Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Гомотопическая эквивалентность Q− (f0 ) ∼ S 2 при q = 0 очевидна, Q− (f0 ) ∼ L(4, 1)при q = 1 несложна.2 +2(1−w)+w13− z−w= −zz(z−1)(z−w)∈ A− (f0 ) при w ∈ C \ {0, 1};При q = 2 положим Rw (z) := z1 + z−1тогда рациональная 1-форма ωw = Rw (z)dz на C, имеющая три простых полюса 0, 1, ∞ свычетами 1 и один простой полюс w с√вычетом −3, имеет кратный нуль тогда и только тогда,когда (w − 1)2 + w = 0, т.е. w√ = 1±i2 3 . Отсюда получаем, что Rw ∈ A−0 (f0 ) тогда и только1±i 3тогда, когда w ∈ C \ {0, 1, 2 }. Если мы отождествим C со стандартной круглой сферой√S 2 диффеоморфизмом C → S 2 , переводящим {0, 1, ∞} в A, то подмножество C \ {0, 1, 1±i2 3 }отождествится с областью S 2 \(A∪{N, S}), где N, S — северный и южный полюс на сфере.
НоΓ есть деформационный ретракт области S 2 \ (A ∪ {N, S}). Отсюда следует гомотопическая[эквивалентностьϕ(A−(f))∼{h(A)} × (h(Γ)).(3.99)00h∈SO(3)ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА225(B) При q = 0 лево-правая орбита одна, так как нет седел. При q = 1 орбит две, таккак два локальных максимума либо различны (на открытой орбите), либо совпадают (нанеоткрытой орбите). При q = 2 количество орбит на пространстве F довольно большое, нона подпространстве F1 ⊂ F орбит всего две, так как два седловых значения либо различны(на открытой орбите), либо совпадают (на неоткрытой орбите).
При гомотопической эквивалентности (3.99) открытая орбита (т.е. круглая ручка индекса 0) отвечает окружностямграфа Γ, а неоткрытая орбита (т.е. ручка индекса 1) — дугам в графе Γ. Здесь граф Γ рассматривается как хордовая диаграмма, состоящая из трех окружностей и трех дуг, попарносоединяющих эти окружности. Отсюда нетрудно получить, что открытая орбита гомотопически эквивалентна SO(3) × S 1 , а неоткрытая орбита — линзе L(4, 1).3.7.7Выводы: топология и стратификация Максвелла пространствфункций Морса на поверхностяхРассмотрим обобщенное пространство функций МорсаF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),см. определение 3.1.3. Пусть F0 ⊂ F1 ⊂ F — соответствующие пространства оснащенныхфункций Морса, см. теоремы 3.2.5 и 3.5.4.
Имеем следующие случаи, в некоторых из которыхe и стратифицированное многообразие M,f при этом вукажем соответствующие комплекс Kподслучае 2a мы изменим определение группы D 0 и многообразия RD 0 .e = Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ — косойСлучай 1: pb + qb + rb > χ(M ). Пусть Kцилиндрически-полиэдральный комплекс из теоремы 3.3.3, ассоциированный с пространством F. Напомним, что он составлен из блоков — косых цилиндрических ручек D[f ]top ,e вложен вотвечающих классам топологической эквивалентности [f ]top , f ∈ F1 .
Полиэдр Kf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ из теорем 3.3.3стратифицированное многообразие Mf[f ]top есть подмногообразие в M,f гомотопически эквивалентноеи 3.4.1. Любой его страт Me а ручка D[f ]top имеет своим строгим деформационным ретрактомручке D[f ]top комплекса K,пространство орбит (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] соответствующего тора (S 1 )d([f ]) по свободному действиюконечной группы Γ[f ] допустимыми автоморфизмами тора (определение 3.3.1 (A, B, C)).Случай 2: pb + qb + rb ≤ χ(M ). Имеем либо χ(M ) = 0 (т.е. M = T 2 или M = S 1 × [−1, 1]) инет отмеченных критических точек (т.е. pb + qb+ rb = 0), либо M = D2 и pb + qb+ rb ∈ {0, 1}, либоM = S 2 и pb + qb + rb ∈ {0, 1, 2}.
Имеем следующие подслучаи:Подслучай 2a: M = T 2 , S 1 × [−1; 1], нет отмеченных критических точек (т.е. pb + qb +rb = 0) и либо число критических точек локальных минимумов равно p = 1, либо число критических точек локальных максимумов равно r = 1. Имеем гомеоморфизм F ≈F1,q,r;1,0,0;0,0,0 (M, ∂ + M, ∂ − M ) (соответственно F ≈ Fp,q,1;0,0,1;0,0,0 (M, ∂ + M, ∂ − M )), т.е. точку локального минимума (соответственно максимума) можно считать отмеченной, и с учетом этойточки общее число отмеченных точек станет равным 1 > 0 = χ(M ). Рассмотрим соответe := Ke p+∂ − ,q,1+∂ + ;∂ − ,0,1+∂ + ;∂ − ,0,∂ + )e := Ke 1+∂ − ,q,r+∂ + ;1+∂ − ,0,∂ + ;∂ − ,0,∂ + (соотв.
