многочленов в (3.66), получаем слабые неравенства Морса:βj ≤ qj при j ≥ 0. Подставив t = −1 в равенство (3.66), получаем эйлерову характеристикуXe =χ(K)(−1)q−s(f ) .(3.67)[f ]∈F1 /∼d([f ])=0Но по теореме 3.3.3(C) для ручек D[f ] индекса q − s(f ) < q − 1 (т.е. меньшего максимального)размерность тора d([f ]) = t([f ]) − 1 положительна, а для ручек D[f ] индекса q − s(f ) =q − 1 (т.е. максимального индекса) размерность тора d([f ]) = t([f ]) − 1 равна 0. Поэтомуненулевой вклад в сумму (3.67) дают в точности ручки D[f ] индекса q − s(f ) = q − 1 (т.е.ручки максимального индекса). Отсюда получаемe = (−1)q−1 [f ] ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 .χ(K)(C) Докажем первое утверждение из п.(C).
Пусть M̄ = S 2 , p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ичисло qb0 := q00 + q0∗ седловых точек с фиксированным оснащением положительно (т.е. qb0 > 0).Аналогично (B) доказываются аналоги всех утверждений из п.(B).Докажем второе утверждение из п.(C). Аналогично (B) получаем равенство χ(M) =(−1)q−1 εg (q), где g — род поверхности M (т.е. χ(M̄ ) = 2 − 2g) иεg (q) := [f ]top ∈ F1 / ∼top | s(f ) = 1 .Заметим, что число εg (q) равно количеству клеточных разбиений замкнутой ориентированной поверхности M̄ рода g, имеющих q ребер, 1 двумерную клетку и одно меченое ориентированное ребро. Но по формуле Харера-Загье [78] эти числа εg (q) являются коэффициентами1+s tряда Тейлора функции 1−sв нуле:tX εg (q)1+sq+1 q+1−2g1+2s t=.(2q−1)!!1−sqСледствие полностью доказано.ГЛАВА 3.183ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАПредложение 3.3.17.
Предположим, что количество пронумерованных критических точек pb + qb + rb > χ(M ). Тогда существуетспектральная последовательность биградуированLEn`,m , dn ), n ∈ N, такая, чтоных коцепных комплексов (En =`,m∈Z+(a)`,mEn+1(b)=H`,me(En , dn ), bideg dn = (n, 1 − n), En`,m =⇒ H `+m (K);e ≤` , Ke ≤`−1 ) ∼E1`,m = H `+m (K=H `+m (D[g]top , ∂D[g]top ) ∼=M[g]topq−s(f )=`MH m (D[g]top );[g]topq−s(g)=`(c) оператор d1 : E1`,m → E1`+1,m переводит подгруппу H m (D[g]top ) вMH m (D[f ]top ) и[f ]top [g]topq−s(f )=`+1st∂[g]top D[f ]top ,→ Dst[g]topиндуцирован отображениями инцидентности χ[f ]top ,[g]top :(см. §3.3.2 и`,m`,m(3.58)); E2 = H (E1 , d1 );(d) если либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1 (т.е. все критические точки локальных экстремумов пронумерованы), либо q − qb ≤ 1 (т.е.
все седловые критические точки пронумерованы), то кольцо E2 = E∞ мультипликативно порождено своими подгруппами E20,1 и E2∗,0 ,e {H m (D[f ]top )}) — когомологии комплекса Ke функций Морса (см. следпричем E2`,m ∼= H ` (K;ствие 3.3.5) с коэффициентами в локальной системе групп {H m (D[f ]top ) ∼= H m ((S 1 )d([f ]) )},e причем группы, сопоставляемые любой паресопоставляемых клеткам D[f ]top комплекса K,инцидентных клеток, связаны гомоморфизмом d1 из (c); если также d2 (E20,1 ) = 0, то спекe стральная последовательность сходится в члене E2 = E∞ , и группа когомологий H j (K)jL `,j−`E2при любом j ∈ Z+ .точностью до присоединенности изоморфна`=0Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
