Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 70
Текст из файла (страница 70)
. , q} ее седловых критических точек (см. определение 3.5.1 (A) и замечание 3.1.7) и евклидово векторноепространство 0-коцепейHf0 := C 0 (Cf,1 ; R) = RCf,1 ∼= Rq .Возьмем в пространстве Hf0 многогранник Pfq−1 ⊂ Hf0 , являющийся образом пермутоэдраPq−1 ⊂ Rq при какой-либо биекции Cf,1 → {1, . . . , q}. Рассмотрим “вычисляющую” 0-коцепьc = c(f ) := f |Cf,1 = (c1 , .
. . , cq ) ∈ (−1; 1)Cf,1 ⊂ Hf0 ,сопоставляющую седловой точке yj ∈ Cf,1 значение cj := f (yj ), 1 ≤ j ≤ q. Сопоставим 0коцепи c = (c1 , . . . , cq ) упорядоченное разбиение J = J(c) = (J1 , . . . , Js ) множества седелCf,1 ≈ {1, . . . , q}, определяемое условием (2.21) и соотношениями cρ1 = . . . = cρr1 < cρr1 +1 =. .
. = cρr2 < . . . < cρrs−1 +1 = . . . = cρrs . (То есть J отвечает отношению частичного порядка намножестве седел Cf,1 , построенному по значениям функции f |Cf,1 .)Определение 3.5.3 (специальные оснащенные функции Морса). (A) Сепаратрисой оснащенной функции Морса (f, α) ∈ F назовем образ такой интегральной траектории γ : (0, 1) →M \ Cf поля ядер 1-формы α, для которой оба предела limt→0+ γ(t) и limt→1− γ(t) существуют,принадлежат множеству Cf и хотя бы один из них является седловой точкой.(B) Оснащенную функцию Морса (f, α) ∈ F1 назовем специальной, если либо q = 0 (т.е.у функций из F отсутствуют седловые критические точки), либо выполнены следующиеусловия:2(i) набор c(f ) ∈ Hf0 седловых критических значений принадлежит многограннику q+1Pq−1f ;◦q+1(ii) пусть τ — открытая грань многогранника Pq−1f , содержащая точку 2 c(f ), и пусть J =(J1 , .
. . , Js ) — соответствующее упорядоченное разбиение множества седел Cf,1 на непустыеподмножества, т.е. τ = τJq−s ; тогда для любых двух седел yi , yj ∈ Cf,1 из одного и того жеподмножества Jk разбиения (1 ≤ k ≤ s) не существует сепаратрисы, соединяющей yi и yj .Пусть F0 := F0p,q,r (M ) — пространство специальных оснащенных функций Морса.Группа диффеоморфизмов D ± := Diff(M, ∂ + M, ∂ − M ) действует справа на пространствеF1 очевидным образом (см.
обозначения 3.1.4 и 3.2.3, т.е. [143, обозначение 2.3]). Очевиднотакже, что F0 является D ± -инвариантным.Теорема 3.5.4 ([136, теорема 1]). Пусть F = Fp,q,r (M ) — пространство функций Морсана замкнутой связной ориентированной поверхности M , и F0 ⊂ F1 — соответствующиепространства оснащенных функций Морса (определения 3.5.1, 3.2.2 и 3.5.3).
Тогда отображение включения i4 : F0 ,→ F1 является гомотопической эквивалентностью, причем соответствующие отображения и гомотопии могут быть выбраны D ± -эквивариантными исохраняющими отображение F1 → M p+q+r /Σp+q+r , (f, α) 7→ Cf .3.5.2Гомотопическая эквивалентность i4 : F0 ,→ F1Здесь доказывается теорема 3.5.4.Предположим, что число седел q ≥ 1.
Фиксируем вещественное число κ > 0. Так какq−1; q−1]q , то κPq−1 ⊂ (− qκ; qκ)q . Рассмотрим отображениеP⊂ [− q−12222πκ : Rq → κPq−1 ,переводящее любую точку c ∈ Rq в такую точку c0 ∈ κPq−1 , что |c − c0 | ≤ |c − c00 | для любойточки c00 ∈ κPq−1 . В силу выпуклости пермутоэдра Pq−1 , такое отображение единственно.Фиксируем оснащенную функцию Морса (f, α) ∈ F1 . Выберем какую-нибудь нумерациюq−1Cf,1 ≈ {1, . . . , q} множества седловых точек и с ее помощью отождествим Hf0 ∼= Rq и Pf ∼=q−1q−1q−100 ∼q πκq−1 ∼P .