Kствующие комплекс K212и многообразие RD 0 := T или S (в зависимости от M = T или S 1 × [−1; 1]).Подслучай 2b: M = D2 и либо pb + qb + rb = 0 и p = q = r = 1, либо pb + qb + rb =1 = p − pb, либо pb + qb + rb = 1 = r − rb. Аналогично подслучаю 2a имеем гомеоморфизмF ≈ F1,1,1;1,1,1;0,0,0 (D2 , ∂ + D2 , ∂ − D2 ) (соответственно F ≈ Fp,q,r;bp+1,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (D2 , ∂ + D2 , ∂ − D2 )или F ≈ Fp,q,r;bp,bq,br+1;p∗ ,q∗ ,r∗ (D2 , ∂ + D2 , ∂ − D2 )), т.е. неотмеченную точку локального минимума (соответственно максимума) можно считать отмеченной, и с учетом этой точки общееколичество отмеченных точек станет > 1 = χ(M ).
Рассмотрим соответствующие комплексe := Ke 1+∂ − ,1,1+∂ + ;1+∂ − ,1,1+∂ + ;∂ − ,0,∂ + (соотв. Ke := Ke p+∂ − ,q,r+∂ + ;bp+1+∂ − ,bq,br+∂ + ;p∗ +∂ − ,q∗ ,r∗ +∂ + или Ke :=Ke p+∂ − ,q,r+∂ + ;bp+∂ − ,bq,br+1+∂ + ;p∗ +∂ − ,q∗ ,r∗ +∂ + ) и многообразие RD 0 := S 1 .KГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА226Подслучай 2c: M = S 2 и либо pb + qb + rb = 1 = p − pb = r − rb, либо pb + qb + rb = 2 иp − pb, либо pb + qb + rb = 2 и r − rb. Аналогично подслучаям 2a, 2b имеем очевидный гомеоморфизм F ≈ Fp,q,r;bp+1,bq,br+1;p∗ ,q∗ ,r∗ (S 2 ) (соответственно F ≈ Fp,q,r;bp+1,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (S 2 ) или F ≈Fp,q,r;bp,bq,br+1;p∗ ,q∗ ,r∗ (S 2 )), т.е. неотмеченную точку локального минимума (соответственно максимума) можно считать отмеченной, и с учетом этой точки общее количество отмеченных точекe := Ke p,q,r;bp+1,bq,br+1;p∗ ,q∗ ,r∗ (соотстанет > 2 = χ(M ).
Рассмотрим соответствующие комплекс Ke := Ke p,q,r;bp+1,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ или Ke := Ke p,q,r;bp,bq,br+1;p∗ ,q∗ ,r∗ ) и многообразие RD 0 := SO(3)ветственно K1∗∗∗или S в зависимости от p + q + p = 0 или > 0.Подслучай 2d: ∂M 6= ∅ (можно также считать, что невыполнены предположения случаев1, 2a, 2b). Этот подслучай изучен (и обобщен на неморсовский случай) в теореме 3.7.6. Выберем базисную точку x0 ∈ ∂M . В этом случае мы заменим группы D 0 и D на новые группы D10и D1 , где D10 — компонента связности единицы в группе D1 := {h ∈ Diff + (M ) | h(x0 ) = x0 }.Ясно, что классы [f ]top топологической эквивалентности функций Морса в пространстве Fсовпадают с лево-правыми орбитами действия группы Diff + (R) × D10 на F.
Легко проверяется, что действие новой группы D10 на F свободно. Аналогично (3.2) доказывается, что новаягруппа D10 стягиваема. С помощью этих свойств новой группы D10 нетрудно доказывается(дословным повторением доказательств утверждений 3.4.4, 3.4.7 и 3.4.10 или теоремы 3.7.6),что топологическое пространствоf := F1 /D 0M1(универсальное пространство модулей оснащенных функций Морса на поверхности с краеми с отмеченной точкой на крае) имеет структуру гладкого стратифицированного многообf[f ]top , f ∈ F1 , иразия (как в теореме 3.3.14 и утверждении 3.4.4), состоящего из стратов M≈f Также можно определитьимеется D10 -эквивариантный гомеоморфизм p3 : F1 −→ D10 × M.e содержащийся в Mf и состоящий из блоков D[f ]top , f ∈ F1соответствующий комплекс K,(аналогично теореме 3.3.13).e и многообразие RD 0 какВ каждом из случаев 1, 2a, 2b, 2c, 2d определим комплекс Kуказано выше.
Для этих случаев верен аналог теорем 3.5.4 и 3.5.10:Следствие 3.7.10. Пусть M — компактная связная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности.Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )и F1 ⊂ F функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованные критические точки, из которых некоторые точки могут быть закрепленными(см. определение 3.1.3).
Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих условий:(1) pb+bq +br > χ(M ) (т.е. число пронумерованных критических точек превосходит χ(M )),(2a) M = T 2 , S 1 × [−1; 1], нет пронумерованных критических точек (т.е. pb + qb + rb = 0) ичисло точек локальных максимумов (или минимумов) равно r = 1 (соответственно p = 1),(2b) M = D2 и либо pb + qb + rb = 0 и p = q = r = 1, либо pb + qb + rb = 1 = p − pb, либоpb + qb + rb = 1 = r − rb,(2c) M = S 2 — сфера и либо pb + qb + rb = 1 = p − pb = r − rb, либо pb + qb + rb = 2 и p − pb, либоpb + qb + rb = 2 и r − rb,(2d) ∂M 6= ∅.В случае (1) пустьe =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ,Kf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+M— косой цилиндрически-полиэдральный комплекс и стратифицированное многообразие изe итеоремы 3.3.3, ассоциированные с пространством F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
