Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Отсюда и из (3.82) получаемтребуемое равенствоpX ([f ]top , c0 , u) = pX ([f ]top , c(fc0 ), [αf,u ]) = Ev(fc0 , αf,u ).f является гомеоморфизШаг 4. Покажем, что непрерывная биекция Ev : F1 /D 0 → M−110f → F /D непрерывно. Согласно лемме 3.4.5 имееммом. Осталось доказать, что Ev : Mнепрерывное (ввиду гладкости семейства) отображениеsef : S[f ]top × Uf∞ → F1 ,(c0 , u) 7→ (fc0 , αf,u ),(3.83)для которого ввиду (3.82) выполненоEv ◦ q ◦ sef (c0 , u) = Ev ◦ sef (c0 , u) = pX ([f ]top , c0 , u),(c0 , u) ∈ S[f ]top × Uf∞ ,где q : F1 → F1 /D 0 – проекция. ПоэтомуEv−1◦ pX |{[f ]top }×S[f ]top ×Uf∞ ([f ]top , c0 , u) = q ◦ sef (c0 , u),(c0 , u) ∈ S[f ]top × Uf∞ .(3.84)ГЛАВА 3.199ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА−1Отсюда и из непрерывности отображения q ◦ sef следует непрерывность отображения Ev .f[f ]top открыто в M,f а отображениеДействительно, по утверждению 3.4.4 подмножество Mf[f ]top есть композиция накрытия {[f ]top } ×pX |{[f ]top }×S[f ]top ×Uf∞ : {[f ]top } × S[f ]top × Uf∞ → MfstS[f ]top ×U ∞ → {[f ]top }× M= υ [f ]top (см.
(3.71)) и гомеоморфизма pY |υ: υ [f ]top →f[f ]top[f ]topf[f ]top , а потому оно локально является гомеоморфизмом. Утверждение 3.4.7 доказано.M3.4.4fD 0 -эквивариантный гомеоморфизм p3 : F1 → D 0 × Mbf \ C| = pb + qb + rb − (p∗ + q ∗ + r∗ ) отОбозначение 3.4.8. Предположим, что количество |Cмеченных, но не фиксированных, критических точек любой функции f ∈ F положительно.ef ⊆ Cbf \C и для любой функции f ∈ F обозначим черезФиксируем непустое подмножество C∗∗ef ⊆ Cbf \ C множество ее критических точек с теми же метками, что и точки множества Cef .C∗ef = Cef } ⊂ F. Оно является обобщенным проРассмотрим подпространство F∗ := {f ∈ F | C∗странством функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ) (см.
определение 3.1.3), каждаяef | = |C∗ | ∈ (|C|, |Cbf |] фиксированных критических тофункция которого имеет ровно |C| + |C∗ef и C∗ := Cλ ∩ C∗ суть множества всех фиксированных критических точекчек, где C∗ := C t C∗λbf , см.и фиксированных критических точек индекса λ ∈ {0, 1, 2} соответственно, C ⊂ C∗ ⊆ C∗определение 3.1.3 (D) и обозначение 3.1.4.
Аналогично обозначению 3.1.4 обозначимD ∗ := Diff + (M, ∂ + M, ∂ − M, C∗0 , C∗1 , C∗2 ),(D ∗ )0 := Diff 0 (M, C∗ ),(F∗ )1 := {(f, α) ∈ F1 | f ∈ F∗ }.В случае (3.19) рассмотрим для пространства F∗ соответствующее 3q-мерное многообразиеf∗ (см. утверждение 3.4.4). Пусть Ev∗ : (F1 )∗ → Mf∗ – вычисляющее отображение, аналоMf (см. (3.81)). По утверждению 3.4.7 оногичное вычисляющему отображению Ev : F1 → M∗∗ 1∗ 0f∗ .индуцирует гомеоморфизм Ev : (F ) /(D ) → MЛемма 3.4.9 ([135, лемма 5.2]).
Для пространств F∗ ⊂ F обобщенных функций Морса (см.обозначение 3.4.8) отображения включения j : D ∗ ,→ D, i : (F∗ )1 ,→ F1 индуцируют изо∼≈=морфизм j : D ∗ /(D ∗ ∩ D 0 ) −→ D/D 0 и гомеоморфизм i : (F∗ )1 /(D ∗ ∩ D 0 ) −→ F1 /D 0 .Если |C∗ | ≤ χ(M ) + 1, то D ∗ ∩ D 0 = (D ∗ )0 , откуда имеются изоморфизм j : D ∗ /(D ∗ )0 =∼=D ∗ /(D ∗ ∩ D 0 ) −→ D/D 0 групп классов отображений и гомеоморфизм i : (F∗ )1 /(D ∗ )0 =≈(F∗ )1 /(D ∗ ∩ D 0 ) −→ F1 /D 0 универсальных пространств модулей, а в случае (3.19) также−1≈f∗ −→f 3q-мерных многообразий (сохраняющийдиффеоморфизм k := Ev ◦ i ◦ Ev∗ : MMаффинную связность и стратификацию).Доказательство.
