Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Рассмотрим короткую точную последовательность k-модулей 0 → R`+1 →e Ke ≤`−1 ; k). Расмотрим ее длинную точную когомологическуюR` → R` /R`+1 , где R` := C ∗ (K,последовательность:jik· · · → D1`+1,m−1 −→ D1`,m −→ E1`,m −→ D1`+1,m → . . . ,e Ke ≤`−1 ), E `,m := H `+m (Ke ≤` , Ke ≤`−1 ). Имеем bideg i = (−1, 1), bideg j =где D1`,m := H `+m (K,1(0, 0), bideg k = (1, 0). Положим d1 := jk : E1 → E1 , bideg d1 = (1, 0). Для полученной точнойδ-парыi/DD`k~jEрассмотрим производную точную δ-пару и т.д.
Получим последовательность (En , dn ) с нужными свойствами (a)—(c).e функций Морса определен корДокажем свойство (d). По следствию 3.3.5 комплекс Kректно. По предложению 3.3.15(B) любая косая цилиндрическая ручка D[f ]top имеет своимстрогим деформационным ретрактом соответствующий тор (S 1 )d([f ]) . Отсюда следуют всеутверждения из свойства (d).3.4f ≈ F1/D 0 оснащенных функПространство модулей Mций Морса, гомотопическая эквивалентность F1 ∼ D 0×f при χ(M ) < 0MВ этом параграфе излагаются результаты работы автора [135].ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА184Как и в предыдущем параграфе §3.3, все построения и результаты настоящего параграфаотносятся к случаю (3.19). Однако теперь будут использованы и понятие малых деформацийфункции Морса, и понятие оснащенных функций Морса.Аннотация: Пусть M — гладкая компактная ориентируемая поверхность, и пусть F — пространство функций Морса на M , у которых не менее чем χ(M )+1 критических точек помеченыразличными метками (пронумерованы).
Снабдим C ∞ -топологией пространство F. Доказана гоf где R — одно из многообразий RP 3 , S 1 × S 1 и точкамотопическая эквивалентность F ∼ R × M,f — универсальное пространство модулей оснащенных функв зависимости от знака χ(M ), а Mций Морса, являющееся гладким стратифицированным многообразием. Получены неравенстваМорса для чисел Бетти пространства F.В настоящем параграфе продолжается изучение топологии обобщенного пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса на компактной гладкой ориентируемой двумерной поверхности M . Предполагается, что у каждой функции f ∈ F по меньшей мере χ(M ) + 1 критических точекпомечены различными метками (пронумерованы).В §3.2 (т.е. в работе [143]) мы ввели понятие оснащенной функции Морса (определение3.2.2) и доказали гомотопическую эквивалентность F ∼ F пространства F функций Морса ипространства F = F(M ) оснащенных функций Морса (см.
теоремы 3.2.1 и 3.2.5 или [143, 132]).e оснащенных функций Морса иВ §3.3 (т.е. в работе [134]) мы описали построение комплекса Kf (см. теоремы 3.3.3, 3.3.13содержащего его гладкого стратифицированного многообразия Mи 3.3.14, а также утверждение 3.4.4).В настоящем параграфе мы доказываем (теорема 3.4.1), что пространство F функцийf где R = R(M ) — одно из многообраМорса гомотопически эквивалентно полиэдру R × M,зий RP 3 , S 1 , S 1 × S 1 и точка (см.
(3.2)). Из этого результата будет выведено в следующемe оснащенных функций Морса является строгим депараграфе (лемма 3.5.8), что комплекс Kf Таким образом, мы сведем задачу о топологииформационным ретрактом многообразия M.пространства F функций Морса к комбинаторной задаче — изучению топологии многообраef (или полиэдра K).зия Mf могут быть изучены с помощью его естественной стратифиГомологии многообразия Mf[f ]top любогокации, а также индуцированной стратификации специальной окрестности Mf[f ]top (см. утверждение 3.4.4). Этим методом мы получаем в случае M = S 2 нерастрата Mf и находим его эйлерову характеристикувенства Морса для чисел Бетти многообразия M(следствие 3.4.2, аналогичное следствию 3.3.6).Данный раздел имеет следующую структуру. В §3.4.1 формулируются основные результаты настоящего раздела (теорема 3.4.1 и следствие 3.4.2). В §3.4.2 описывается конструкцияfиз §§3.3.2—3.3.4 (т.е. из [134]) гладкого стратифицированного 3q-мерного многообразия M,где q — количество седловых критических точек функций Морса из F (см.
определение 3.1.3f гомеоморфно универсальи утверждение 3.4.4). В §3.4.3 доказывается, что многообразие M10ному пространству модулей F /D оснащенных функций Морса (утверждение 3.4.7). В §3.4.4f (утверждение 3.4.10).устанавливается гомеоморфизм F1 ≈ D 0 × M3.4.1Формулировка основных результатовРассмотрим обобщенное пространствоF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ) (см.
определение 3.1.3). Пустьf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+MГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА185e = Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+— 3q-мерное многообразие, содержащее комплекс Kf[f ]top ⊂ Mf[f ]top — (s([f ])+2q)оснащенных функций Морса (см. §3.4.2 или [134, §4]). Пусть Mf отвечающие классу топологической экмерный страт и его специальная окрестность в M,вивалентности [f ]top (см. теорему 3.3.14, т.е. [134, §4], или утверждение 3.4.4). Из §3.3.3 (т.е.f[f ]top имеет своим строгим дефориз результатов [134]) нетрудно выводится, что страт Mмационным ретрактом пространство орбит (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] соответствующего тора (S 1 )d([f ]) посвободному действию конечной группы Γ[f ] допустимыми автоморфизмами тора, см. определение 3.3.1 (A, B, C).Теорема 3.4.1 ([135, теорема 2.5]).
