Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть цилиндр Zm — единственный открытый цилиндр, содержащийцилиндр Z и являющийся связной компонентой поверхности M \ Gf . Рассмотрим наверхнем основании ∂ + Z цилиндра Z точку ∂ − I + , являющуюся концом отрезка I + сепаратрисы, идущей в какую-нибудь седловую точку на ∂ + Zm . Пусть ориентированныйпуть e из точки ∂ + I − в точку ∂ − I + составлен из двух простых путей, первый из которых идет из точки ∂ + I − вдоль поля ядер 1-формы α до окружности ∂ + Z, а второй — внаправлении ориентации окружности ∂ + Z до точки ∂ − I + . Рассмотрим на ∂ − Z ориентированный αf,u -монотонный путь eb, идущий из точки ∂ + I − и такой, что интеграл формыαf,u вдоль этого пути равен u(I − · e · I + ). Пусть точка x — конечная точка этого пути.Как и на первом шаге индукции (при k = 1), введем на ориентированной окружности∂ − Z натуральный параметр g ∈ R относительно метрики αf,u |2T (∂ − Z) , для которого точке x соответствуют значения параметра g = 0 и g = n · u(∂ − Z), n ∈ Z.
Рассмотрим нацилиндре Z параметры f¯, g, где bck−1 − ε ≤ f¯ ≤ bck−1 + ε, g ∈ R, в которых g постояннавдоль линий поля ядер формы α и является продолжением построенного выше g на∂ − Z. При ограничении значения параметра g на любой отрезок длины менее u(∂ − Z)получаем локальные координаты на цилиндре Z. Зададим ограничение формы αf,u накасательное расслоение к каждой окружности {f = c}, c ∈ [bck−1 −ε; bck−1 +ε] так же, как−1на первом шаге индукции (с заменой bc0 на bck−1 ). Пусть ∆g(be · e) — полное изменениепараметра g при последовательном прохождении всего пути eb от точки x к точке ∂ + I − ,в направлении обратном ориентации на eb, и пути e от ∂ + I − к ∂ − I + . Рассмотрим кривуюg = gx (f¯) := ∆g(be−1 · e)Ibck−1 −ε,bck−1 +ε (f¯), f¯ ∈ [bck−1 − ε; bck−1 + ε], где функция Ia,b (t) на [a; b]определяется как в (3.5).
Форму αf,u |Z зададим ограничением на касательное расслоение к каждой окружности Z ∩ {f = c}, c ∈ [bck−1 − ε; bck−1 + ε], условием замкнутостина всем Z, а также условием, что кривая {(f¯, gx (f¯)) | f¯ ∈ [bck−1 − ε; bck−1 + ε]} являетсялинией поля ядер 1-формы αf,u |Z .Мы задали форму αf,u |f¯−1 [−1;bck−1 +ε] . Доопределим эту форму на множестве f¯−1 [−1; bck −ε] условиями αf,u |f¯−1 [−1;bck −ε] |f¯−1 [−1;bck−1 +ε] = αf,u |f¯−1 [−1;bck−1 +ε] , замкнутости 1–формыαf,u |f¯−1 [−1;bck −ε] и условием совпадения на f¯−1 [bck−1 + ε; bck − ε] поля ядер 1-формы αf,u сполем ядер 1-формы α.• Пусть k = s+1, и 1-форма αf,u построена на Ms .
Будем продолжать ее в M . Поверхностьe i , содержащих точf¯−1 [bcs − ε; 1] является несвязным объединением замкнутых кругов Dки максимума wi , и замкнутых цилиндров. На каждом цилиндре продолжим 1-формуαf,u с нижнего основания цилиндра условиями замкнутости и совпадения поля ядерei1-формы αf,u с полем ядер 1-формы α на этом цилиндре. На каждом диске D̄i ⊂ DRu(∂D)iопределим 1-форму αf,u равной R α α.
Тогда ∂Di αf,u = u(∂Di ) ≥ 1.∂DiГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА194e i \ Di ⊂Осталось продолжить форму αf,u внутрь каждого замкнутого цилиндра Z := D−1¯f [bcs − ε; bcs + ε]. Аналогично случаю k = 1, см. выше, рассмотрим гладкую регулярную кривую, выходящую из точки максимума wi и касающуюся касательной прямой ξiв этой точке, которая при t > 0 лежит в D̄i \{wi } и является линией поля ядер 1-формыα|D̄i \{wi } . Продолжим эту линию поля ядер 1-формы αf,u до первой точки x пересеченияe i . Рассмотрим метрику на окружности ∂ De i , являющуюся ограничес окружностью ∂ D2eнием αf,u на касательное расслоение к ∂ Di .
