Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 60
Текст из файла (страница 60)
§3.3.2, шаг 10). Рассмотрим пространстваe := Xe / ∼,Ye / ∼gluef := YMe ⊂ M.f Пустьс фактортопологией, тогда Ke → M,fpX : Xe → MfpY : Yf[f ]top := pY (υ [f ]top ) косой цилин— канонические проекции. Рассмотрим “окрестность” Me в M.fдрической ручки D[f ]top ⊂ Ke является гладким открытым 3q-мерным многообразием с естественной плосТак как Xe[f ]top действует на нем диффеоморфизмами,кой аффинной связностью, и каждая группа Γe тоже является гладким открытым 3q-мерным многообразисохраняющими связность, то Yем с плоской аффинной связностью.e / ∼glue обладает структуf := YТеорема 3.3.14 ([134, теорема 4.3]). Пространство Mрой гладкого 3q-мерного многообразия и естественной плоской аффинной связностью, гладкой относительно этой структуры.
При этом для каждого класса топологической эквивалентности [f ]top выполнены следующие условия:e → Mf[f ]top = pY (υ [f ]top ) ⊂ Mf открыто, где pY : Yf – проекция,(i) подмножество MГЛАВА 3.175ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАf является гладким регулярным вложением глад(ii) отображение pY |υ[f ]top : υ [f ]top → Mких 3q-мерных многообразий, сохраняющим аффинную связность.e → Mf биективно. Дискретная группа D ± /D 0 и группа Diff + [−1; 1]Отображение pY |Ye : Yf справа и слева соответственно диффеоморфизмами, сохраняющими афдействуют на Mf[f ]top .финную связность и области MДоказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.3.13 доказательство проводится индукцией, а именно, доказывается однозначность, непрерывность и инъективность соответe →ствующих приклеивающих отображений, а также биективность отображения pY |Ye : Yf Так как каждое приклеивающее отображение ϕ0M.определено на открытом подмно[f ]tope и является непрерывным и инъективнымжестве открытого подмножества υ [f ]top ⊂ Yf[f ]top открыто в Mf и pY |υотображением 3q-мерных многообразий, то M: υ [f ]top →[f ]topf[f ]top ⊂ Mf является гомеоморфизмом (в индуцированной топологии).
В частности, кажMf обладает окрестностью, гомеоморфной R3q . Так как пространстводая точка пространства Mf хаусдорфово (см. ниже), а все отображения χM[f ]top ,[g]top (а потому и все приклеивающиеf являотображения) являются гладкими и сохраняют плоскую аффинную связность, то Mется гладким 3q-мерным многообразием с естественной плоской аффинной связностью.f хаусдорфово. Рассмотрим естественное непреОсталось доказать, что пространство Mрывное “вычисляющее” отображениеe → Rq /Σq ,Ev∗ : X([f ]top , c, u) 7→ Σq c,где группа перестановок Σq действует на любом наборе c ∈ RCf,1 ∼= Rq перестановкамикомпонент.
Легко проверяется, что оно индуцирует (автоматически непрерывное) отобраf → Rq /Σq , которое тоже будем обозначать через Ev∗ . Пусть m1 , m2 ∈ M.f Еслижение M∗∗Ev (m1 ) 6= Ev (m2 ), то точки m1 , m2 обладают непересекающимися окрестностями ввиду хаf[f ]top , i = 1, 2.усдорфовости Rq /Σq и непрерывности Ev∗ . Пусть Ev∗ (m1 ) = Ev∗ (m2 ) и mi ∈ MiЕсли [f1 ]top 6= [f2 ]top , то в силу леммы 3.3.7 не существует класса топологической эквивалентности [g]top , такого что [g]top [fi ]top , i = 1, 2, а потому образы приклеивающих отображенийf[f ]top точек mi , i = 1, 2,ϕ0[fi ]top , i = 1, 2, имеют пустое пересечение, откуда окрестности Miff[f ]topв M имеют пустое пересечение.
Если [f1 ]top = [f2 ]top и m1 6= m2 , то точки m1 , m2 ∈ M1f[f ]top , хаусдорфовостиобладают непересекающимися окрестностями ввиду открытости M1fstf[f ]top ≈ υ [f ]top ≈ Mfstстандартного пространства Mи гомеоморфности M(см.[f1 ]top11[f1 ]topf является хаусдорфовым. Теорема 3.3.14 доказавыше). Таким образом, пространство Mна.3.3.5e сущеТопология косых цилиндрических ручек комплекса K,e →Ke и проекции Keствование комплекса KЗдесь мы завершим доказательство теоремы 3.3.3, изучим топологию косых цилиндрическихe (предложение 3.3.15) и докажем существование более простого (полиэдручек комплекса Ke →Ke функций Морса и проекции Ke (следствие 3.3.5).рального) комплекса KДоказательство основной теоремы 3.3.3. (A), (B) Из теорем 3.3.13 и 3.3.14 получаем утверждения (A) и (B) теоремы 3.3.3.(C) Утверждение (C) теоремы 3.3.3 нетрудно выводится из (3.44) и явного описания (3.43)набора образующих свободной абелевой группы D 0 ∩ Θf (см.
