Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 73
Текст из файла (страница 73)
В частности, Fp,q,r = Fp,q,r;0,0,0 .num; оноВ случае p − pb ≤ 1, q − qb ≤ 1 и r − rb ≤ 1 обозначим пространство Fp,q,r;bp,bq,br через Fp,q,rсостоит из функций Морса с пронумерованными критическими точками.Аналогично примеру 3.6.2 обосновываются следующие примеры.Примеры 3.6.3. Предположим, что pb + qb + rb > χ(M ) и q ≤ 2. Тогда:e =Ke p,q,r;bp,bq,br функций Морса из F1 , явля(A) Определены соответствующие комплекс Ke =Ke p,q,r;bp,bq,br оснащенных функций Морса из F1 (см. теоремующийся графом, и комплекс Ke ∼Ke ◦ между ком3.3.3 и следствие 3.3.5). Существует гомотопическая эквивалентность Ke и хордовой диаграммой Ke◦ = Ke◦eплексом Kp,q,r;bp,bq ,br , полученной из графа K операцией раздутия вершин (см. определение 3.6.1). Ограничение этой гомотопической эквивалентности наe является гомотопической эквивалентностью на свой образ, гдекаждую ручку комплекса Ke переходит в соответствующую окружность хордовойкаждая ручка индекса 0 комплекса K◦eдиаграммы K , а каждая ручка индекса 1 в соответствующую хорду хордовой диаграммыe ◦ .
Прямое произведение SO(3) или T 2 (в зависимости от M = S 2 или M = T 2 ) на каждуюKe гомотопически эквивалентно соответствующей лево-правой орбите (т.е.ручку комплекса K0D(R) × D (M )-орбите) в F1 , т.е. классу топологической эквивалентности функций Морса вe функций Морса (т.е. окружноF1 , причем открытые орбиты отвечают вершинам графа Ke ◦ ), а неоткрытые орбиты — ребрам графа Ke (т.е. хордам хордовойстям хордовой диаграмы Ke ◦ ).диаграмы K(B) Пространство Fp,q,r;bp,bq,br имеет следующий гомотопический тип:e 1,1,2;0,0,2 = Ke 1,1,2;1,1,2(a) F1,1,2;0,0,2 ≈ F1,1,2;1,0,2 ≈ F1,1,2;0,1,2 ≈ F1,1,2;1,1,2 ∼ SO(3), граф Kфункций Морса является точкой;◦e 1,2,3;0,0,3e =Ke 1,2,3;0,0,3 функций Морса является(b) F1,2,3;0,0,3 ≈ F1,2,3;1,0,3 ∼ SO(3)× K, граф KW1e ∼Ke◦ ∼треугольником, и K4S ;eee◦(c) F1,2,3;0,2,0 ≈ F1,2,3;1,2,0 ∼ SO(3)× K1,2,3;0,2,0 , граф K = K1,2,3;0,2,0 функций Морса являетсяe ∼Ke ◦ ∼ W S 1;сегментом (т.е.
состоит из двух вершин и соединяющего их ребра), и K2e =Ke 1,2,3;0,2,3 функций Морса являетсяe◦,графK(d) F1,2,3;0,2,3 ≈ F1,2,3;1,2,3 ∼ SO(3)× K1,2,3;0,2,3e ∼Ke ◦ ∼ W S 1;шестиугольником, и K7◦e 2,2,2;2,0,2e =Ke 2,2,2;2,0,2 функций Морса имеет вид как на(e) F2,2,2;2,0,2 ∼ SO(3) × K, граф KW1e ∼Ke◦ ∼рис. 3.3 (a), и K6S ;e◦ee(f) F2,2,2;2,2,0 ≈ F2,2,2;0,2,2 ∼ SO(3) × K2,2,2;2,2,0 , граф K = K2,2,2;2,2,0 функций Морса имеетW1e ∼Ke◦ ∼вид как на рис. 3.3 (b), и K6S ;nume◦ee(g) F2,2,2= F2,2,2;2,2,2 ∼ SO(3) × K2,2,2;2,2,2 , граф K = K2,2,2;2,2,2 функций Морса имеет видW◦1e ∼Ke ∼как на рис. 3.3 (c), и K11 S ;e = Ke 1,2,1 = Ke 1,2,1;1,0,1(h) F1,2,1 ≈ F1,2,1;1,0,0 ≈ F1,2,1;0,0,1 ≈ F1,2,1;1,0,1 ∼ (S 1 )2 × F ◦ , граф Ke ∼Ke◦ ∼ F◦ ∼функций Морса изоморфен графу Фэри F из примера 3.6.2, см.
рис. 3.2, и KW1ZS ;◦e 1,2,1;0,2,0e =Ke 1,2,1;0,2,0(i) F1,2,1;0,2,0 ≈ F1,2,1;1,2,0 ≈ F1,2,1;0,2,1 ≈ F1,2,1;1,2,1 ∼ (S 1 )2 × K, где граф Ke := {0, 1} × V (F ) и реберполучается из графа Фэри F “удвоением” множеств вершин V (K)e := {0, 1} × E(F ), причем для любого ребра e ∈ E(F ) с концами v0 , v1 ∈ V (F ) одноE(K)e имеет концы (0, v0 ), (1, v1 ), а другое — концыиз соответствующих ребер (0, e), (1, e) ∈ E(K)(0, v1 ), (1, v0 ).(C) В частности, числа Бетти пространства Fp,q,r (гомотопический тип которого в некоторых случаях найден в примерах 3.6.2 и 3.7.9(A)) допускают следующие верхние оценки (втерминах полинома Пуанкаре пространства Fp,q,r ):ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА214(a) P (F1,1,2 ; t) = P (F1,1,2;0,0,2 ; t) − (1 + t)R1 (t) = 1 + t3 − (1 + t)R1 (t);(c) P (F1,2,3 ; t) = P (F1,2,3;2,0,2 ; t) − (1 + t)R2 (t) = (1 + t3 )(1 + 6t) − (1 + t)R2 (t);(e,f) P (F2,2,2 ; t) = P (F2,2,2;0,2,0 ; t) − (1 + t)R3 (t) = (1 + t3 )(1 + 2t) − (1 + t)R3 (t);(h) P (F1,2,1 ; t) = (1 + t)2 (1 + ∞t) = 1 + ∞t + ∞t2 + ∞t3 ,где Ri = Ri (t) — некоторый полином с неотрицательными целыми коэффициентами.Обоснование примеров.