Введем на ориентированной окружностиe i натуральный параметр g ∈ R, для которого точке x соответствуют значения пара∂Dметра g = 0 и g = n · u(∂Di ), n ∈ Z. Рассмотрим на цилиндре Z параметры f¯, g, гдеbcs − ε ≤ f¯ ≤ bcs + ε, g ∈ R, в которых g постоянна вдоль линий поля ядер формы αe i . При ограничениии является продолжением построенного выше g на окружности ∂ Dзначения параметра g на любой отрезок длины менее u(∂Di ), получаем локальные координаты на цилиндре Z. Зададим ограничение формы αf,u на касательное расслоениек каждой окружности Z ∩ {f¯ = c}, c ∈ [bcs − ε; bcs + ε]} формулойαf,u |T(f¯,g) (Z∩{f¯=c}) := (1 − Ibcs −ε,bcs +ε (f¯))αf,u |(bcs −ε,g) + Ibcs −ε,bcs +ε (f¯)αf,u |(bcs +ε,g)= (1 − Ibcs −ε,bcs +ε (f¯))dg + Ibcs −ε,bcs +ε (f¯)a0 (g)dg,Rгде a(g) := {bcs +ε}×[0;g] αf,u |∂Di , g ∈ [0; u(∂Di )].f¯ ∈ [bcs − ε, bcs + ε], g ∈ [0; u(∂Di )],Из построения 1-формыαf,u следует, что ее интеграл по любому ориентированному ребруRei графа Gf равен ei αf,u = u(ei ).
Отсюда следует, что [αf,u ] = u.Покажем, что (f¯, αf,u ), (f, αf,u ) ∈ F1 . Так как (f¯, α) ∈ F1 , причем αf,u ≡ α в малых окрестностях критических точек, и 1-формы αf,u и α отличаются положительным множителем,зависящим от точки на M , то (f¯, αf,u ) ∈ F1 . С учетом равенств f¯ = hc̄(f ) ◦ f , и h0c̄(f ) ≡ 1 вокрестности множества {−1, 1} ∪ {c1 (f ), .
. . , cq (f )}, получаем (f, αf,u ) ∈ F1 .Шаг 3. Пусть, как и на шагах 1 и 2, функция f¯ ∈ F1 построена по исходной функции f ∈ F1как на шаге 1. Пусть u0 ∈ Uf , положим ᾱ := αf,2u0 . Согласно шагу 2, имеем (f¯, ᾱ) ∈ F1 . БолееRтого, интеграл 1-формы ᾱ по любому ориентированному ребру ei графа Gf = Gf¯ равенᾱ = 2u0 (ei ) ≥ 2.
Построим непрерывное отображениеei2 q−s2→ F1 ,τ̄ =τ̄q+1q + 1 J(c̄(f ))c̄0 7→ fc̄0 ,2со свойствами fc̄(f¯) = f¯, c̄(fc̄0 ) = c̄0 и (fc̄0 , ᾱ) ∈ F1 для любой точки c̄0 ∈ q+1τ̄ .Положим|Jk |rk − rk−1Rk :==< 1, 1 ≤ k ≤ s.q+1q+1Для каждой седловой точки yj = yj (f ) = yj (f¯) ∈ Cf,1 определим k ∈ [1; s] условием j ∈ Jk ирассмотрим открытую круговую окрестность Dyj ,Rk точки yj радиуса Rk в смысле расстоянияρf¯,ᾱ , см.
§3.2.5.Покажем, что Rk ≤ ε3,j (f¯, ᾱ) при j ∈ Jk , где число ε3,j (f¯, ᾱ) определено как в (3.17). Дляcj , Rk ≤ ecj +1,этого достаточно показать, что Rk ≤ dj1 ,j при j1 6= j, и что Rk ≤ 12 dj,j , Rk ≤ 1 −e¯где числа dj1 ,j определены для оснащенной функции (f , ᾱ) как в (3.17). Одновременно мыпокажем, что открытые круги Dyj ,Rk попарно не пересекаются. Заметим, что rk − rk−12rk + 1rk + rk−1 + 1Rk == −1 +− −1 +=bck − eck ,q+1q+1q+1 rk − rk−1rk + rk−1 + 12rk−1 + 1Rk == −1 +− −1 +=eck − bck−1 ,q+1q+1q+1rk + rk−1 + 1rk − rk−1eck + 1 = −1 ++1>= Rk ,q+1q+1ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАrk + rk−1 + 12rk + 1 rk + rk−1 + 1rk − rk−11−eck = 1 − −1 +>−== Rk .q+1q+1q+1q+1Поэтому открытые круги Dyj ,Rk содержатся в поверхностяхck := f¯−1 [bMck−1 ; bck ],1951 ≤ k ≤ s,и не пересекают ∂M .
В частности, пары открытых кругов Dyj ,Rk с различными k не пересекаются и не содержат точек ∂M , а потому Rk ≤ dj1 ,j при j ∈ Jk и j1 6∈ Jk , Rk ≤ 1 − ecj иRk ≤ ecj + 1 при j ∈ Jk .Для любой оснащенной функции Морса (f, α) ∈ F1 со свойством [α] ∈ Uf введем следующие обозначения (i) и (ii):ck , 1 ≤ k ≤ s, и обозначим через Sk ⊂ Mck(i) Рассмотрим указанные выше поверхности Mсепаратрисную диаграмму оснащенной функции Морса (f |Mck , α|Mck ), см. определение 3.4.6.ck на окружности и 2(rk −Граничные точки сепаратрисной диаграммы разделят кривую ∂ − Mrk−1 ) ориентированных интервалов I2rk−1 +1 , . . .