§3.3.2, шаг 7). Действительно:из равенств (3.44) и (3.45), с учетом равенства c = |A|, получаем первое требуемое равенствоГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА176c+d = (n−νe +e)+(νe −e) = n. Для доказательства неравенства d ≤ min{p−p∗ +r−r∗ −q ∗ , t−1}надо доказать два неравенства: d < t и d ≤ p − p∗ + r − r∗ − q ∗ .Чтобы доказать эти неравенства, рассмотрим “обобщенные круги” Zb` ⊂ M \ C (каждый изкоторых гомеоморфен кругу или проколотому кругу или цилиндру), 1 ≤ ` ≤ ν0 , отвечающиеобразующим подгруппы Θf,0 ⊂ D 0 ∩ Θf , а также цилиндры Zb` ⊂ M \ C, νk−1 < ` < νk ,1 ≤ k ≤ e, отвечающие образующим подгрупп Θf,1 , .
. . , Θf,e ⊂ D 0 ∩ Θf из §3.3.2, шаг 7. Изпостроения этих цилиндров и обобщенных кругов следует, чтоS0 b(i) связные компоненты объединения ν`=1Z` всех обобщенных кругов являются обобщенными кругами, которые назовем специальными, в частности любой обобщенный кругZb` , 1 ≤ ` ≤ ν0 , содержится ровно в одном специальном обобщенном круге Zb`0` );(ii) каждый из цилиндров Zb` , νk−1 < ` < νk , 1 ≤ k ≤ e, содержит не меньше одной связнойкомпоненты графа Gf , не содержащейся ни в одном из обобщенных кругов, а такжеон либо содержит не меньше одной плавающей (т.е.
нефиксированной) критическойточки локального экстремума и не пересекается ни с одним из обобщенных кругов Zb`0 ,1 ≤ `0 ≤ ν0 , либо содержит несколько (в количестве > 0) специальных обобщенныхкругов (причем все такие обобщенные круги являются кругами);(iii) существует связная компонента графа Gf , не содержащаяся ни в одном обобщенномкруге Zb` , 1 ≤ ` ≤ ν0 , и ни в одном цилиндре Zb` , νk−1 < ` < νk , 1 ≤ k ≤ e.Но для любого специального обобщенного круга выполнено следующее: его проекция в графWf Кронрода-Риба функции f является деревом, которое содержит на одну больше внутренних вершин, чем внутренних ребер графа Wf , а потому на ≥ 2 больше концевых (т.е.имеющих степень 1 в графе Wf ) вершин, чем внутренних ребер графа Wf . Поэтому специальный обобщенный круг Zb` содержит столько же связных компонент графа Gf , сколькообобщенных кругов Zb`0 (включая специальный обобщенный круг Zb` ), а также содержит больше плавающих критических точек локальных экстремумов функции f , чем обобщенных кругов Zb`0 (включая специальный обобщенный круг Zb` ).
Далее, любой цилиндр Zb` содержит неменьше плавающих критических точек локальных экстремумов функции f , чем цилиндрови обобщенных кругов Zb`0 (включая сам цилиндр Zb` ), а также содержит не меньше связныхкомпонент графа Gf , чем цилиндров и обобщенных кругов Zb`0 (включая сам цилиндр Zb` ).Поэтому общее количество p − p∗ + r − r∗ плавающих критических точек локальных экстремумов функции f не меньше, чем общее количество d цилиндров и обобщенных кругов Zb` , аобщее количество t связных компонент графа Gf больше, чем общее количество d цилиндрови обобщенных кругов Zb` .