Непосредственно проверяется, что j – изоморфизм, а i – непрерывная биекция. Докажем непрерывность (i)−1 . Для любой оснащенной функции Морса (f0 , α0 ) ∈ F1рассмотрим диффеоморфизм h0 ∈ D 0 , такой что h∗0 (f0 , α0 ) ∈ (F∗ )1 . Ввиду непрерывностиeef (см. §3.2 или [143]) и локальной триотображения F1 → F1 → M |Cf∗ | , (f, α) 7→ f 7→ Ceef ) = Cef h−1 (со слоем D ∗ ∩ D 0 над точкойвиальности расслоения D 0 → M |Cf∗ | , h 7→ h(C∗∗ef , см. [50]), существуют окрестность U ⊂ F1 оснащенной функции Морса (f0 , α0 ) в F1 иC∗непрерывное отображение H : U → D 0 , такие что H(f0 , α0 ) = h0 и (H(f, α))∗ (f, α) ∈ (F∗ )1для любой (f, α) ∈ U.
Получаем непрерывное отображение U → (F∗ )1 /(D ∗ ∩ D 0 ), (f, α) 7→(i)−1(D ∗ ∩D 0 )((H(f, α))∗ (f, α)), совпадающее с композицией U ,→ F1 → F1 /D 0 −→ (F∗ )1 /(D ∗ ∩D 0 ),откуда следует непрерывность отображения (i)−1 .Пусть |C∗ | ≤ χ(M ) + 1. Включение D ∗ ∩ D 0 ⊇ (D ∗ )0 очевидно. Покажем, что D ∗ ∩ D 0 ⊆(D ∗ )0 . Пусть T ∗ ⊂ D ∗ – подгруппа, аналогичная T ⊂ D, см. обозначение 3.1.4 (B). Так какD ∗ ∩ D 0 ⊆ D ∗ ∩ T = T ∗ и количество фиксированных точек |C∗ | ≤ χ(M ) + 1, то из (3.3)следует (D ∗ )0 = T ∗ ⊇ D ∗ ∩ D 0 .
Лемма доказана.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА200Утверждение 3.4.10 ([135, утверждение 5.3]). В случае (3.19) правое действие группыT ⊂ D (см. обозначения 3.1.4 (B) и 3.2.3) на F1 является свободным. Имеется D 0 -эквивари≈f композиция которого с проекцией D 0 × Mf→Mfантный гомеоморфизм p3 : F1 −→ D 0 × M,00fсовпадает с Ev. Здесь группа D действует на D × M справа по формуле (h1 , h2 , m) 7→f является тривиальным(h2 h1 , m). В частности, вычисляющее отображение Ev : F1 → MD 0 -расслоением, а полный прообраз Forg−11 ([f ]top ) любого класса топологической эквивалентности [f ]top в F1 при забывающем отображении Forg1 : F1 → F1 гомеоморфен прямому0f[f ]top = D 0 × Ev(Forg−1fпроизведению D 0 × υ [f ]top ≈ D 0 × M1 ([f ]top )) ⊂ D × M.Доказательство. Шаг 1.
Докажем свободность действия подгруппы T ⊂ D на F1 . Если h ∈T и h∗ (f, α) = (f, α), то согласно лемме 3.3.10 (т.е. [134, лемма 3.4]) выполнено h ∈ (stabD 0 f )0 ,а потому h переводит в себя каждое ребро графа Gf (см. обозначение 3.1.6). Отсюда следует,что h = idM ввиду единственности диффеоморфизма h ∈ D, сохраняющего оснащеннуюфункцию Морса (f, α) и переводящего любое ребро графа Gf в себя (см.
доказательствоутверждения 3.4.7, шаг 3, инъективность).f → F1 , такое чтоШаг 2. Построим непрерывное (“реализующее”) отображение ρ : M1fEv ◦ ρ = idMf (т.е. правое обратное отображения Ev, т.е. сечение расслоения Ev : F → M).f является гладким 3q-мерным многообразием иСогласно утверждению 3.4.4 пространство Mff Фиксируем на Mf клеточное разбиениепокрыто открытыми подмножествами M[f ]top ⊂ M.(состоящее, вообще говоря, из бесконечного числа клеток), такое что каждая его замкнутаяf[f ]top и характеристическое отображениеклетка целиком содержится в одной из областей Mлюбой клетки является гомеоморфизмом на свой образ. Рассмотрим два случая.f(k) – k-мерный остов клеточСлучай 1.
