Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Приведем доказательство следующей техническойлеммы, которое было опущено в [135].ГЛАВА 3.190ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАЛемма 3.4.5 ([135, лемма 4.2]). Для любой функции Морса f ∈ F1 существует гладкое3q-параметрическое семейство оснащенных функций Морса (fc0 , αf,u ) ∈ F1 с параметрами(c0 , u) ∈ Sf,J(c(f )) × Uf∞ , такое что fc(f ) = f , Cfc0 = Cf , c(fc0 ) = c0 , [αf,u ] = u ∈ Hf1 .Определение 3.4.6. Сепаратрисой оснащенной функции Морса (f, α) назовем образ такойинтегральной траектории γ : (0, 1) → M \ Cf поля ядер 1-формы α, что оба предела lim+ γ(t)t→0и lim− γ(t) существуют, принадлежат Cf ∪ ∂M , и хотя бы один из этих пределов являетсяt→1седловой точкой. Объединение замыканий всех сепаратрис будем называть сепаратриснойдиаграммой оснащенной функции Морса (f, α).Кусочно-гладкий путь γ = γ(t) на M \(Cf,0 ∪Cf,2 ) назовем (f, α)-монотонным, если каждаяиз кусочно-непрерывных функций iγ̇ df и iγ̇ α не меняет знак, т.е.
всюду неположительна иливсюду неотрицательна, на γ.Доказательство леммы 3.4.5. Рассмотрим любую функцию Морса f ∈ F1 . ОбозначимJ := J(c̄(f )) = (J1 , . . . , Js ),τ := τJq−s ,Jk = {jrk−1 +1 , . . . , jrk }, 1 ≤ k ≤ s,см. (2.21), т.е. τ — это (q − s)-мерная грань пермутоэдра Pq−1 ⊂ Hf0 ∼= Rq порядка q, отвечающая упорядоченному разбиению J множества Cf,1 седловых точек функции f .
Напомним,что1 ≤ r1 < . . . < rs−1 < rs = q.Определим такжеr0 := 0,j0 := 0,c0 := −1,rs+1 := q + 1,jq+1 := q + 1,cq+1 := 1.Проведем построение части искомого параметрического семейства оснащенных функцийq−s(fc0 , αf,u ) ∈ F1 , отвечающей подмножеству значений параметров (c0 , u) ∈ τ̄J(c̄(f)) × Uf ⊂∞Sf,J(c(f )) × Uf .
Искомое семейство целиком строится аналогично. Проведем построение указанной части семейства в несколько шагов.Шаг 0. Здесь строится трехпараметрическое семейство функций Ia,b,v [143, формула (20)],аналогичное двупараметрическому семейству функций Ia,b из (3.5). ПоложимZv+1 tI0,1,v (t) :=I0, v−1 (u) − I 2 ,1 (u) du,v, t ∈ R, 1 < v ≤ 3,v+1v+120I0,1,v (t) := I0,1,3 (t), 3 < v ≤ ∞,t−a,a, b, v, t ∈ R, a < b, 1 < v ≤ ∞.(3.74)Ia,b,v (t) := I0,1,vb−a2Так как при 1 < v ≤ 3 имеем v−1≤ 12 ≤ v+1< 1, то подынтегральная функция из выраженияv+10для I0,1,v всюду неотрицательна и не превосходит 1, а потому всюду 0 ≤ I0,1,v(t) ≤ v+1< v.2Значит,v00 ≤ Ia,b,v(t) <, a < b, 1 < v ≤ ∞.(3.75)b−av−1К тому же, для любого v ∈ (1; 3] имеем I0,1,v (t) ≡ 0 при t ≤ 3(v+1)и I0,1,v (t) ≡ 1 при t ≥v−1v−1v−11 − 3(v+1) , а значит, Ia,b,v (t) ≡ 0 при t ≤ a + 3(v+1) (b − a) и I0,1,v (t) ≡ 1 при t ≥ b − 3(v+1)(b − a).1Шаг 1.
