Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Осталось доказать, что верно включение h1 ∈(stabD 0 f )(Diff 0 (M, Cf )). Так как fe∗ = h2 fe1∗ h1 , тоb ⇒ J(c(f h1 )) = J(c(f )) =: J(3.61)h1 (G e∗ ) = G e∗ , J(c(fe∗ h1 )) = J(c(fe∗ )) =: J,f1f1(так как из того, что перестановка h1 |Cf,1 : Cf,1 → Cf,1 седловых точек переводит отношениечастичного порядка J(c(fe1∗ )) на множестве Cf,1 значениями одной “возмущенной” 0-коцепиc(fe1∗ ) = fe1∗ |Cf,1 ∈ C 0 (Cf,1 ; R) в отношение частичного порядка J(c(fe∗ )) на множестве Cf,1значениями другой “возмущенной” 0-коцепи c(fe∗ ) = fe∗ |Cf,1 ∈ C 0 (Cf,1 ; R), следует сохранение этой перестановкой “более слабого” отношения частичного порядка на Cf,1 значениями“невозмущенной” 0-коцепи c(f ) = f |Cf,1 ∈ C 0 (Cf,1 ; R)). Так как функции f, f h1 имеют однии те же множества Cf,0 , Cf,1 , Cf,2 критических точек минимумов, седловых точек и точекмаксимумов, то, согласно (3.61) и достаточному условию топологической эквивалентностифункций Морса (см.
лемму 2.3.2, т.е. [132, лемма 1]), достаточно показать совпадение графов Gf h1 = h0 (Gf ) для некоторого диффеоморфизма h0 ∈ Diff 0 (M, Cf ), см. обозначение 3.1.6и (3.27) (т.е. что графы Gf и Gf h1 изотопны в поверхности M 0 := M \(Cf,0 ∪Cf,2 ) относительномножества вершин Cf,1 ).
Обозначим Cf,0,2 := Cf,0 ∪ Cf,2 .Лемма 3.3.11. Пусть f ∈ F1 , u ∈ Uf∞ ⊂ Hf1 , и пусть в обозначениях (3.22) возмущеннойфункции fe∗ := feh−1отвечает грань τ 0 := τJ(c(fe∗ )) ≺ τJ(c(f )) . Тогда граф Gf ⊂ M (см.0;f,feобозначение 3.1.6) совпадает с точностью до диффеоморфизмов из Diff 0 (M, Cf ) с некоторымграфом G := GM,Cf,0,2 ,G e∗ ,u,J,Jb ⊂ M , рассматриваемым с точностью до диффеоморфизмов изfDiff 0 (M, Cf,0,2 ∪ V (G)) и определяемым следующим набором данных:(i) поверхность M ;(ii) подмножество Cf,0,2 := Cf,0 ∪ Cf,2 ⊂ M ;(iii) граф Gfe∗ ⊂ M 0 := M \ Cf,0,2 с точностью до диффеоморфизмов из Diff 0 (M, Cf,0,2 ∪V (Gfe∗ ));(iv) класс относительных 1-когомологий u ∈ Uf∞ ⊂ Hf1 = H 1 (M 0 , V (Gfe∗ ); R);(v) два отношения частичного порядка Jb := J(c(fe∗ )) ≺ J := J(c(f )) на множествеV (Gfe∗ ) вершин графа Gfe∗ значениями функций f, fe∗ на вершинах (соответственно),где через V (G) ⊂ G обозначено множество вершин графа G.То есть, если набор данных (i)—(v) построен указанным способом по паре “невозмущенной”и “возмущенной” функций f и fe∗ , имеющих одно и то же множество критических точек, то Gf ∈ (Diff 0 (M, Cf ))(G) для G := GM,Cf,0,2 ,G e∗ ,u,J,J(т.е.