Пусть M — связная компактная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательныеокружности. Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fфункций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), см. определение 3.1.3 (т.е. у функций f ∈ Fнекоторые из критических точек могут быть отмечены, а некоторые закреплены). ПустьF1 ⊂ F — соответствующие пространства оснащенных функций Морса (см.
определение 3.2.2). Предположим, что выполнено неравенство (3.19), т.е. количество отмеченныхкритических точек превосходит χ(M ). Тогда:(A) Имеются гомотопические эквивалентности и гомеоморфизмfF ∼ F 1 ∼ F ∼ F1 ≈ D 0 × Mf(∼ RD 0 × M),где RD 0 – одно из многообразий RP 3 , S 1 , S 1 × S 1 и точка, см. (3.2).(B) Для любой функции Морса f ∈ F1 имеются гомотопические эквивалентности игомеоморфизм001 df[f ]top ∼ Forg−11 ([f ]top ) ≈ D × M[f ]top ∼ D × ((S ) /Γ[f ] )(∼ RD 0 × ((S 1 )d /Γ[f ] )),f[f ]top ⊂ Mf и (S 1 )d = (S 1 )d([f ]) – соответгде Forg1 : F1 → F1 – забывающее отображение, Mствующие (s([f ]) + 2q)-мерное подмногообразие и тор.Пусть k — поле (например, R, Q или Zp ).
Для топологического пространстварассмотPX∞рим его числа Бетти βj (X) := dimk Hj (X; k) и полином Пуанкаре P (X; t) := j=0 tj βj (X).Рассмотрим фильтрациюf≤−1 ⊂ Mf≤0 ⊂ . . . ⊂ Mf≤q−1 = Mf∅=Mf гдестратифицированного многообразия M,[f≤` :=f[f ]top =MMq−s([f ])≤`[f[f ]top .Mq−s([f ])≤`f[f ]top каждогоРассмотрим также индуцированную фильтрацию специальной окрестности Mf[f ]top в Mf (см. утверждение 3.4.4).страта MАналогично следствию 3.3.6 доказывается его аналог для стратифицированного многоf Отсюда и из теоремы 3.4.1 сразу получаем следующее следствие о гомологияхобразия M.пространства F функций Морса.Следствие 3.4.2 ([135, следствие 2.6], ср. следствие 3.3.6).
(A) Если количество pb + qb + rbотмеченных критических точек превосходит χ(M ), то βj (F) = 0 при любом j ≥ 3q + 2.(B) Пусть M̄ = S 2 (см. обозначение 3.1.4(B)), p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ≤ pb + qb + rb. Тогдаf состоит из конечногоD = D 0 ; стратифицированное 3q-мерное многообразие M := MГЛАВА 3.186ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАf[f ]top ; имеется гомотопическая эквивалентность F ∼ R × M, гдечисла стратов M[f ] := MR – одно из многообразий RP 3 , S 1 , S 1 и точка в зависимости от значения χ(M ) − (p∗ +q ∗ + r∗ ) = 2, 1, 0, −1; полином Пуанкаре многообразия M допускает верхнюю оценкуXXP (M; t) =tq−s(f ) P (M[f ] ; t) − (1 + t)R1 (t) =tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) − (1 + t)R(t)[f ]∈F1 /∼[f ]∈F1 /∼для некоторых многочленов R1 = R1 (t) и R2 = R2 (t) с целыми неотрицательными коэффициентами, R(t) = R1 (t) + R2 (t); другими словами, числа Бетти βj = βj (M) многообразияM удовлетворяют неравенствам Морса-Смейла:βj − βj−1 + βj−2 − βj−3 + .
. . ≤ qj − qj−1 + qj−2 − qj−3 + . . . ,Pjгде через ∞j=0 t qj обозначен любой из двух многочленовQ1 (t) :=Xtq−s(f ) P (M[f ] ; t),XQ2 (t) :=[f ]∈F1 /∼j ≥ 0,tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) ,[f ]∈F1 /∼так что Q2 (t) = Q1 (t) + (1 + t)R2 (t). В частности, справедливы неравенства Морса:χ(M) = (−1)q−1 [f ] ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 ,βj ≤ qj , j ≥ 0.(C) Пусть 0 ≤ q0∗ ≤ q ∗ , 0 ≤ q0∗ ≤ qb0 ≤ qb, и пусть пространствоF := Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ ;bq0 ;q0∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )состоит из функций Морса f ∈ Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ , для каждой из которых фиксированы оснащения у q0∗ фиксированных седловых точек и у q00 := qb0 − q0∗ отмеченных нефиксированных0седловых точек (ср.
с пространством F0num,fr (M, p, q) из теоремы 2.6.11(б)).Если qb0 > 0 (т.е. число qb0 седловых точек с фиксированным оснащением положительно),то существует гладкое стратифицированнное 3q-мерное многообразиеf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ;bq ;q∗M0 0e p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ;bq ;q∗с плоской аффинной связностью, содержащее комплекс K0 0оснащенных функций Морса из следствия 3.3.6 (C), для которого верны аналоги теоремf свободно.3.3.14 и 3.4.1, причем действие дискретной группы D/D 0 на многообразии M2∗∗∗Если qb0 > 0, M̄ = S (см. обозначение 3.1.4 (B)) и p + q + r ≤ χ(M ) + 1, то верныаналоги всех утверждений из п.(B) данного следствия.Если количество локальных минимумов равно p + |π0 (∂ − M )| = 1, число qb отмеченныхседловых точек равно числу седловых точек с фиксированным оснащением и равно qb0 = 1,и нет отмеченных точек локальных максимумов (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