Построим функцию Морса f¯ ∈ F ∩ [f ]top , для которой c̄(f¯) лежит в центре грани2τ (т.е. седловые критические значения функции f¯ суть eck , 1 ≤ k ≤ s, определяемые ниже).q+1Определимbck := −1 +Положим2rk + 1,q+1t0 := 0,0 ≤ k ≤ s,tk := eck − cjrk (f ),eck :=bck−1 + bck,21 ≤ k ≤ s,1 ≤ k ≤ s.ts+1 := 0.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА191Определим функцию h = hc̄(f ) : [−1; 1] → [−1; 1] формулойh(t) = hc̄(f ) (t) := t +sX(tk+1 − tk )Icjrk(f ),cjrk+1(f ),v (t),−1 ≤ t ≤ 1,(3.76)k=0(cjrk+1 (f ) − cjrk (f )), а функция Ia,b,v определена как в (3.74).
Тогда h(cjrk (f )) =tk − tk+1cjrk (f ) + tk = eck и h0 ≡ 1 в некоторой окрестности точки t = cjrk (f ), 1 ≤ k ≤ s. Кроме того,vиз свойства (3.75) функции Ia,b,v следует, что 0 ≤ Ic0 jr (f ),cjr (f ),v < cj. Значит, вrk+1 (f )−cjrk (f )kk+1случае tk > tk+1 имеемv≥ −1.(tk+1 − tk )Ic0 jr (f ),cjr (f ),v > −(tk − tk+1 )kk+1cjrk+1 (f ) − cjrk (f )где v :=mink: tk >tk+1Отсюда следует, что h0 > 0 всюду на [−1; 1], т.е. h является диффеоморфизмом отрезка[−1; 1]. Положимf¯ := hc̄(f ) ◦ f.(3.77)221 ¯¯¯Очевидно, f ∈ F , f ∼top f и c̄(f ) является центром грани q+1 τ многогранника q+1 Pq−1 .Очевидно, f¯ = f¯ и седловые критические значения функции f¯ суть eck , 1 ≤ k ≤ s.Шаг 2.
На этом шаге, для каждого относительного коцикла u ∈ Uf мы построим такоеоснащение αf,u функций Морса f и f¯, что [αf,u ] = u, (f¯, αf,u ), (f, αf,u ) ∈ F1 .Рассмотрим оснащение α функции Морса f¯, определяемое условием (f¯, α) = p2 ◦i1 (f¯) ∈ F1 ,где i1 , p2 — отображения, построенные в [143, §7 и §9.1]. Положимε :=1.6(q + 1)Пусть, для каждой точки wi ∈ Cf,0 минимума (соответственно точки wi ∈ Cf,2 максимума)5Di — компонента связности точки wi в множестве f¯−1 [−1; −1 + 6(q+1)) = f¯−1 [−1; bc0 − ε) (соот5cs + ε; 1]). Поверхность (M \ ∪Di ) \ Gf является несвязнымветственно f¯−1 (1 − 6(q+1) ; 1] = f¯−1 (bобъединением открытых цилиндров Z1 , .
. . , Zϑ и полуоткрытых цилиндров Ž1 , . . . , ŽN , гдеN := d+ + d− + p + r — количество полуоткрытых цилиндров, согласно обозначениям в §3.2.3.Напомним, что число седловых точек q ≥ 1. Будем строить 1-форму αf,u на каждойповерхностиMk := f¯−1 [−1; bck − ε], 1 ≤ k ≤ s,Ms+1 := M,индукцией по k.• Построим αf,u на Mk при k = 1. На D̄i ⊂ M1 определим 1-форму αf,u равной произ1ведению 1-формы 2πα на положительное числоu(∂Di ), равное значению коцикла u наRориентированной окружности ∂Di .