, I2rk . Так как эти интервалы являются (f, α)монотонными и [α] ∈ Uf , то по определению (3.31) подмножества Uf ⊂ Hf1 интеграл формыα по каждому из интервалов I` не меньше, чем 1:Z|I` | :=α ≥ 1, 1 ≤ ` ≤ 2q.(3.78)I`(ii) Рассмотрим поверхностьck ,M̌k ⊂ Mck выкидыванием связных компонент, не содержащих ни одполученную из поверхности Mной критической точки. Покажем, что M̌k \ Sk является несвязным объединением множеств,гомеоморфных полуоткрытым прямоугольникам [bck−1 ; bck ] × (0; |I` |), 2rk−1 + 1 ≤ ` ≤ 2rk . Рассмотрим каноническую проекциюck \ Sk → (∂ − Mck ) ∩ M̌k \ Sk ,pk : Mck \ Sk точку, лежащую на той же линии полясопоставляющую каждой точке поверхности Mядер формы α.
Для каждого ` ∈ [2rk−1 + 1; 2rk ] обозначим начальную точку ориентированного интервала I` через ∂ − I` . Каждой точке (a, b) прямоугольника [bck−1 ; bck ] × (0; |I` |) сопоR p (x)−1ставим единственную точку x множества pk (I` ), для которой f (x) = a и ∂ −k I` α = b. Изтеории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной независимости 1-форм dfck \ Sk следует, что это сопоставление является диффеомори α в каждой точке множества M−1физмом на pk (I` ). Значит, a, b являются координатами на p−1k (I` ), и принимают значения вполуоткрытом прямоугольнике [bck−1 ; bck ] × (0; |I` |).
Таким образом, вся поверхность M̌k \ Skявляется несвязным объединением2rkGp−1(3.79)k (I` )`=2rk−1−1pk (I` ).полуоткрытых прямоугольниковПокажем теперь, что при различных j, j1 ∈ Jk открытые круги Dyj ,Rk и Dyj1 ,Rk не пересекаются, т.е. 2Rk ≤ dj1 ,j . Предположим противное, т.е. ρf¯,ᾱ (yj , yj1 ) = dj1 ,j < 2Rk . ТогдаR pсуществует путь γ : [0; 1] → M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) от yj до yj1 длины γ df¯2 + ᾱ2 < 2Rk . Знаck .
Отсюда следует, что ограничение пути γ начит, путь γ проходит в Dyj ,Rk ∪ Dyj1 ,Rk ⊂ Mнекоторый отрезок [a; b] ⊂ [0; 1] целиком проходит в некотором замкнутом прямоугольнике p−1ck−1 ; bck ] × [0; |Iϑ |], 2rk−1 + 1 ≤ ϑ ≤ 2rk , и соединяет края [bck−1 ; bck ] × {0} иk (Iϑ ) = [b[bck−1 ; bck ] × {|Iϑ |} этого прямоугольника (здесь прямоугольник строится по оснащенной функции Морса (f¯, ᾱ) аналогично построению прямоугольника в (3.79) по оснащенной функцииМорса (f, α) ∈ F1 , [α] ∈ Uf ).
ПоэтомуZ qZZ22¯df + ᾱ ≥ |ᾱ| ≥ᾱ = 2u0 (eϑ ) ≥ 2 > 2Rk ,γγeϑГЛАВА 3.196ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАсм. начало шага 3. Это противоречит нашему предположению. Следовательно, открытыекруги Dyj ,Rk попарно не пересекаются и Rk ≤ ε3,j (f¯, ᾱ) при j ∈ Jk . Неравенство 2Rk ≤ dj,jдоказывается аналогично неравенству 2Rk ≤ dj,j1 для различных j, j1 ∈ Jk рассмотрениемнестягиваемого пути γ : [0; 1] → M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ).Значит, по лемме 3.2.20, в каждом круге Dyj ,Rk имеются координаты u, v, определенныеоднозначно с точностью до преобразования (u, v) 7→ (−u, −v), в которыхf¯|Dyj ,Rk (u, v) ≡ u2 − v 2 + eck , ᾱ|Dyj ,Rk (u, v) ≡ d(2uv), Dyj ,Rk = u2 + v 2 < Rk .2τ̄ определим на M функцию fc̄0 , равную f¯ вДля любой точки c̄0 = (c01 , .
. . , c0q ) ∈ q+1M \ ∪Dyj ,Rk , а в каждом круге Dyj ,Rk определенную формулой022¯fc̄0 |Dyj ,Rk (u, v) := f |Dyj ,Rk (u, v) + (cj − eck ) 1 − I0,R , |Jk | (u + v ) , u2 + v 2 < Rk .k |J |−1kck , откуда fc̄0 |Dyj ,Rk ≡ f¯|Dyj ,Rk , поэтомуВ частности, при |Jk | = 1 имеем c0j = e¯cfc̄0 |Mck ≡ f |Mkпри |Jk | = 1.k|При |Jk | ≥ 2 имеем |J|Jk |−1∈ (1; 2], поэтому из свойств функции Ia,b,v , см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