(A) По условию выполнено (3.94) и количество седел n1 = 2. Отсюдаследует, что выполнены условия следствия 3.3.5, т.е. либо (a) p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1, либо(b) q − qb ≤ 1. Действительно: для M = T 2 выполнено (a), а для M = S 2 выполнено (b)e функций Морса иили (a). Поэтому по следствию 3.3.5 корректно определены комплекс Ke → K,e причем комплекс Ke функций Морса является полиэдральным комплексомпроекция Ke ≤ 1, т.е. Ke является графом. Далее, поразмерности q − 1.
Поэтому при q ≤ 2 имеем dim Kпредложению 3.3.15(B), при q = 2 все косые цилиндрические ручки D[f ]top индекса 0 являются“круглыми”, т.е. гомотопически эквивалентны тору размерности d([f ]) = 1, т.е. окружности,а все ручки D[f ]top индекса q − 1 изоморфны пермутоэдру порядка q = 2, т.е. отрезку. Значит,e гомотопически эквивалентен хордовой диаграмме Ke ◦ , в которой окружностикомплекс Kотвечают ручкам индекса 0, а хорды — ручкам индекса 1. Отсюда следует гомотопическаяe ∼ Ke ◦ , а свойства ее ограничения на ручки доказывается аналогичноэквивалентность Kдоказательству леммы 3.5.8.
Остальные требуемые свойства следуют из теоремы 3.4.1 (B) иf соответствующей ручкеиз гомотопической эквивалентности любого страта многообразия Meкомплекса K.(B) выводится из (A) и теорем 3.3.3 и 3.5.6 аналогично обоснованию примера 3.6.2 (A).e функций Морса из F1 в каждом конкретном случае находитсяПри этом явный вид графа Ke является графом смежностей открытых орбит в F1 (т.е.из того, что при q ≤ 2 граф Kfоткрытых стратов в M).(C) выводится из (B) и леммы 3.3.16.3.6.2e Исследование гомотопиНесжимаемость ручек комплекса K.e ∼Ke комплексов функций Морсаческой эквивалентности Ke аВ теореме 3.2.8 в случае (3.19) описан косой полиэдрально-цилиндрический комплекс K,e В теореме 2.7.11 ив теореме 3.5.6 построена гомотопическая эквивалентность F ∼ D 0 × K.e и естественная проекция комплексовследствии 3.3.5 описаны полиэдральный комплекс Ke → K.e →Ke Возникает естественный вопрос: когда проекция Ke является гомотопическойKэквивалентностью?Следующее утверждение показывает, что иногда ответ положительный, например, в случае пространств F = Fextr функций Морса, все точки локальных экстремумов которых фиксированы (например, в ситуации теоремы 2.7.11 для F = Ffix , т.е.
когда все критические точкизакреплены, а также в ситуации теорем 2.6.1 и 2.6.2). В каждом таком случае (с учетом гоe и стягиваемости группы D 0 диффеоморфизмовмотопической эквивалентности F ∼ D 0 × KM , оставляющих на месте все фиксированные критические точки, в силу (3.2)) получаемe в теореме 2.7.11 (A).гомотопическую эквивалентность F ∼ KПредложение 3.6.4. Пусть M — связная компактная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности.
Рассмотрим обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ Fфункций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых могут быть пронумерованныекритические точки, из которых некоторые точки могут быть закрепленными (см. опре-ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА215деление 3.1.3). Предположим, что выполнено неравенство (3.19) (т.е. количество пронумерованных критических точек превосходит χ(M )). Тогда:e[f ]top косого цилинд(A) Любая косая цилиндрическая ручка D[f ]top ≈ (D[f ]top × U[f ]top )/Γe (см. теорему 3.2.8) несжимаема, т.е.
отображениерически-полиэдрального комплекса Ke этой ручки индуцирует мономорфизм фундаментальныхвключения i[f ]top : D[f ]top ,→ Kгруппe x0 ),(i[f ]top )# : π1 (D[f ]top , x0 ) → π1 (K,e[f ]top . Все косые ручки D[f ]topгде f ∈ F1 , x0 ∈ D[f ]top — любая базисная точка, π1 (D[f ]top , x0 ) ∼=Γe односвязны (т.е.
их фундаментальные группы Γe[f ]top тривиальны) в том икомплекса Kтолько том случае, когда(q − 1)(p − p∗ + r − r∗ )(p − p∗ + q − q ∗ + r − r∗ − 1) = 0(3.95)(т.е. либо имеется лишь одна седловая критическая точка, либо все точки локальных экстремумов закреплены, либо все кроме одной критической точки закреплены).
В частности,если либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1, либо q − qb ≤ 1, то условие (3.95) является необходимымe →Ke из следствия 3.3.5(C) являлась гомотопической эквивадля того, чтобы проекция Kлентностью.(B) Предположим также, что выполнены условия следствия 3.3.5, а именно либо p− pb ≤1 и r − rb ≤ 1 (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