Тогда ∂Di αf,u = u(∂Di ) ≥ 1. Для каждой точкиминимума wi рассмотрим замкнутый цилиндр Z, являющийся компонентой связностиокружности ∂Di в поверхности f¯−1 [bc0 − ε; bc0 + ε]. Из определения оснащения функций¯f, f следует, что существует гладкая регулярная кривая, выходящая из точки минимума wi и касающаяся касательной прямой ξi в этой точке, а при t > 0 лежащая в D̄i \{wi }и являющаяся линией поля ядер 1-формы α|D̄i \{wi } .
Продолжим эту линию поля ядер1-формы αf,u до первой точки пересечения x с окружностью ∂Di . Рассмотрим метрику2на окружности ∂Di , являющуюся ограничением αf,uна касательное расслоение к ∂Di .Введем на ориентированной окружности ∂Di натуральный параметр g ∈ R, для которого точке x соответствуют значения параметра g = 0 и g = n · u(∂Di ), n ∈ Z. Рассмотримна цилиндре Z параметры f¯, g, где bc0 −ε ≤ f¯ ≤ bc0 +ε, g ∈ R, в которых g постоянна вдольлиний поля ядер 1-формы α и является продолжением построенного выше g на ∂Di . Приограничении значения параметра g на любой отрезок длины менее u(∂Di ), получаемГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА192локальные координаты на цилиндре Z.
Пусть цилиндр Žm – единственный полуоткрытый цилиндр, содержащий цилиндр Z и являющийся связной компонентой поверхности(M \ Gf ) ∩ f¯−1 [bc0 − ε; 1]. Рассмотрим на верхнем основании ∂ + Z цилиндра Z точки пересечения окружности ∂ + Z с сепаратрисами седловых точек из Žm . Пусть эти концысепаратрис имеют координаты (bc0 + ε, g1 ), . . . , (bc0 + ε, gν ), 0 ≤ g1 < .
. . < gν < u(∂Di ).Обозначим соответствующие ориентированные (в направлении роста f ) отрезки сепаратрис в Z через I1 , . . . , Iν ⊂ Z. Положим gν+1 := g1 + u(∂Di ) и Iν+1 := I1 . Обозначимчерез Ibϑ ориентированный путь в Z между седловыми точками, полученный последовательным прохождением трех отрезков Iϑ , {bc0 +ε}×[gϑ ; gϑ+1 ] ⊂ ∂ + Z и Iϑ+1 , где последнийотрезок проходится в направлении, противоположном его ориентации. Зададим ограничение 1-формы αf,u на касательное расслоение к каждой окружности Z ∩ {f¯ = c},c ∈ [bc0 − ε; bc0 + ε]}, в координатах f¯, g формулой¯α |+c0 −ε,bc0 +ε,v (f ))αf,u |(bf¯=const}) = (1 − Ib c0 −ε,g) f,u T(f¯,g) (Z∩{Z gϑ+1 α dIgϑ ,gϑ+1 (g) = (1 − Ibc0 −ε,bc0 +ε,v (f¯))dg++Ibc0 −ε,bc0 +ε,v (f¯) α|(bc0 +ε,g) + u(Ibϑ ) − gϑ2π2π¯b+Ibc0 −ε,bc0 +ε,v (f )dg + u(Iϑ ) −(gϑ+1 − gϑ ) dIgϑ ,gϑ+1 (g) ,u(∂Di )u(∂Di )g ∈ [gϑ ; gϑ+1 ], где 1 ≤ ϑ ≤ ν,()12π 1 ≤ ϑ ≤ q, u(Ibϑ ) <v := min(gϑ+1 − gϑ ) ,u(∂Di )1 − u(Ibϑ ) u(∂Di )2πили v := 2 если последний минимум берется по пустому множеству.