Предположим, что χ(M ) < p∗ + q ∗ + r∗ . Пусть Mf = 3q. Будем строить отображение ρk : Mf(k) → F1 , такое чтоного разбиения, k ≤ dim Mf(−1) = ∅. ПустьEv ◦ ρk = idMf(k) , индукцией по k. При k = −1 строить нечего, так как Mf(k)k ≥ 0 и отображение ρk−1 построено. Рассмотрим любую k-мерную клетку σ = σ k ⊂ Mf[f ]top .разбиения. По построению ее замыкание целиком содержится в одной из областей M∞Выберем какое-либо поднятие `σ : σ → S[f ]top × Uf замкнутой клетки σ при накрытии∞∞fpX |{[f ]top }×S[f ]top ×Uf∞ ◦ a−1[f ]top : S[f ]top × Uf → M[f ]top , где a[f ]top : {[f ]top } × S[f ]top × Uf →S[f ]top × Uf∞ – проекция. ТогдаpX ◦ a−1(3.85)[f ]top ◦ `σ = idσ .Рассмотрим два (k − 1)-мерных сфероида в F1 :S1 := ρk−1 |∂σk : S k−1 ≈ ∂σ k → F1 ,S2 := sef ◦ `σ |∂σk : S k−1 ≈ ∂σ k → F1 ,см. (3.83).
Тогда Ev ◦ Si = idS k−1 , i = 1, 2, так как Ev ◦ ρk−1 = idMf(k−1) в силу индукционногопредположения иEv ◦ sef ◦ `σ = pX ◦ a−1(3.86)[f ]top ◦ `σ = idσв силу (3.84) и (3.85). Поэтому (в силу инъективности Ev, см. утверждение 3.4.7) для любого m ∈ S k−1 существует диффеоморфизм hm ∈ D 0 , такой что S1 (m) = h∗m (S2 (m)). Этотдиффеоморфизм единствен в силу свободности действия группы D 0 ⊂ T на F1 (см. шаг 1).Получаем однозначное отображениеH = H∂σk : ∂σ k ≈ S k−1 → D 0 ,m 7→ hm ,m ∈ ∂σ k .Докажем непрерывность отображения H.
Так как сфероиды S1 и S2 непрерывны (по индукционному предположению и в силу непрерывности sef и `σ , см. (3.83)), то они задаютнепрерывную зависимость пары оснащенных функций МорсаS1 (m) =: (f, α),S2 (m) =: (f2 , α2 )ГЛАВА 3.201ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАот точки m ∈ S k−1 . Если точка me ∈ S k−1 близка к m, то в силу (3.82) и (3.81) выполненоEv∗∗eS1 (m)e =: (fe, αe) 7→ pX ([f0 ]top , h∗0e]),f,f0 (c(f h)), hf,f0 [h αEv∗∗ee2 ]),S2 (m)e =: (fe2 , αe2 ) 7→ pX ([f0 ]top , h∗0f2 ,f0 (c(f2 h2 )), hf2 ,f0 [h2 α1где f0 ∈ F — отмеченная функция класса топологической эквивалентности [f ]top = [f2 ]top ,диффеоморфизмы h, h2 ∈ D 0 близки к idM и h(Cf ) = Cfe, h2 (Cf2 ) = Cfe2 , hf2 ,f0 := hm hf,f0 .∗∗ee]) =e= Ev(S2 (m)),eто (h∗0Так как h∗f,f0 (f, α) = h∗f2 ,f0 (f2 , α2 ), Ev(S1 (m))f,f0 (c(f h)), hf,f0 [h α∗0∗∗(hf2 ,f0 (c(fe2 h2 )), hf2 ,f0 [h2 αe2 ]), поскольку pX локально является гомеоморфизмом (см.
конец§3.4.3). Так как c(feh) = c(fe2 h2 hm ), то согласно нашему критерию топологической эквивалентности возмущенных функций Морса (см. [145, утверждение 1.1 и §3] или (3.72) илиутверждение 2.5.2) выполнено fehh0 = fe2 h2 hm для некоторого h0 ∈ Diff 0 (M, Cf ), такого чтоавтоморфизм dh0 |yj (f ) : Tyj (f ) M → Tyj (f ) M близок к idTyj (f ) M для любой седловой критическойe e2 ) =точки yj (f ) ∈ Cf,1 . Отсюда и из равенств fehh0 = fe2 h2 hm , [(hh0 )∗ αe] = [(h2 hm )∗ αe2 ] и h∗me (f2 , α(fe, αe) следует (согласно доказательству утверждения 3.4.4, шаг 3, инъективность), что изоморфизм dhme |yj (fe) : Tyj (fe) M → Tyj (fe2 ) M близок к изоморфизму dhm |yj (f ) : Tyj (f ) M → Tyj (f2 ) Me e2 ) = (fe, α(1 ≤ j ≤ q). Отсюда и из равенства h∗me) следует, что в некоторой окрестностиe (f2 , αлюбой седловой критической точки функции (f, α) выполнено hme → m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
