Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Надо показать, чтоe → Ke является гомотопической эквивалентностью. В силу (A) каждая ручкапроекция Ke стягиваема и имеет вид D[f ]top ≈ D[f ]top ×U[f ]top . Соответствующая замкнуD[f ]top комплекса Ke изоморфна многограннику D[f ]top , и ограничение протая клетка-многогранник комплекса Ke →Ke на ручку D[f ]top является проекцией D[f ]top × U[f ]top → D[f ]top . При этом для люекции Kбой грани D[g]top D[f ]top соответствующая грань D[g]top ×U[f ]top ручки D[f ]top приклеена к ручке D[g]top ≈ D[g]top ×U[g]top при помощи отображения инцидентности χ[f ]top ,[g]top : U[f ]top ,→ U[g]top .e гомотопически обратное проекцииe → K,Оказывается, можно явно построить отображение Ke →Ke (построение нетрудно и мы его опускаем).K3.7Топология пространств F гладких функций с заданными типами локальных особенностей на поверхностяхВ этом параграфе для полноты изложения излагаются результаты работ [140, 141, 144].Как и в §3.2 (в отличие от §§3.3—3.6), в настоящем параграфе мы уже не предполагаем выполнение неравенства (3.19).
Как и в §§3.3—3.5, в данном параграфе мы используемпонятие малых деформаций функции Морса и понятие оснащенных функций Морса.В данном параграфе мы предполагаем (для упрощения обозначений), что у рассматриваемых функций на M нет отмеченных (т.е. фиксированных или пронумерованных) критических точек. Тем самым, в §§3.3—3.5 и в настоящем параграфе полностью изучены всеобобщенные пространства функций Морса F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) на компактных связных ориентируемых поверхностях M кроме следующих случаев: (i) когда M = S 2и число отмеченных (включая фиксированные) критических точек pb + qb + rb ∈ {1, 2}, (ii)когда M = D2 и pb + qb + rb = 1.
Однако результаты и доказательства настоящего параграфанепосредственно переносятся на случай существования отмеченных критических точек (вчастности, на указанные случаи (i) и (ii)).Аннотация: Изучается пространство гладких функций с заданными локальными особенностями типов Aµ на гладкой двумерной замкнутой ориентируемой поверхности M . Описываетсягомотопический тип данного пространства функций, снабженного C ∞ -топологией, и его разложение на орбиты действия группы “лево-правых замен координат”.Пусть M — гладкая связная замкнутая ориентируемая поверхность и функция f0 ∈ C ∞ (M )имеет только критические точки типов Aµ , µ ∈ N.
Пусть F = F(f0 ) — множество функцийf ∈ C ∞ (M ), имеющих те же типы локальных особенностей, что и f0 . Пусть D0 (M ) — компонента единицы в группе D(M ) = Diff + (M ) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмовM . Группа D(R) × D(M ) действует на F “лево-правыми заменами координат”. Мы описываем гомотопический тип пространства F, снабженного C ∞ -топологией, и его разложение наD(R) × D0 (M )-орбиты. Результат был анонсирован в [140, 141]. Аналогичный результат дляморсовской функции f0 и χ(M ) < 0 был получен в следствии 3.5.9.3.7.1Основной результат в случае замкнутой поверхности MДля любой функции f ∈ C ∞ (M ) обозначим через Cf множество ее критических точек, а черезCtrivмножество критических точек типов A2m , m ∈ N.
В окрестности любой точки x ∈ CtrivffГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА219существуют локальные координаты u, v такие, что f = η(u2m+1 + v 2 ) + f (x) для некоторого(соответи Cmaxη ∈ {+, −}. Целое число ηm назовем уровнем точки x. Обозначим через Cminffsaddleственно Cf) множество критических точек функции f типов A2m−1 , m ∈ N, являющихся(соответственно не являющихся) точками локальных минимумов или максимумов.
В окрестности такой точки x существуют локальные координаты u, v такие, что f = η(u2m ±v 2 )+f (x),где η ∈ {+, −}. Число η(m − 1) назовем уровнем точки x. Подмножество вырожденных (т.е.bextr .обозначим через C∪ Cmax:= Cminс ненулевыми уровнями) критических точек в CextrffffПусть даны действие группы G на топологическом пространстве X, стратифицированное[127] орбиобразие Y и непрерывная сюръекция κ : X → Y . Если всякая G-орбита в X естьпрообраз страта из Y при κ, то скажем, что κ классифицирует G-орбиты, а Y и κ сутьклассифицирующие пространство и отображение.Группа D(R) × D(M ) действует на M × F гомеоморфизмами (x, f ) 7→ (h−1 (x), h−11 ◦ f ◦ h),(h1 , h) ∈ D(R) × D(M ).
