Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 71
Текст из файла (страница 71)
. − µu−1 )(eρrki−1 −1+1имеем+ . . . + eρrk )ii=1для некоторых µ, µ1 , . . . , µu ∈ R, µi ≥ 0. Значит, в случае (3.91) выполнено tki−1 +1 = . . . =tki = µ − µi − . . . − µu−1 , 1 ≤ i ≤ u, где k0 := 0. Лемма 3.5.5 доказана.Теперь перейдем собственно к доказательству теоремы 3.5.4.Шаг 1. Если q = 0, то F0 = F1 и доказывать нечего. Пусть далее число седел q > 0.Сопоставим оснащенной функции Морса (f, α) ∈ F1 функцию Морса fe := h−1 ◦ f , где h =hc(f ),ε(f,α) — диффеоморфизм из леммы 3.5.5.
Из леммы 3.5.5 и определения 3.2.2 следует, что(fe, α) ∈ F. Так как h[−1; 1] = [− 2ε ; 2ε ], то 2ε (fe, α) ∈ F1 . Покажем, что 2ε (fe, α) ∈ F0 . Посколькуq−1ε2 e2 02c(fe) = c0 ∈ q+1Pq−1f , то c( ε f ) = ε c ∈ q+1 Pf . Это доказывает выполнение условия (i) изопределения 3.5.3 пространства F0 . Осталось проверить условие (ii). Пусть γ — сепаратрисаоснащенной функции (f, α), соединяющая седловые точки yi , yj ∈ Cfe,1 = Cf,1 , 1 ≤ i < j ≤ q.ТогдаZ ZZ p|ci − cj | = |ci − cj | + α = (|df | + |α|) ≥df 2 + α2 ≥ ρf,α (yi , yj ) ≥ εγγγв силу (3.87). Предположим также, что седловые точки принадлежат одному и тому жеb где 1 ≤ k ≤ s.
Тогда из леммы 3.5.5 следует, что ci = c0i + tkподмножеству Jbk разбиения J,и cj = c0j + tk , а потому ci − cj = c0i − c0j . Отсюда с учетом c0i , c0j ∈ (− 2ε ; 2ε ) получаем |ci − cj | =|c0i − c0j | < ε, что противоречит вышеприведенному неравенству.
Таким образом, 2ε (fe, α) ∈ F0 ,и возникает отображение22 −1p4 : F1 → F0 ,(f, α) 7→ (fe, α) =hc(f ),ε(f,α) ◦ f, α .(3.92)εε(f, α)ГЛАВА 3.207ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАШаг 2. Докажем непрерывность отображения p4 : F1 → F0 .Для любых κ ∈ (0; 1) и c ∈ (−1 + κ; 1 − κ)q рассмотрим диффеоморфизмы m κ2 : [−1; 1] →[− κ2 ; κ2 ], t 7→ κ2 t, и hc,κ ◦ m κ2 : [−1; 1] → [−1; 1] (см. (3.90)). Покажем, что сопоставлениеH : (c, κ) 7→ hc,κ ◦ m κ2 ∈ Diff + [−1; 1]непрерывно на множестве таких пар (c, κ), что c ∈ (−1 + κ; 1 − κ)q и κ ∈ (0; 1). Пусть◦◦(c, κ) — любая пара из этого множества и τ := τ (Jb1 ,...,Jbs ) — открытая грань многогранниκκ (c) ∈ Pq−1 .
Из определения hка Pq−1 , содержащая точку q+1π q+1c,κ и непрерывности π q+1κследует непрерывность ограничения H на множество таких пар (c0 , κ0 ), что q+1π κ0 (c0 ) ∈κ0q+1◦τ . Осталось проверить непрерывность в точке (c, κ) ограничения H на множество таких0◦0◦◦−1κκτττ 1 многогранпар (c0 , κ0 ), что c0 ∈ π −1κ0 ( q+1 ) ∪ π κ0 ( q+1 1 ), для любой открытой граниq+1q+1κ ◦κτ 1 ) , то τ ⊂ τ1 . Тоника Pq−1 .