Таким образом, верны оба требуемые неравенства p − p∗ + r − r∗ ≥ dи t > d.Предположим теперь, что число фиксированных критических точек |C| = p∗ + q ∗ + r∗ ≤χ(M ) + 1. Тогда χ(M ) ≥ −1, поэтому род M равен 0 или 1. Если род M равен 0, то e = 0 иd = ν0 = n, т.е. любая окружность γ` , 1 ≤ ` ≤ n, ограничивает обобщенный круг Zb` в M \ C.Поэтому d равно числу внутренних ребер дерева Wf , т.е. на 1 меньше числа внутреннихвершин графа Wf , т.е. d = t − 1. Если род M равен 1 и граф Wf является деревом, тоопять e = 0 и d = ν0 = n, поэтому d равно числу внутренних ребер дерева Wf , т.е. на1 меньше числа внутренних вершин графа Wf , т.е.
d = t − 1. Если же род M равен 1 и◦граф Wf не является деревом, то граф Wf (а также объединение W f его внутренних ребер)гомотопически эквивалентен окружности, поэтому e = 1, d = νe − e = ν1 − 1, ν1 = n и◦t − n = χ(W f ) = 0, откуда d = n − 1 = t − 1.Предположим теперь, что |C| = p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 и t = q, т.е. любой внутреннейвершине графа Wf отвечает ровно одна седловая критическая точка функции f . Тогда поГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА177доказанному d = t − 1 = q − 1 = p + r − χ(M ) − 1 = p − p∗ + r − r∗ − q ∗ − χ(M ) − 1 + p∗ + q ∗ + r∗ ≤p − p∗ + r − r ∗ − q ∗ .Теорема 3.3.3 доказана.Предложение 3.3.15. Предположим, что количество пронумерованных критических точек pb + qb + rb > χ(M ).
Тогда косые цилиндрические ручки цилиндрически-полиэдральногоe из теоремы 3.3.3 обладают следующим строением.комплекса Ke является цилиндрически-полиэд(A) Косой цилиндрически-полиэдральный комплекс Kральным (т.е. любая его косая цилиндрическая ручка D[f ]top является цилиндрической) втом и только том случае, когда все точки локальных минимумов и локальных максимумов пронумерованы, т.е. p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1. В этом случае для любой цилиндрическойручки D[f ]top соответствующая конечная группа Γ[f ] автоморфизмов соответствующеготора (S 1 )d([f ]) тривиальна, поэтому эта ручка имеет своим строгим деформационным ретрактом тор (S 1 )d([f ]) (а потому гомотопически эквивалентна этому тору).e имеет своим строгим дефор(B) Любая косая цилиндрическая ручка D[f ]top комплекса K1 d([f ])мационным ретрактом пространство орбит (S )/Γ[f ] соответствующего тора (S 1 )d([f ])по свободному действию конечной группы Γ[f ] допустимыми автоморфизмами тора, см.определение 3.3.1(A,B,C).
Косая цилиндрическая ручка D[f ]top гомотопически эквивалентнанекоторому (заведомо d([f ])-мерному) тору в том и только том случае, когда либо числоседел q ≤ 2, либо q − qb ≤ 1 (т.е. все седловые критические точки пронумерованы), либоp − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 3, либо p − pb ≤ 3 и r − rb ≤ 1 (т.е. все критические точки локальныхэкстремумов пронумерованы кроме, быть может, ≤ 3 точек одного индекса).Доказательство. (A) Шаг 1. Предположим, что p − pb ≥ 2, т.е. хотя бы две критическиеточки локальных минимумов не пронумерованы.
Тогда существует функция Морса f ∈ F1 ,для которой существует разбивающее открытое ребро e графа Wf такое, что одна из связныхкомпонент графа Wf \ e является деревом Te и содержит ровно три вершины, две из которыхимеют степень 1 в графе Wf и отвечают непронумерованным точка локальных минимумовфункции f , а третья вершина имеет степень 3 в графе Wf и отвечает связной компоненте графа Gf , содержащей ровно одну седловую критическую точку функции f . Нетруднопостроить диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f , тождественный на p−1f (Wf \ (e ∪ Te )) и переставляющий между собой указанные две точки локальных минимумов в p−1 (Te ). Тогда индуцированный автоморфизм h∗0 ∈ Aut(Hf0 ) действует тождественно на клетке-многогранникеD[f ] ⊂ Hf0 (так как h переводит каждую седловую точку в себя), однако индуцированныйавтоморфизм h∗ = h∗1 ∈ Aut(Hf1 ) действует на U[f ]top ⊂ Hf1 , точнее на утолщенном цилиндреS[f ]top = U[f ]top /(D 0 ∩ Θ[f ]top )∗ ≈ (Rc × (S 1 )d ) × P так: сдвигом на цилиндре Rc × (S 1 )d вдольсоответствующей образующей S 1 тора (S 1 )d (так как h переводит в себя каждый открытыйцилиндр Zb` из (3.33)) и отражением на многограннике P = P[f ]top .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
