Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ниже (3.75), получаемI0,R , |Jk | (t) ≡ 1 при выполнении неравенства t ≥ Rk − ε:k |J |−1k|Jk ||Jk |−1−1RkRk|Jk |11=Rk · ≥=·== ε ≥ Rk − t.|Jk |3(2|J|−1)6|J|q+16|J|6(q+1)kkk3 |Jk |−1 + 1Следовательно, fc̄0 ≡ f¯ в M \ ∪Dyj ,Rk −ε , а потомуfc̄0 |f¯−1 [bck −ε;bck +ε] ≡ f¯|f¯−1 [bck −ε;bck +ε] ,(3.80)0 ≤ k ≤ s.Покажем, что fc̄0 ∈ F1 и (fc̄0 , ᾱ) ∈ F1 . Вне объединения кругов Dyj ,Rk имеем fc̄0 = f¯, апотому dfc̄0 ∧ ᾱ = df¯ ∧ ᾱ 6= 0 в силу (f¯, ᾱ) ∈ F1 . В каждом круге Dyj ,Rk имеем22002200ck )I0,Rk , q (u + v ) dv,dfc̄0 |Dyj ,Rk = 2u 1 − (cj − eck )I0,Rk , q (u + v ) du − 2v 1 + (cj − eq−1q−1 22200220qq (u + v )+v1+(c−ec)I(u+v)du∧dv.dfc̄0 ∧ᾱ|Dyj ,Rk = 4 u2 1 − (c0j − eck )I0,Rk 0,Rk ,jk,q−1q−1По свойству (3.75) функции Ia,b,v , имеем 0 ≤c̄0 ∈ 2 τ̄ , а c̄(f¯) является центром грани 2 τ̄ , тоqk|< q−1· q+1≤ |J|Jk |−1· q+1= |Jq+1.
Так|Jk ||Jk |k |−1k |−1|c0j −eck | ≤ |Jq+1. Поэтому |(c0j −eck )I 0 |Jk | q0,,0I0,Rqk , q−1q+1q+1как|<q+1 q−11. Следовательно, 2-форма dfc̄0 ∧ ᾱ отлична от нуля в проколотом круге Dyj ,Rk \ {yj } и задаеттам положительную ориентацию. Так как (f¯, ᾱ) ∈ F1 , а в окрестности любой критическойточки функции fe функция fc̄0 отличается от f¯ прибавлением константы, то fc̄0 ∈ F1 и (fc̄0 , ᾱ) ∈F1 .Лемма 3.4.5 доказана.f формулойОпределим “вычисляющее” отображение Ev : F1 → M∗Ev(f, α) := pX ([f ]top , h∗0f,f0 (c(f )), hf,f0 [α]),(f, α) ∈ F1 ,(3.81)где f0 ∈ F1 – отмеченная функция Морса класса топологической эквивалентности [f ]top ,hf,f0 ∈ D 0 – какой-нибудь диффеоморфизм, переводящий линии уровня функции f0 в линииуровня функции f с сохранением направления роста и нумерации отмеченных критических00∗11точек (см.
(3.72)), а h∗0f,f0 : Hf → Hf0 и hf,f0 : Hf → Hf0 – индуцированные изоморфизмы (см.(3.68), (3.69), (3.72)).ГЛАВА 3.197ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАfУтверждение 3.4.7 ([135, утверждение 4.3]). Вычисляющее отображение Ev : F1 → Mоднозначно, D 0 -инвариантно, непрерывно и индуцирует D ± /D 0 -эквивариантный гомеоморfфизм Ev : F1 /D 0 → M.Доказательство. Шаг 1. Проверим однозначность отображения Ev. Образ∗∗0∗∞efpX ([f ]top , h∗0f,f0 (c(f )), hf,f0 [α]) ∈ M точки ([f ]top , hf,f0 (c(f )), hf,f0 [α]) ∈ {[f ]top }×S[f ]top ×Uf ⊂ Xне зависит от выбора диффеоморфизма hf,f0 , так как для любого другого такого диффеоморфизма ehf,f0 в силу нашего критерия топологической эквивалентности функций Морса (см.0лемму 2.3.2 или [132, лемма 1]) выполнено eh−1f,f0 hf,f0 ∈ (stabD 0 f0 )(Diff (M, Cf0 )), а действиеefstгруппы (stabD 0 f0 )(Diff 0 (M, Cf0 )) на M[f0 ]top ≈ υ [f0 ]top ⊂ Y тривиально (см.
