Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Определим группу диффеоморфизмов D 0 как в обозначении 3.1.4, а многообразие RD 0 как в (3.2).Теорема 3.5.10. Пусть M — компактная связная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности.Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fфункций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованныекритические точки, из которых некоторые точки могут быть закрепленными (см. определение 3.1.3).
Пусть F0 ⊂ F1 ⊂ F — соответствующие пространства оснащенных функцийМорса. Предположим, что количество пронумерованных критических точекpb + qb + rb > χ(M ).e ⊂Mf ≈ F1 /D 0 — соответствующие комплекс оснащенных функций Морса и униПусть Kверсальное пространство модулей оснащенных функций Морса (см. теорему 3.3.3 и утверe∞ ⊂ Me ∞ ≈ F0 /D 0 . Тогда существуют гомотопиf формулой Kждение 3.4.7). Определим Kческие эквивалентности и гомеоморфизмe ∞ ∼ RD 0 × K.eF ∼ F 1 ∼ F0 ≈ D 0 × KДоказательство проводится дословным повторением доказательств теоремы 3.5.4, леммы3.5.8 и теоремы 3.5.6.3.6e оснащенных функций Морса,Примеры комплексов Ke ∼Keисследование гомотопической эквивалентности Kпри χ(M ) < 0e оснащенных функцийСогласно предыдущим разделам 3.3—3.5, в случае (3.19) комплекс KМорса является косым цилиндрически-полиэдральным комплексом (теорема 3.3.3) и имеетгомотопический тип пространства F функций Морса (теорема 3.5.6).
Если при этом все точкилокальных экстремумов пронумерованы или все седловые точки пронумерованы, то опредеe функций Морса, являющийся полиэдральным комплексом, и естественныйлены комплекс Ke →Ke (следствие 3.3.5).эпиморфизм комплексов KВ настоящем разделе для полноты изложения изучаются следующие свойства комплекe в случае (3.19). А именно: сначала мы опишем некоторые примеры комплексов Ke иса Kпространств F (с точностью до гомотопической эквивалентности), в том числе пример, изложенный автором в феврале 2012 г.
на семинаре “Римановы поверхности, алгебры Ли иматематическая физика” (рук. С.М. Натанзон, О.В. Шварцман, О.К. Шейнман) в НМУ.e и исследуем гомотопическую эквиваЗатем мы докажем несжимаемость ручек комплекса Kee в случае (3.19). В частности, мы докажем теорему 3.2.8 (Д).лентность K ∼ K3.6.1Примеры: топология и стратификация Максвелла пространствnumnumфункций Морса F1,2,1 (T 2 ), F1,2,3(S 2 ) и F2,2,2(S 2 ) на торе и сфереПусть M — гладкая связная ориентированная замкнутая поверхность. Обозначим черезF = Fn0 ,n1 ,n2 пространство Fn0 ,n1 ,n2 (M ) функций Морса f на M , имеющих nλ = |Cf,λ | критических точек индекса λ при λ = 0, 1, 2, где n0 , n2 > 0 и n0 − n1 + n2 = χ(M ).
Обозначим черезГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА211F = Fn0 ,n1 ,n2 соответствующее пространство Fn0 ,n1 ,n2 (M ) оснащенных функций Морса, а через F0 ⊂ F1 ⊂ F его соответствующие подпространства (см. определения 3.5.1(B) и 3.5.3(B)).Поясним эти обозначения: числа n0 , n1 , n2 полностью определяют поверхность M с точностью до диффеоморфизма, так как χ(M ) = n0 − n1 + n2 .
Поэтому необязательно указыватьповерхность M в обозначении пространств F, F и т.п.Определение 3.6.1. Пусть G◦ — хордовая диаграмма. Стянем каждую окружность этойхордовой диаграммы в точку, полученный граф обозначим через G. Скажем, что хордоваядиаграмма G◦ получена из графа G операцией раздутия вершин.В случае (n0 , n1 , n2 ) = (1, 2, 1) функций Морса на торе с n1 = 2 седловыми критическиe 1,2,1 является цилиндрическимми точками косой цилиндрически-полиэдральный комплекс K(по следствию 3.5.9 (B)) и состоит из цилиндрических ручек индексов 0 и 1, причем каждаяe индекса 0 является “круглой ручкой” (т.е.
гомотопицилиндрическая ручка комплекса Kчески эквивалентной окружности S 1 ), а каждая цилиндрическая ручка индекса 1 являетсяe1-мерной клеткой. Кроме того, по следствию 3.5.9 (B) корректно определены комплекс Ke → K.e гомотопически эквивалентен хорe Значит, комплекс Kфункций Морса и проекция K◦e , в которой окружности отвечают ручкам индекса 0, а хорды — ручкамдовой диаграмме Kиндекса 1.Рис. 3.2.
Граф Фэри в единичном круге и в верхней полуплоскостиПусть F — граф Фэри (Farey graph [72]), показанный на рис. 3.2. Он является плоскимграфом с вершинами в рациональных граничных точках двумерного диска D = D2 (пригомеоморфном отождествлении ∂D ≈ R = R ∪ {∞}, где число ∞ = 10 ∈ R и отвечающая емуграничная точка считаются рациональными).