Пусть πκ,f : Hf → κPf — композиция Hf = R −→ κP= κPf . Рассмотрим наГЛАВА 3.205ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАM \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) гладкое поле неотрицательно определенных в каждой точке квадратичныхформ (df )2 +α2 . Как и в случае римановых метрик, этому полю квадратичных форм отвечаетфункция длины L(γ) регулярных кусочно-гладких путей γ на M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ). Определимрасстояние ρ(x, y) = ρf,α (x, y) := inf(L(γ)), x, y ∈ M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), где нижняя грань беретсяпо регулярным кусочно-гладким путям γ на поверхности M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) из x в y. Определимвещественное число dj1 ,j2 = dj2 ,j1 равным расстоянию ρf,α (yj1 , yj2 ) между седловыми точкамиyj1 и yj2 при 1 ≤ j1 < j2 ≤ q.
Пусть c(f ) = (c1 , . . . , cq ) ∈ (−1; 1)q — набор седловых значений.Аналогично формуле для числа ε3 = ε3 (f, α) > 0 из построения [143, §12, формула (39)]отображения i2 , положимε = ε(f, α) := min 1, min dj1 ,j2 , 1 − max |cj | ∈ (0; 1] ,(3.87)1≤j1 <j2 ≤q1≤j≤q ε ε Cf,1εε(3.88)Pq−1⊂− ;⊂ (−1; 1)Cf,1 ∼c0 = (c01 , . . . , c0q ) := π q+1= (−1; 1)q .,f (c(f )) ∈q+1 f2 2◦q−1q+1 0Пусть τ — открытая грань многогранника Pq−1f , содержащая точку ε c ∈ Pf . Согласнодля некоторого s ∈ [1; q] и некоторого разбиенияобозначению, эта грань имеет вид τ = τJq−sbJb = (Jb1 , . .
. , Jbs ) множества Cf,1 ≈ {1, . . . , q} на s подмножеств Jbk ≈ {ρrk−1 +1 , . . . , ρrk }, 1 ≤ k ≤s (см. (2.21)). Напомним, что грань τ состоит из всех точек c = (c1 , . . . , cq ) ∈ Hf0 ∼= Rq , длякоторыхq+1q+1(cρrk−1 +1 , . . . , cρrk ) ∈ conv Σrk −rk−1 rk−1 + 1 −, . . . , rk −,(3.89)221 ≤ k ≤ s (см. (2.21)). Положим t0 := −1 + 2ε , tk := cρrk (f ) − c0ρr при 1 ≤ k ≤ s, ts+1 := 1 − 2ε .kОпределим функцию h = hc(f ),ε : [− 2ε ; 2ε ] → [−1; 1] формулойh(t) = hc(f ),ε (t) := t + t0 +sX(tk+1 − tk )I(k=0rkrk +1− 12 )ε,( q+1− 12 )εq+1(t),εε− ≤t≤ ,22(3.90)где Ia,b ∈ C (R) — гладкое двухпараметрическое семейство функций с параметрами a < b,0такое, что Ia,b≥ 0, Ia,b |(−∞;(2a+b)/3] = 0 и Ia,b |[(a+2b)/3;+∞) = 1 (определенное, например, как в(3.5), т.е.
[143, формула (6)]).∞Лемма 3.5.5 ([136, лемма 1]). Функция h = hc(f ),ε : [− 2ε ; 2ε ] → [−1; 1] является диффеоморфизмом отрезков, причем t0 < t1 ≤ . . . ≤ ts < ts+1 . Выполнены следующие условия:1) hc(f ),ε (c0j ) = c0j + tk = cj (f ) для любого j ∈ Jbk ⊂ {1, . .