Из непрерывности π q+1следует, что если c ∈ ∂ π −1κ ( q+1q+1гда грань τ1 имеет вид τ1 = τ(Jb1 ∪...∪Jbk ,Jbk +1 ∪...∪Jbk ,...,Jbk +1 ∪...∪Jbk ) . Согласно лемме 3.5.5, имеu112u−1ем t1 P= . . . = tk1 ≤ tk1 +1 = . . . = tk2 ≤ . . . ≤ tku−1 +1 = . . . = tku . Значит, hc,κ (t) =t+t0 + ui=0 (tki +1 −tki )I rki 1 rki +1 1 (t), где k0 := 0, т.е. диффеоморфизм hc,κ определяется( q+1 − 2 )κ,(q+1− 2 )κ0◦κτтой же формулой, что и hc0 ,κ0 при c0 ∈ π −1κ0 ( q+1 1 ). Непрерывность H доказана.q+1Согласно (3.92), выполнено равенство2 −1p4 (f, α) =hc(f ),ε(f,α) ◦ f, α =ε(f, α)−1(H(c(f ), ε(f, α)))2◦ f,α .ε(f, α)Отображение Diff + [−1; 1] → Diff + [−1; 1], h 7→ h−1 , непрерывно в C ∞ -топологии в силу [143,лемма 10.1].
Отсюда, а также из непрерывности функции ε = ε(f, α), сопоставления f 7→Σq c(f ) ∈ Rq /Σq и отображения H (см. выше) следует непрерывность отображения p4 .Шаг 3. Покажем, что отображение включения i4 : F0 ,→ F1 является гомотопической эквивалентностью. Композиция i4 ◦ p4 : F1 → F1 действует следующим образом: (f, α) 7→ 2ε (h−1 ◦f, α), где ε = ε(f, α), h := hc(f ),ε ∈ Diff + ([− 2ε ; 2ε ], [−1; 1]) (см. лемму 3.5.5). Зададим гомотопиюэтой композиции в idF1 формулой2(f, α) 7→ (ft , αt ) := (1 − t) · (h−1 ◦ f, α) + t · (f, α),ε0 ≤ t ≤ 1.Функция ft является функцией Морса из F1 с теми же линиями уровня и тем же множествомCf критических точек, что и у функции f , причем в силу леммы 3.5.5(2) функция ft вокрестности каждой критической точки есть функция f , которая умножена на число (1−t) 2ε +t > 0 и к которой прибавлена некоторая константа, а форма αt есть форма α, умноженнаяна то же самое число.
Отсюда следует, что гомотопия не выводит из пространства F1 .Покажем, что ограничение на F0 этой гомотопии не выводит из пространства F0 . Приq−12 ◦2εотображении m 2 ◦ π q+1,f | 2 Pq−1 образ любой открытой грани q+1 τ многогранника q+1 Pfεлежит в грани◦2τ.q+1q+1fОтсюда следует, что если c(f ) ∈2 ◦τ,q+1εто c(ft ) = (1 − t) 2ε π q+1,f (c(f )) +2τ при 0 < t ≤ 1. Значит, паре (ft , αt ) отвечает то же разбиение J = (J1 , . . . , Js ),tc(f ) ∈ q+1что и паре (f, α). Поэтому выполнение условия (ii) для пар (ft , αt ), 0 < t ≤ 1, следует извыполнения аналогичного условия для пары (f, α) с учетом αt = ((1 − t) 2ε + t)α.По построению, оба отображения i4 , p4 и гомотопия D ± -эквивариантны.
Теорема 3.5.4доказана.ГЛАВА 3.3.5.3ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА208e ∞ и деформациD 0 -эквивариантный гомеоморфизм F0 ≈ D 0 × Ke ⊂Ke∞ ⊂ Mfонные ретракции KОбозначим через F := Fp,q,r;bp,bq,br (M ) пространство, полученное из Fp,q,r (M ) введением нумерации у некоторых из критических точек (называемых отмеченными) для функций f ∈Fp,q,r (M ), где pb, rb, qb — количество отмеченных критических точек локальных минимумов,максимумов и седловых точек соответственно. Пусть F0 := F0p,q,r;bp,bq,br (M ) и F1 := F1p,q,r;bp,bq,br (M )— соответствующие пространства оснащенных функций Морса.