Определим вычисляющий функционал Eval : M × F → R, (x, f ) 7→f (x), иs := max{0, χ(M ) + 1} > χ(M ).(3.97)Теорема 3.7.1 ([144, теорема]). Для любой функции f0 ∈ C ∞ (M ), все критические точкикоторой имеют типы Aµ , µ ∈ N, существуют гладкие многообразия B и E и сюръективныесубмерсии k : F → B, κ : M × F → E, π : E → B, ε : E → R такие, что диаграммаEvalM ×FPrFκ/Eε/' Rπk/Bextrbextrкоммутативна, где Pr : M × F → F — проекция и dim B = 2s + 2|Ctrivf0 | + |Cf0 | + |Cf0 | +3|Csaddle| = dim E − 2.
Более того:f0(a) отображения k и κ являются гомотопическими эквивалентностями и классифицируют D 0 (M )- и D(R)×D 0 (M )-орбиты в F и M ×F для некоторых стратификаций на B и E,все страты которых являются подмногообразиями; отображение π является расслоением,слои которого диффеоморфны M ;(b) отображение k (соотв. κ) задает гомотопическую эквивалентность между любымD 0 (M )-инвариантным подмножеством B ⊆ F (соотв.
E ⊆ M × F) и его образом, а потомумежду любой орбитой из п. (a) и соответствующим стратом;(c) группа MCG(M ) = D(M )/D 0 (M ) дискретно действует на B, E диффеоморфизмами,сохраняющими стратификации из п. (a) и функцию ε; отображения p ◦ k : F → B0 :=B/MCG(M ) и P ◦ κ : M × F → E 0 := E/MCG(M ) классифицируют D(M )- и D(R) × D(M )орбиты в F и M × F для индуцированных стратификаций на B 0 и E 0 , где p : B → B 0 иP : E → E 0 — проекции.Поясним термин “субмерсия” в случае отображений функциональных пространств. ЕслиQ, R — гладкие многообразия и Q := Q × F, обозначим через C ∞ (R, Q) прообраз C ∞ (R, Q) ×C ∞ (R × M ) при вложении C(R, Q) ,→ C(R, Q) × C(R × M ), а через C ∞ (Q, R) множествоотображений, индуцирующих отображения C ∞ (Rn , Q) → C ∞ (Rn , R) при всех n ∈ N.
Отображение p ∈ C ∞ (Q, R) назовем субмерсией, если для любого q ∈ Q существуют окрестностьU точки p(q) в R и отображение σ ∈ C ∞ (U, Q) такие, что p ◦ σ = idU .3.7.2Построение классифицирующих многообразий и отображенийАналогично определению 3.2.2 оснащенной функцией на ориентированной поверхности Mназовем пару (f, α), где f ∈ C ∞ (M ) имеет только локальные особенности типов Aµ , α —ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА220замкнутая 1-форма на M \ Cextrf , причем (i) 2-форма df ∧ α не имеет нулей на M \ Cf и задаетположительную ориентацию, (ii) в окрестности любой точки x ∈ Cf существуют локальныекоординаты u, v такие, что либо f = η(u2m+1 + v 2 ) + f (x) и α = ηd(v − uv), либо f = η(u2m −v 2 ) + f (x) и α = ηd(uv), либо f = η(u2m + v 2 ) + f (x) и α = ηκf,x udv−vdu, где κf,x = const > 0,u2 +v 2m ∈ N, η ∈ {+, −}.Обозначим через F = F(f0 ) пространство оснащенных функций (f, α) таких, что f ∈F.
Снабдим это пространство C ∞ -топологией (см. §3.2.2 или [143, §4]). Рассмотрим правые∗действия группы D(R) × D(M ) на F и M × F гомеоморфизмами (f, α) 7→ (h−11 ◦ f ◦ h, h α) и∗(x, f, α) 7→ (h−1 (x), h−11 ◦ f ◦ h, h α), (h1 , h) ∈ D(R) × D(M ).Пусть x1 , x2 , · · · ∈ M — попарно различные точки.
Обозначим через Dr0 (M ) компонентуединицы группы Dr (M ) := {h ∈ D(M ) | h(xi ) = xi , 1 ≤ i ≤ r}, r ∈ Z+ , откуда D0 (M ) =D(M ).Определим классифицирующие многообразия B и E как B := Bs , E := Es , где Br и Er сутьуниверсальные пространства модулейBr := F/Dr0 (M ),Er := (M × F)/Dr0 (M )оснащенных функций (соотв. оснащенных функций с одной отмеченной точкой) в F, r ∈ Z+ .Аналогично теореме 3.4.1 (A) (т.е. [135, теорема 2.5 (A)]) показывается, что Br и Er являютсяextrsaddlebextrорбиобразиями размерностей dim Br = 2r +2|Ctriv| = dim Er −2.