(3.70), (3.71)).Однозначность Ev доказана.Шаг 2. Докажем непрерывность отображения Ev в любой точке (f, α) ∈ F1 . Для оснащенной функции Морса (fe, αe) ∈ F1 , достаточно близкой к (f, α), рассмотрим близкий к idMдиффеоморфизм h ∈ D 0 , такой что h(Cf ) = Cfe, и упорядоченное разбиение J 0 J(c(f hf,f0 )),такое что J(c(fehhf,f0 )) = J 0 , откуда δJ 0 [f ]top = [fe]top , см. (3.72). Пусть g – отмеченная функция класса топологической эквивалентности [fe]top . ТогдаEv(fe, αe) = pX ([g]top , h∗0fehhf,f0 ,g(c(fehhf,f0 )), h∗fehhf,f0 ,g(3.82)[h∗f,f0 h∗ αe])∗∗∗∗∗ee= pX ([g]top , h∗0e]) = pX ([f ]top , h∗0e]),f0 ,J 0 (c(f hhf,f0 )), hf0 ,J 0 [hf,f0 h αf,f0 (c(f h)), hf,f0 [h αгде последнее равенство следует из того, что отображение инцидентности χf0 ,g индуцировано отображением hf0 ,J 0 ∈ hfehhf,f ,g (stabD 0 g)(Diff 0 (M, Cg )). Из C 0 -близости h к idM следует,00eчто 0-коцепь c(f h) ∈ Hf близка к c(f ) (ввиду C 2 -близости функции fe к f ), а класс относительных 1-когомологий [h∗ αe] ∈ Hf1 близок к [α] (ввиду C 0 -близости 1-формы αe к α внемалых окрестностей точек локальных минимумов и максимумов функции f , см.
определение топологии в пространстве F1 в §3.2.10 или [143, §4.2]). Поэтому точка Ev(fe, αe) близка∗0∗e → Mf :=к pX ([f ]top , hf,f0 (c(f )), hf,f0 [α]) = Ev(f, α) ввиду непрерывности проекции pX : Xe / ∼)/ ∼glue . Непрерывность Ev доказана.(XШаг 3. По построению отображение Ev является D 0 -инвариантным. Индуцированноеf непрерывно ввиду непрерывности отображения Ev.
Оноотображение Ev : F1 /D 0 → MD ± /D 0 -эквивариантно по построению. Покажем, что Ev биективно.Инъективность. Пусть Ev(f, α) = Ev(f1 , α1 ). Ввиду инъективности pY |Ye (см. утверждение3.4.4) выполнено [f ]top = [f1 ]top и имеется диффеоморфизм h1 ∈ D 0 , переводящий линииуровня функции f в линии уровня функции f1 с сохранением направления роста и такой, что0∗∗ ∗eh∗01 (c(f1 )) = c(f ) ∈ Hf и h1 [α1 ] ∈ Γ[f ]top [α].
Отсюда h2 h1 [α1 ] = [α] для некоторого h2 ∈ stabD 0 f(см. (3.70)). Поэтому для (f2 , α2 ) := (h1 h2 )∗ (f1 , α1 ) ∈ F1 выполнено Gf2 = Gf , c(f2 ) = c(f ),[α2 ] = [α].Покажем, что существует (единственный) диффеоморфизм h ∈ D, переводящий в себякаждое ориентированное ребро графа Gf и такой, что h∗ (f2 , α2 ) = (f, α). В малых окрестej каждой седловой точки yj ∈ Cf,1 в M рассмотрим локальные координаты u, vностях Uj , Uдля (f, α)|Uj и u2 , v2 для (f2 , α2 )|Uej как в определении 3.2.2. Без ограничения общности будемсчитать, что начальные отрезки вида {0 ≤ u = v ≤ ε} и {0 ≤ u2 = v2 ≤ ε2 } ребер графа Gf ,выходящих из вершины yj , совпадают (в противном случае заменим (u2 , v2 ) на (−u2 , −v2 )).e 0 в, быть может, меньшей окрестности U 0 ⊂ UjОпределим диффеоморфизм h|Uj0 : Uj0 → Ujj00∗ee000условием (u2 , v2 ) ◦ h|U = (u, v)|U , где U := h(U ) ⊂ Uj . Тогда h| 0 (f2 , α2 ) = (f, α)|U .