. , q}, 1 ≤ k ≤ s;2) h0 ≡ 1 в некоторой окрестности множества {c01 , . . . , c0q } ∪ {− 2ε , 2ε } в [− 2ε ; 2ε ];3) если 1 ≤ u ≤ s, 0 = k0 < k1 < . . . < ku = s иε ◦ q−u−1τ bc(f ) ∈ π ε ,f,(3.91)b bbbbq+1q + 1 (J1 ∪...∪Jk1 ,Jk1 +1 ∪...∪Jk2 ,...,Jku−1 +1 ∪...∪Jku )то t1 = . . . = tk1 ≤ tk1 +1 = . . . = tk2 ≤ . . . ≤ tku−1 +1 = . . . = tku .Доказательство. Покажем, что t0 < t1 и ts < ts+1 .
Так как cj (f ) ∈ [−1+ε; 1−ε] в силу (3.87),c0j ∈ (− 2ε ; 2ε ) в силу (3.88), то t1 −t0 = cρr1 (f )−c0ρr1 +1− 2ε > 0, ts+1 −ts = 1− 2ε −cρrs (f )+c0ρrs > 0.Покажем, что t1 ≤ . . . ≤ ts . Из вида граней пермутоэдра Pq−1 ⊂ Hf0 ∼= Rq (см. обозначение3.5.2) следует, чтоnoε0 Pq−1=c=(c,...,c)∈HΦ(c)=0,Φ(c)≤0,∅=6J({1,...,q},1qJ11fq+1 fгде линейные функции Φ, ΦJ1 : Hf0 → R определены формулами|J1 | XXq+1|J1 | − qε XΦ(c) := c1 + . .
. + cq ,ΦJ1 (c) := −cj +i−=−cj +ε|J1 |.q+122(q+1)i=1j∈Jj∈J11ГЛАВА 3.206ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАεbPq−1В точке c0 достигается минимум функции Φ(c):= 12 |c(f ) − c|2 по всем точкам c ∈ q+1f .q−20Равенство ΦJ1 (c) = 0 равносильно тому, что c ∈ τ(J ,J ) . Поэтому равенство ΦJ1 (c ) = 01 1равносильно тому, что J1 = Jb1 ∪ . . . ∪ Jbk для некоторого k ∈ [1; s − 1]. По теореме Куна–Таккера [20] имеемb 0 ) + λ grad Φ(c0 ) +grad Φ(cs−1Xλk grad ΦJb1 ∪...∪Jbk (c0 ) = 0k=1для некоторых множителей Лагранжа λ, λ1 , . .
. , λs−1 ∈ R, λk ≥ 0. Следовательно,0c(f ) − c = λ(e1 + . . . + eq ) −s−1Xλk (eρ1 + . . . + eρrk ) =k=1sX(λ −k=1s−1Xλi )(eρrk−1 +1 + . . . + eρrk ).i=kPПоэтому для любого номера j ∈ Jbk имеем равенство cj (f )−c0j = λ− s−1i=k λi . Отсюда получаемt1 ≤ . . . ≤ ts .Из равенств h(− 2ε ) = − 2ε + t0 = −1, h( 2ε ) = 2ε + ts+1 = 1, неравенств t0 < t1 ≤ . . .
≤ ts < ts+1и неубывания функций Ia,b следует, что h ∈ Diff + ([− 2ε ; 2ε ], [−1; 1]).Осталось доказать свойства 1–3. Для каждой функции Ia,b (см. определение функции h)εε. Отсюда и из определения функции Ia,b следует, что в 3(q+1)-окрестностиимеем b − a = q+1hir+1rkε11точки − 2ε в [− 2ε ; 2ε ] имеем h(t) ≡ t + t0 , в 3(q+1)-окрестности отрезка ( k−1−)ε;(−)εq+12q+12εимеем h(t) ≡ t + tk , 1 ≤ k ≤ s, а в 3(q+1)-окрестности точки 2ε в [− 2ε ; 2ε ] имеем h(t) ≡ t + ts+1 . Сhi◦rk−1 +1q+1 0rk110τдругой стороны, из условия ε c ∈ Jb следует, что cj ∈ ( q+1 − 2 )ε; ( q+1 − 2 )ε (см. (3.89))для любого номера j ∈ Jbk , откуда h(c0j ) = c0j + tk , 1 ≤ k ≤ s.◦ετ (Jb1 ∪...∪JbkДля любого c ∈ π −1ε ,f ( q+1q+1c−πε,fq+1(c) =uX1,Jbk1 +1 ∪...∪Jbk2 ,...,Jbku−1 +1 ∪...∪Jbku ) )(µ − µi − . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