Дляf0 |+|Cf0 |+|Cf0 |+3|Cf000каждой группы G ∈ {D (M ), D(R) × D (M )} снабдим Br и Er стратификациями, каждыйстрат которых является полным прообразом точки при проекции Br → F/G и Er → (M ×F)/G .В силу D(M )-эквивариантности проекции M × F → F и D(M )-инвариантности вычисляющего функционала M × F → R, (x, f, α) 7→ f (x), они индуцируют некоторые отображенияπr : Er → Br и εr : Er → R. Положим π = πs , ε = εs .Аналогично теореме 3.2.5 (т.е. [143, теорема 2.5]) и утверждению 3.4.10 (т.е. [135, утверждение 5.3]) соответственно доказываются следующие леммы.Лемма 3.7.2 ([144, лемма 1]). Проекция Forg : F → F, (f, α) 7→ f , является гомотопической эквивалентностью и имеет гомотопически обратное i : F → F и соответствующиегомотопии, согласованные с проекциями q : F → F/D 0 (M ) и q ◦ Forg : F → F/D 0 (M ).При этом, как и в случае морсовской функции f0 , отображение i из леммы 3.7.2 строится с помощью обобщения теоремы 3.2.14 (“равномерной” D-эквивариантной леммы Морса)на случай гладких функций с произвольными локальными особенностями типов Aµ .
Указанное обобщение теоремы 3.2.14 проводится с помощью доказательства утверждения [151,утверждение 6.1].Лемма 3.7.3 ([144, лемма 2]). Если r ≥ s, то Br — гладкое многообразие, а проекция Evr :F → Br является гомотопической эквивалентностью и имеет гомотопически обратноеir : Br → F и соответствующие гомотопии, согласованные с Evr (откуда Evr ◦ir = idBr ).Положим kr = Evr ◦ i : F → Br . Аналогично определяется κr .
Определим классифицирующие отображения k = ks , κ = κs . Из лемм 3.7.2 и 3.7.3 легко выводится теорема 3.7.1.3.7.3Сведение к случаю функций МорсаЕсли f0 — функция Морса и s = 0, то пространство B из §3.7.2 совпадает с гладким стратифицированным многообразием (универсальным пространством модулей оснащенных функцийf (универсальному пространству модулей оснащенМорса), аналогичным многообразию M1ных функций Морса из F ), изученному в утверждении 3.4.10, теоремах 3.4.1, 3.5.6 и следствии 3.5.9 (т.е. в [135, 134, 136]). Оказывается, каждое Br и Er можно описать в терминахфункций Морса.ГЛАВА 3.221ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАНапомним, что функция f ∈ C ∞ (M ) называется морсовской, если все ее критическиеточки невырождены (т.е. имеют тип A1 , см. §3.7.1).
Обозначим через Morse(f0 ) пространmaxство функций Морса на M , имеющих ровно |Cminf0 | и |Cf0 | точек локальных минимумов имаксимумов и |Csaddle| седловых точек.f0Функцию Морса f ∈ Morse(f0 ) назовем f0 -меченой, если каждая ее критическая точкаx ∈ Cf помечена целым числом, а если это число ненулевое и x ∈ Cextrf , то также 1-мернымподпространством `x ⊂ Tx M , более того |Ctriv|некритическихточекfпомечены ненулевымиf0целыми числами так, что уровень (см.
§3.7.1) любой критической точки функции f0 совпадает с целой меткой соответствующей отмеченной точки функции f для некоторых биекцийmaxminи биекции между Ctriv≈ Csaddle, Csaddle≈ CmaxCminf0 и множеством отмеченныхff0ff0 ≈ C f , C f0некритических точек f .Обозначим через Morse∗ (f0 ) пространство оснащенных (см. §3.7.2) f0 -меченых функцийМорса. Нетрудно доказываетсяУтверждение 3.7.4 ([144, §3]). Имеют место гомеоморфизмыBr ≈ Morse∗ (f0 )/Dr0 (M ),3.7.4Er ≈ (M × Morse∗ (f0 ))/Dr0 (M ),r ∈ Z+ .(3.98)Связь с мероморфными функциями и конфигурационнымипространствамиПусть M — сфера S 2 или тор T 2 .
Если M = S 2 , обозначим через A(f0 ) пространство рациональных функций R на сфере Римана C таких, что все полюса 1-формы ω = R(z)dz простыmaxи имеют вещественные вычеты, положительные в |Cminf0 | полюсах и отрицательные в |Cf0 |полюсах. Если M = T 2 , обозначим через A(f0 ) пространство пар (λ, R), где λ ∈ C, Im λ > 0,и R — мероморфная функция на торе Tλ2 = C/(Z + λZ), все полюса которой просты, всепериоды мероморфной 1-формы ω = R(z)dz чисто мнимые, и вычеты положительны в |Cminf0 |maxполюсах и отрицательны в |Cf0 | полюсах.Пусть A0 (f0 ) — пространство функций R ∈ A(f0 ) или пар (λ, R) ∈ A(f0 ) таких, что ω =R(z)dz имеет лишь простые нули.В силу [76, Proposition 3.4] сопоставление 1-форме ω ее полюсов и вычетов в них дает би≈екцию ϕ : A(f0 ) → Q(f0 ), где Q(f0 ) — “меченое конфигурационное пространство”, состоящееminиз |Cextrf0 |-точечных подмножеств (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