ПродолjjjjUjjжим этот диффеоморфизм на каждое ребро e` графа Gf условием (h|e` )∗ (α2 |e` ) = α|e` . Этовозможно, так как интегралы 1-форм α и α2 по ориентированному ребру e` равны. Продолжим этот диффеоморфим в малую окрестность V` куска e` \ (∪qj=1 Uj0 ) этого ребра условиемГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА198h|∗V` (f2 , α2 ) = (f, α)|V` , положим Ve` := h(V` ). На множестве Cf,0 ∪ Cf,2 точек локальных минимумов и максимумов определим h|Cf,0 ∪Cf,2 := idCf,0 ∪Cf,2 . Осталось продолжить построенноеотображение на открытое подмножество M \(Gf ∪Cf,0 ∪Cf,2 ) ⊂ M , являющееся дизъюнктнымобъединением кусков, каждый из которых гомеоморфен открытому или полуоткрытому цилиндру S 1 × (0; 1) и S 1 × [0; 1). Для каждого такого куска Z отображение h уже построено наZ \ Z ⊂ Gf ∪ Cf,0 ∪ Cf,2 . Пусть точка x ∈ Z ∩ Gf не является критической, и пусть окружностьγZ := Z ∩ (f −1 ( 12 (inf f |Z + sup f |Z ))) ориентирована как в обозначении 3.1.6.
Для любой точкиy ∈ Z рассмотрим гладкий путь γx,y : [0; 1] → Z из x в y, такой что γx,y ((0; 1)) ⊂ Z. ПоложимIZAZ,α :=α > 0,gZ,x,α (y) :=α ∈ R, y ∈ Z.γZγx,yТак как Z гомеоморфен открытому или полуоткрытому цилиндру и 1-форма α замкнута, тофункция gZ,x,α mod AZ,α : Z → R/AZ,α Z корректно определена, т.е. не зависит от выбора путиγx,y . По условию AZ,α = AZ,α2 .
Определим отображение h|Z условием (f2 , gZ,h(x),α2 mod AZ,α ) ◦h|Z = (f, gZ,x,α mod AZ,α ). Пусть e` ⊂ Gf – ребро, содержащее точку x. Нетрудно доказывается непрерывность отображения h|Z∪e` . Отсюда, с учетом равенства [α] = [α2 ] ∈ Hf1 , следуютнепрерывность и биективность отображения h|Z . То, что h|M \(Cf,0 ∪Cf,2 ) является диффеоморфизмом, следует из того, что следующие пары функций являются регулярными коордиe 0 ); пара функций (f, g` ) внатами: пара координат (u, v) в Uj0 (соответственно (u2 , v2 ) в UjV` (соответственно (f2 , ge` ) в Ve` ), где функции g` и ge` определены условиями dg` = α|V` иdeg` = α2 |Ve` ; пара функций (f2 , gZ,h(x),α2 mod AZ,α ) и (f, gZ,x,α mod AZ,α ) в Z. По построению(f, α) = h∗ (f2 , α2 ). То, что h является диффеоморфизмом в малой окрестности Wx любойточки x ∈ Cf,0 ∪ Cf,2 минимума или максимума, доказывается с помощью полярных координат, отвечающих регулярным координатам u, v для (f, α)|Wx (см.
определение 3.2.2), ианалогичных полярных координат для (f2 , α2 )|Wx .Так как диффеоморфизм h переводит в себя каждое ориентированное ребро графа Gf =Gf2 , причем h∗ [α2 ] = [α] = [α2 ] ∈ Uf∞ , то h ∈ Diff 0 (M, Cf ) ⊂ D 0 согласно лемме 3.3.10 (т.е.[134, лемма 3.4]). По доказанному (f, α) = h∗ (f2 , α2 ) = (h1 h2 h)∗ (f1 , α1 ) ∈ D 0 (f1 , α1 ) ∈ F1 /D 0 ,и инъективность доказана.e→Mf сюръективно ввиду сюръективности отобСюръективность. Отображение pX |Xe : Xe → Ye = X/e ∼ и pY | e : Ye → Mf (см.
утверждение 3.4.4). Поэтому достаточноражений XYe существует оснащенная функция Морсапоказать, что для любой точки ([f ]top , c0 , u) ∈ X(fe, αe) ∈ F1 , такая что pX ([f ]top , c0 , u) = Ev(fe, αe). Пусть f – отмеченная функция своего класса топологической эквивалентности. Из включений c0 ∈ Sf,J(c(f )) ⊂ Sf,J(c(f )) , u ∈ Uf∞ илеммы 3.4.5 получаем путь (fet , αe) := (ftc0 +(1−t)c(f ) , αf,u ) ∈ F1 в пространстве F1 оснащенныхфункций Морса, такой что Cfet = Cf , fe0 = f , c(fe1 ) = c0 и [eα] = u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