Пусть D 0 ⊂ D ± — пространство диффеоморфизмов, гомотопных idM в классе гомеоморфизмов. Снабдим C ∞ -топологиейпространства F, F1 , D 0 (см. §3.2.2 или [143, §4]). В настоящем разделе, как и в §3.4.1, мы воспользуемся тем, что из результатов [122, 69, 70] следует гомотопическая эквивалентность(3.2), точнее ее частный случайD 0 ∼ RD 0 ,(3.93)где RD 0 — одно из многообразий SO(3), T 2 и точка (при M = S 2 , T 2 и χ(M ) < 0).Предположим, что количество отмеченных критических точек pb + qb + rb > χ(M ).
Пустьe := Ke p,q,r;bp,bq,br ⊂ Mf := Mfp,q,r;bp,bq,brK— комплекс оснащенных функций Морса и содержащее его 3q-мерное многообразие (см.§§3.3.3 и 3.3.4, т.е. [134, §4]). Согласно §3.4.3 (т.е. [135, §4]) имеется гомеоморфизм Ev : F1 /D 0 →e ∞ := Ev(F0 /D 0 ) ⊂ Mf Рассмотрим универсальное пространство модулей Kf специальныхM.оснащенных функций Морса.Теорема 3.5.6 ([136, теорема 2]). Пусть F = Fp,q,r;bp,bq,br (M ) — пространство функций Морсана замкнутой связной ориентированной поверхности M и количество пронумерованныхкритических точекpb + qb + rb > χ(M ).(3.94)Тогда существуют гомотопические эквивалентности и гомеоморфизмe ∞ ∼ RD 0 × K.eF ∼ F 1 ∼ F0 ≈ D 0 × KОпределение 3.5.7 (ср. определения 2.7.8, 2.2.4(B), 3.1.5(Б)). Функции Морса f, g ∈ Fназовем топологически эквивалентными), если найдутся такие диффеоморфизмы h1 ∈ D 0и h2 ∈ Diff + (R), что f = h2 ◦ g ◦ h1 и h1 сохраняет нумерацию отмеченных критических точек.Множество функций из F1 , топологически эквивалентных f , обозначим через [f ]top .Лемма 3.5.8 ([136, лемма 2]).
В случае (3.94) имеется D 0 -эквивариантный гомеоморфизмe ∞ . При этом Ke ∞ является строгим деформационным ретрактом многообразияF0 ≈ D 0 × Ke — строгим деформационным ретрактом полиэдра Ke ∞.f аKM,Доказательство. Первое утверждение следует из существования D 0 -эквивариантного гоf согласованного с Ev (см. §3.4.3, т.е. [135, §4]).
В силу теоремымеоморфизма F1 ≈ D 0 × M,e ∞ ,→ Mf ≈ F1 /D 0 является гомотопической экви3.5.4 отображение включения F0 /D 0 ≈ Kвалентностью. Согласно теоремам 3.3.13 и 3.3.14 (т.е. [134]), имеются замкнутое покрытиеe = S D[f ]top и открытое покрытие Mf= S Mf[f ]top , а также выпуклые множестваK[f ]top[f ]topD[f ]top ⊂ S[f ]top ⊂ H[f0 ]top ∼= Rq ,U[f ]top ⊂ U[f∞]top ⊂ H[f1 ]top ∼= R2q ,f[f ]top и отображение включения D[f ]top ,→ Mf[f ]top есть композициятакие, что D[f ]top ⊂ Me[f ]top ⊂ (S[f ]top × U[f∞] )/Γe[f ]top ≈ Mf[f ]top ,D[f ]top ≈ (D[f ]top × U[f ]top )/ΓtopГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА209e[f ]top — группа, действующая свободно, дискретно и покомпонентно на S[f ]top × U ∞где Γ[f ]top(более точные определения см.