графы Gf и G изотопны вbf0поверхности M относительно множества вершин V (Gfe∗ ) = V (G)).ГЛАВА 3.170ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАДоказательство. Сначала проведем доказательство в случае, когда τ 0 := τJb является гипергранью грани τ := τJ . Обозначим “возмущенную” функцию через fe1 := fe∗ . Граф G =0GM,Cf,0,2 ,G e ,u,J,Jb ⊂ M строится так. Так как τ := τJb ≺ τ := τJ – гипергрань, то ровно одноf1из седловых критических значений c ∈ f (Cf,1 ) “невозмущенной” функции f распадается надва седловых критических значения c− < c+ “возмущенной” функции fe1 .
Пусть Z` ⊂ M \ Gfe1– такая компонента связности множества M \ G e , что inf fe1 |Z = c− и sup fe1 |Z = c+ (т.е. Z`f1``является открытым цилиндром для функции fe1 , см. (3.33)). Ориентированный граф G ⊂ Z`назовем Z` -допустимым, если его множество вершин содержится в множестве вершин графа Gfe1 , а внутренность каждого его ребра содержится в Z` ; Z` -допустимый однореберныйориентированный граф γ0 с параметризацией γ0 : [0; 1] → Z` назовем (Z` , u)-минимальным,еслиu([γ0 ]) = min u([γ]) γ ∈ Z`adm , γ|[0;1/2] = γ0 |[0;1/2] , u([γ]) > 0 ,где через Z`adm обозначено множество Z` -допустимых однореберных графов.
Из включений1∞u ∈ Uf∞ ⊂ Uf∞e1 и определения подмножества Ufe1 ⊂ Hf следует, что указанный минимумдостигается для любого Z` -допустимого однореберного графа γ0 , причем ровно на одном Z` допустимом однореберном графе с точностью до гомотопии в классе Z` -допустимых графов.Более того, имеется Z` -допустимый ориентированный граф G` ⊂ Z` , каждое ребро которого является (Z` , u)-минимальным и который содержит в качестве ровно одного из своихребер любой (Z` , u)-минимальный однореберный граф с точностью до гомотопии в классе Z` -допустимых графов.
Причем граф G` с указанным свойством единствен с точностьюдо гомотопии в классе Z` -допустимых графов. Обозначим через G ⊂ M граф, полученный из графа Gfe1 заменой подграфа ∂Z` соответствующим графом G` для каждой компоненты связности Z` ⊂ M \ G e , такой что Z` ⊂ fe−1 ([c− ; c+ ]). Нетрудно показывается, что1f1Gf ∈ (Diff (M, Cf ))(G).В общем случае имеются такие последовательности граней τ 0 , τ 00 , . . . , τ (j−1) грани τ =: τ (j)и соответствующих отношений частичного порядка Jb =: J 0 , J 00 , . .
. , J (j−1) , J (j) := J, чтоτ (i−1) = τJ (i−1) является гипергранью грани τ (i) = τJ (i) , 2 ≤ i ≤ j. Пусть fej := f — невозмущенная функция, и fei — возмущенная функция, которой отвечает грань τ (i) по правилу (3.22),причем Cfei = Cf , 1 ≤ i ≤ j − 1. Определим индуктивно по графу G0 := Gfe1 = Gfe∗ ⊂ Mграфы G(i+1) := GM,Cf,0,2 ,G(i) ,u,J (i) ,J (i+1) при i = 1, 2, . . . , j − 1. Положим GM,Cf,0,2 ,G e ,u,J,J:=b0f1G(j) . Из доказанного выше следует (по индукции), что Gfei+1 ∈ (Diff 0 (M, Cf ))(G(i+1) ) приi = 1, 2, . . . , j − 1. В частности, Gf = Gfej ∈ (Diff 0 (M, Cf ))(G(j) ).