Этот граф задает триангуляцию диска D2 , изграницы которого выкинуты все иррациональные точки. Если гомеоморфно отождествить∂D ≈ R, то точки mи pq соединены ребром в графе Фэри F тогда и только тогда, когдаnmq − np = ±1.Хорошо известно, что любое ребро ( m, p ) в графе Фэри F является границей ровно двухn qтреугольников данной триангуляции, а именно треугольников с вершинами ( m, p , m+p ) иn q n+q(m, p , m−p ) (т.е.
третья вершина треугольника получается из первых двух согласно “вульгарn q n−qному правилу сложения дробей” [72]).Пример 3.6.2. (A) Пространство функций Морса F1,2,1 на торе T 2 = (S 1 )2 имеет гомотопический тип T 2 × F ◦ , где F ◦ — хордовая диаграмма, получающаяся из графа Фэри F заменойкаждой вершины окружностью, а каждого ребра — хордой(т.е. операцией раздутия вершин,Wсм. определение 3.6.1). В частности, F1,2,1 ∼ T 2 × ( N S 1 ), πk (F1,2,1 ) = 0 при k 6= 1, а фундаментальная группа π1 (F1,2,1 ) изоморфна прямому произведению Z2 и свободной группыбесконечного ранга. В частности, группы Hk (F1,2,1 ) ∼= ZN изоморфны свободной абелевойгруппе бесконечного ранга при k = 1, 2, 3, а при остальных k тривиальны.ГЛАВА 3.212ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА1состоит из бесконечного числа лево-правых орбит (т.е.
D(R) ×(B) Пространство F1,2,102D (S )-орбит, т.е. классов топологической эквивалентности функций Морса), каждая орбитаимеет коразмерность 0 или 1, причем открытые орбиты находятся во взаимно-однозначномсоответствии с вершинами графа Фэри F (т.е. с окружностями соответствующей хордовойдиаграмы F ◦ ), а неоткрытые орбиты — с ребрами графа Фэри (т.е. с хордами хордовойдиаграмы F ◦ ). При этом каждая открытая орбита гомотопически эквивалентна 3-мерномутору T 2 × S 1 , а каждая неоткрытая орбита — двумерному тору T 2 .Обоснование примера.
Из следствия 3.5.9 (A, B) получаем три гомотопические эквивалентности и гомеоморфизм:e 1,2,1 ∼ T 2 × Ke◦ .F1,2,1 ∼ F1,2,1 ≈ D(T 2 ) × K1,2,1e =Ke 1,2,1 — это комплекс функций Морса из следствия 3.3.5, в данном случае он являЗдесь K1f1,2,1 ), Ke◦ = Ke◦ется графом смежностей открытых орбит в F1,2,1(т.е. открытых стратов в M1,2,1e раздутием вершин (определение 3.6.1).— это хордовая диаграмма, получающаяся из графа Ke = Ke 1,2,1 ∼ Ke ◦ .
Сопоставим левоНетрудно проверяется гомотопическая эквиваленность Kправой орбите любой простой функции Морса f ∈ F1,2,1 гомологический класс (с точностьюдо знака) нестягиваемой связной компоненты линии уровня функции f . Легко проверяется, что это сопоставление корректно и биективно. Отождествим гомологии H1 (T 2 ) ' Z2 спомощью некоторого разложения T 2 = S 1 × S 1 . При этом отождествлении указанному гомологическому классу отвечает несократимый целочисленный вектор ±(m, n) ∈ Z2 с точностью∈ R, т.е. вершину графа Фэри F .до знака.
Сопоставим этому вектору рациональное число mne и F . Нетрудно проверяется,Мы получили биекцию между множествами вершин графов Ke ≈ F . Поэтому соответствующиечто эта биекция продолжается до изоморфизма графов K◦e ∼ F ◦.хордовые диаграммы гомотопически эквивалентны: Ke∞ ∼(B) Согласно теореме 3.5.4 и лемме 3.5.8, ограничение отображений F ∼ F0 ≈ D 0 × Ke на прообраз Forg−1 [f ]top любой орбиты является гомотопической эквивалентностьюD0 × Kмежду Forg−1 [f ]top и прямым произведением D 0 и соответствующей косой цилиндрическойручкой. С учетом (3.93) и того, что ограничение забывающего отображения F → F на прообраз Forg−1 [f ]top любой орбиты является гомотопической эквивалентностью с этой орбитой(см.
теорему 3.2.5 или [143, теорема 2.5]), получаем гомотопическую эквивалентность междулюбой орбитой [f ]top и прямым произведением тора T 2 и соответствующей косой цилиндрической ручкой. Осталось вспомнить, что ввиду n1 = 2 всякая ручка индекса 0 гомотопическиe ◦ ), аэквивалентна окружности (т.е.
соответствующей окружности хордовой диаграммы Kвсякая ручка индекса 1 стягиваема (т.е. гомотопически эквивалентна соответствующей хорe ◦ ).де хордовой диаграммы K•••••(a)••••(b)••••••••••••(c)e =Ke 2,2,2;bp,bq,br функций Морса на сфере, где количестваРис. 3.3. Комплексы K(bp, qb, rb) пронумерованных критических точек равны (a) (2, 0, 2), (b) (2, 2, 0), (c)(2, 2, 2) соответственно.Пусть теперь F = Fp,q,r;bp,bq,br — пространство функций Морса на замкнутой связной ориентируемой поверхности M , χ(M ) = p − q + r, имеющих p, q, r критических точек индексовГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА2130, 1, 2 (т.е. p точек локальных минимумов, q седловых точек и r точек локальных максимумов), причем pb, qb, rb из этих точек отмечены и пронумерованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