в §§3.3.3 и 3.3.4, т.е. [134, §4]). Из определения “вычисляющего”f (см. §3.4.3, т.е. [135, §4]) следует, чтоотображения Ev : F1 → M[∞e∞ =eKD∞где D∞[f ]top ,[f ]top ≈ (D[f ]top × U[f ]top )/Γ[f ]top .[f ]tope ∞ ) — пара полиэдров (а потому корасслоение по теореме Борсука [34, §5.5]).f KОтсюда (M,e ∞ — строгий деформационный ретракт многообразия Mf (см. [29, гл. 1, §4]).Значит, Ke ⊂ Ke ∞ получается из строгих дефорСтрогая деформационная ретракция для пары Ke =Ke ∪Ke∞ ⊂ Ke ∪Ke∞ ⊂мационных ретракций для пар соседних пространств в цепочке K−10S∞∞∞∞∞∞eeeeeeeD[f ]top ⊂ K . Строгую деформационнуюK ∪ K1 ⊂ .
. . ⊂ K ∪ Kq−1 = K , где Kk :=dim D[f ]top ≤ke ∪Ke ∞ определим с помощью строгих деформационныхe ∪Ke∞ ⊂ Kретракцию для пары Kkk−1e[f ]top , таких,e[f ]top ⊂ (D[f ]top ×U ∞ )/Γретракций для пар ((D[f ]top ×U[f ]top )∪(∂D[f ]top ×U[f∞]top ))/Γ[f ]topчто dim D[f ]top = k (см. §3.4.3 или [134, §4]).e∞ ∼Доказательство теоремы 3.5.6. По теореме 3.5.4 и лемме 3.5.8 имеем F1 ∼ F0 ≈ D 0 ×Ke С учетом (3.93) и того, что забывающее отображение и отображение включенияD 0 × K.1F → F1 ,→ F являются гомотопическими эквивалентностями (см.
теорему 3.2.5 или [143,теорема 2.5]), получаем теорему 3.5.6.Подведем итоги в важном частном случае: когда поверхность M замкнута и нет отмеченных критических точек. Из теоремы 3.5.6, предложения 3.3.15 о строении ручек комплексаe и следствия 3.3.5 получаемK,Следствие 3.5.9. Пусть M — связная ориентируемая замкнутая поверхность и F =F(p, q, r)(M ) — пространство функций Морса, имеющих p, r, q критических точек локальных минимумов, локальных максимумов и седел на поверхности M .(A) Предположим, что либо χ(M ) < 0, либо M = T 2 — тор и количество точек локальных максимумов (или минимумов) равно r = 1 (соответственно p = 1). Тогда верныe и [f ]top ∼ D[f ]top в случае χ(M ) < 0, либолибо гомотопические эквивалентности F ∼ F ∼ Ke и [f ]top ∼ T 2 × D[f ]top в случае M = T 2 , где f ∈ F1 — любая функция МорсаF ∼ F ∼ T2 × Ke — соответствующая ручка комплекса K.eи D[f ]top ⊂ K(B) Предположим, что количества точек локальных минимумов и локальных максимумов минимальны, т.е.
равны p = r = 1. Тогда косой цилиндрически-полиэдральный комплексe является цилиндрически-полиэдральным. В частности, любая его косая цилиндрическаяKручка является цилиндрической, а потому гомотопически эквивалентна некоторому тоe функций Морса из следствия 3.3.5 иру. Кроме того, корректно определены комплекс Ke → K.eканоническая проекция K(C) Предположим, что либо количество седловых критических точек q ≤ 2, либо количество точек локальных минимумов p = 1 и количество точек локальных максимумовr ≤ 3, либо количество точек локальных максимумов r = 1 и количество точек локальныхe гомотопическиминимумов p ≤ 3. Тогда любая косая цилиндрическая ручка комплекса Kэквивалентна некоторому тору.Доказательство. (A) Если χ(M ) < 0, то число отмеченных критических точек равно 0 >χ(M ), т.е.
верно неравенство (3.19). Если M = T 2 и количество точек локальных максимумов r = 1, то без ограничения общности можно считать, что единственная точка локальногомаксимума пронумерована, т.е. верно неравенство (3.19). Из теоремы 3.5.6 получаем гомотоe в первом случае и F ∼ F ∼ T 2 × Ke во втором.пические эквивалентности F ∼ F ∼ K(B) следует из предложения 3.3.15 (A) и следствия 3.3.5.(C) следует из предложения 3.3.15 (B).ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА210Предположим теперь, что поверхность M компактна и может иметь непустой край, афункции Морса могут иметь фиксированные критические точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