Покажем, чтоопределенная таким образом форма αf,u |T (∂ + Z) всюду отлична от нуля на окружности∂ + Z и задает на ней положительную ориентацию. Так как2π2πbdg + u(Iϑ ) −(gϑ+1 − gϑ ) dIgϑ ,gϑ+1 (g),αf,u |T(bc0 +ε,g) (∂ + Z) =u(∂Di )u(∂Di )g ∈ [gϑ ; gϑ+1 ], то при u(Ibϑ ) ≥ 2π (gϑ+1 − gϑ ), очевидно, αf,u |T(∂ + Z) пропорциональu(∂Di )(bc0 +ε,g)2πна dg|T(bc0 +ε,g) (∂ + Z) с положительным коэффициентом. При u(Ibϑ ) < u(∂D(gϑ+1 − gϑ ), изi)свойств функции Ia,b,v получаем, что коэффициент пропорциональности равен2π2πb+ u(Iϑ ) −(gϑ+1 − gϑ ) Ig0 ϑ ,gϑ+1 (g) >u(∂Di )u(∂D)iv2π2πb>+ u(Iϑ ) −(gϑ+1 − gϑ )u(∂Di )gϑ+1 − gϑu(∂Di )2π2π1≥+ u(Ibϑ ) −(gϑ+1 − gϑ )≥ 1.i)u(∂Di )u(∂Di )(gϑ+1 − gϑ )(1 − u(Ibϑ ) u(∂D)2πФорму αf,u |Z зададим ограничением на касательное расслоение к каждой окружностиZ ∩ {f¯ = c}, c ∈ [bc0 − ε; bc0 + ε], условием замкнутости, а также условием, что отрезок[bc0 − ε; bc0 + ε] × {0} является линией поля ядер 1-формы αf,u |Z .На каждой ориентированной окружности Si края ∂ − M зафиксируем точку si .
Пустьтеперь замкнутый цилиндр Z — компонента связности окружности Si в поверхности f¯−1 [−1; bc0 + ε]. На касательном расслоении к окружности Si положим αf,u |T Si :=u(SR i ) α|T Si . Продолжим 1-форму αf,u |T Si до 1-формы на всем цилиндре Z аналогичноSi αописанномувыше построению в цилиндре возле точки минимума, используя вместоточки x точку si .Мы задали форму αf,u |f¯−1 [−1;bc0 +ε] . Доопределим эту форму на множестве f¯−1 [−1; bc1 − ε]условием αf,u |f¯−1 [−1;bc1 −ε] |f¯−1 [−1;bc0 +ε] = αf,u |f¯−1 [−1;bc0 +ε] , условием замкнутости 1–формыαf,u |f¯−1 [−1;bc1 −ε] и условием совпадения на f¯−1 [bc0 + ε; bc1 − ε] поля ядер 1-формы αf,u сполем ядер 1-формы α.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА193• Пусть форма αf,u построена на Mk−1 для некоторого k ∈ N, 2 ≤ k ≤ s.
Будем продолжать ее на Mk . Пусть Z — цилиндр, являющийся связной компонентой поверхности f¯−1 [bck−1 − ε; bck−1 + ε] ⊂ Mk \ Mk−1 . Предположим, что либо на нижнем основа−нии ∂ Z цилиндра Z нет концов сепаратрис 1-формы α, идущих из седловых точекна f¯−1 [−1; bck−1 ), либо на верхнем основании ∂ + Z цилиндра Z нет концов сепаратрис,идущих в седла с критическими значениями, превосходящими bck−1 . Тогда продолжим1-форму αf,u на Z условиями совпадения αf,u |Z и αf,u |Mk−1 на нижнем основании ∂ − Zцилиндра Z и совпадения полей ядер 1-формы αf,u |Z и 1-формы α|Z .Предположим теперь, что на ∂ − Z есть концы сепаратрис, идущих из седловых точек намножестве f¯−1 [−1; bck−1 ), и на ∂ + Z есть концы сепаратрис, идущих в седла с критическими значениями, превосходящими bck−1 . Рассмотрим на окружности ∂ − Z точку ∂ + I − ,−являющуюся концом отрезка I сепаратрисы, идущей из какой-нибудь седловой точкина f¯−1 (0; bck−1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