Лемма 3.3.11 доказана.Из леммы 3.3.11 следует ввиду (3.60) и (3.61), чтоGf ∈ (Diff 0 (M, Cf ))(GM,Cf,0,2 ,G e∗ ,u1 ,J,Jb ),fGf ∈ (Diff (M, Cf ))(GM,Cf,0,2 ,G e∗ ,u2 ,J(c(fe∗ )),J ),01f1Gf h1 ∈ (Diff 0 (M, Cf h1 ))(GM,h−1 (Cf,0,2 ),h−1 (G e∗ ),h∗ (u2 ),J(c(fe∗ h1 )),J(c(f h1 )) )11f1110= (Diff 0 (M, Cf ))(GM,Cf,0,2 ,G e∗ ,u1 ,J,Jb ) = (Diff (M, Cf ))(Gf ),fт.е. требуемое включение Gf h1 ∈ (Diff (M, Cf ))(Gf ). Значит, h1 ∈ (stabD 0 f )(Diff 0 (M, Cf )),e∗ (u2 ), а значит, отображение χf,g является вложением.откуда u1 ∈ Γf03.3.3e оснащенных функций МорсаПостроение комплекса Ke (определеВ данном параграфе строится косой цилиндрически-полиэдральный комплекс Ke из станние 3.3.2 (B)), удовлетворяющий условиям теоремы 3.3.3.
Мы получим комплекс Kдартных косых цилиндрических ручек, описанных в §3.3.2, путем приклеивания друг к другуГЛАВА 3.171ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАпо построенным там отображениям инцидентности. Конструкция, приведенная в данном параграфе, является обобщением конструкции из §2.7.5 (т.е. из [133, §5]), где были построены(при дополнительном ограничении p = p∗ , q = q ∗ , r = r∗ , т.е. когда все критические точкиe и K (комплексы функций Морса), являющиесяфиксированы) более простые комплексы Kстрого полиэдральными комплексами (см.
определения 2.7.9(А) и 3.3.2(C)).Пусть f∗ ∈ F1 – базисная функция Морса (см. определение 3.1.3 (B)). В каждом классетопологической эквивалентности [f ]top рассмотрим отмеченную функцию f ∈ [f ]top этогокласса с множествами критических точек Cf,λ = Cf∗ ,λ , λ = 0, 1, 2 (см. §3.3.2, шаг 2), тогдаHf0 = Hf0∗ , Hf1 = Hf1∗ . Рассмотрим топологическое пространство11discr× Pq−1 × R2q ,(F1 / ∼top )discr × Pq−1f∗ × Hf∗ ≈ (F / ∼top )q−1где (F1 / ∼top )discr := F1 / ∼top с дискретной топологией, а евклидов многогранник Pq−1f∗ ≈ P12qи векторное пространство Hf∗ ≈ R определены как в §3.3.2, шаги 1, 4 и (3.29).
Рассмотримв этом топологическом пространстве подпространство[e :=X{[f ]top } × D[f ]top × U[f ]top(3.62)[f ]top ∈F1 /∼topс индуцированной топологией (см. §3.3.2, шаг 2 и (3.31)).e оснащенных функций Морса). Рассмотрим факторпроОпределение 3.3.12 (комплекс Ke := (X/e ∼)/ ∼glue с фактортопологией, где отношения эквивалентности ∼, ∼glueстранство Ke Ye := X/e ∼ порождены следующими отношениями соответственно:на пространствах X,e стандартная косая цилиндрическая ручка Dst ) для каждого клас(отношение ∼ на X;[f ]topса топологической эквивалентности [f ]top рассмотрим проекцию D[f ]top × U[f ]top → (D[f ]top ×ste[f ]top = DstU[f ]top )/Γ[f ]top на стандартную косую цилиндрическую ручку D[f ]top индекса k =dim D[f ]top (см.
§3.3.2, шаг 9), рассмотрим проекцию {[f ]top } × D[f ]top × U[f ]top → {[f ]top } ×Dst[f ]top =: υ [f ]top , являющуюся прямым произведением отображения {[f ]top } → {[f ]top } и этойпроекции, и назовем точки множества {[f ]top } × D[f ]top × U[f ]top ∼-эквивалентными, если ихe := X/e ∼= Sобразы в υ [f ]top при последней проекции совпадают; тогда Y[f ]top υ [f ]top ;e отображения инцидентности) для каждой пары примыкающих(отношение ∼glue на Y;классов [f ]top ≺ [g]top рассмотрим вложение, называемое отображением инцидентности:ststχ[f ]top ,[g]top : ∂[g]top Dst[f ]top ,→ D[g]top (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
