Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В §3.3.3 будет описано построениеe полученного из описанных ручек при помощи“комплекса оснащенных функций Морса” K,описанных отображений инцидентности. Проведем построение в несколько шагов.Построение многогранника D[f ]top для класса топологической эквивалентности[f ]top .Шаг 1 (определение пермутоэдра Pq−1 порядка q и описание его граней).
Напомним определение пермутоэдра из шага 1 доказательства пунктов (Б,В) теоремы 2.7.11, и установимсвойства его граней.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА155Пермутоэдр порядка q — это выпуклый (q − 1)-мерный многогранник Pq−1 , вложенныйв q-мерное пространство, вершины которого получены перестановками координат вектора(1, . . . , q) (впервые такие многогранники изучал Schoute (1911), название появилось в книгеGuiband & Rosenstiehl (1963), более общие “перестановочные многогранники” с множествомвершин Σq изучены Bowman (1972), см.
также доказательство теоремы 2.7.11, шаг 1, т.е. [133,доказательство теоремы 3, шаг 1]). Опишем его подробнее: пусть e1 , . . . ,Peq — стандартныйqq−1qe πk ,базис R , и пусть P⊂ R — выпуклая оболочка множества точек Pπ = qk=1 k − q+12π ∈ Σq . Известно [117], что Pq−1 — это (q − 1)-мерный выпуклый многогранник в евклидовом пространстве Eq−1 := (e1 + . . . + eq )⊥ , имеющий ровно q! вершин Pπ , π ∈ Σq , причемего (q − s)-мерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченнымиразбиениями J = (J1 , . . .
, Js ) множества {1, . . . , q} на s непустых подмножеств J1 , . . . , Js (т.е.{1, . . . , q} = J1 t . . . t Js ), 1 ≤ s ≤ q. А именно, грань τJ ⊂ Pq−1 , отвечающая разбиениюJ = (J1 , . . . , Js ), — это выпуклая оболочка множества точек (Σr1 × Σr2 −r1 × . . . × Σrs −rs−1 )(Pπ ),где числа 0 = r0 < r1 < . . . < rs−1 < rs = q и перестановка π ∈ Σq однозначно определяютсяусловиями (2.21).
Здесь Σr1 × Σr2 −r1 × . . . × Σrs −rs−1 — подгруппа группы Σq , отвечающая разбиению {1, . . . , q} = {1, . . . , r1 }t{r1 +1, . . . , r2 }t. . .t{rs−1 +1, . . . , rs }, и действие перестановкиρ ∈ Σq на точке Pπ дает точку Pρπ , где (ρπ)i := πρi , 1 ≤ i ≤ q.Упорядоченные разбиения J = (J1 , . . . , Js ) множества {1, .
. . , q} можно рассматриватькак отношения частичного порядка на множестве {1, . . . , q}. Если разбиение Jb получаетсяиз разбиения J = (J1 , . . . , Js ) путем измельчения (т.е. разбиения некоторых множеств Jk нанесколько подмножеств), будем писатьJb ≺ J.(3.20)Из описания граней многогранника Pq−1 следует, что условие Jb ≺ J равносильно τJb ≺ τJ ,т.е. примыканию граней (см. определение 3.3.2(D)).Лемма 3.3.7 (о гранях пермутоэдра Pq−1 [134, лемма 3.1]). Пусть фиксирована грань τb ≺Pq−1 .
Для любой грани τ ≺ Pq−1 , такой что τb ≺ τ , рассмотрим соответствующее разбиение J = (J1 , . . . , Js ) и последовательность чисел (|J1 |, . . . , |Js |). Тогда сопоставлениеτ 7→ (|J1 |, . . . , |Js |) (для τb ≺ τ ≺ Pq−1 ) инъективно. В частности, любой автоморфизмпермутоэдра Pq−1 ⊂ Rq , индуцированный перестановкой координатных осей, допустим (см.определение 3.3.1(A)).Доказательство. Пусть τb = τJb, Jb = (Jb1 , . .
. , Jbsb). Ввиду Jb ≺ J упорядоченное разбиение Jполучается из упорядоченного разбиения Jb путем объединения некоторых соседних подмноakSжеств в одно подмножество, т.е. Jk =Jbi , 1 ≤ k ≤ s, для некоторых a0 = 0 < a1 <i=ak−1 +1. . . < as = sb. Поэтому |Jk | =akP|Jbi |. Отсюда следует, что по разбиению Jb и набору чи-i=ak−1 +1сел (|J1 |, .
. . , |Js |) последовательность a0 = 0 < a1 < . . . < as = sb, а потому и разбиение J,определяются однозначно. Лемма доказана.Шаг 2. Для каждой функции Морса f ∈ F рассмотрим множество Cf,1 =: {yj }qj=1 ≈{1, . . . , q} ее седловых критических точек (см. замечание 3.1.7) и евклидово векторное пространство 0-коцепейHf0 := C 0 (Cf,1 ; R) = RCf,1 ∼(3.21)= Rqсо стандартной евклидовой метрикой. В этом векторном пространстве рассмотрим многогранник Pq−1⊂ Hf0 , являющийся образом многогранника Pq−1 ⊂ Rq при какой-либо биекцииfCf,1 → {1, . .
. , q}. Рассмотрим “вычисляющую” 0-коцепьc = c(f ) := f |Cf,1 = (c1 , . . . , cq ) ∈ Hf0 ,ГЛАВА 3.156ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАт.е. функцию c : Cf,1 → R, сопоставляющую каждой седловой точке yj ∈ Cf,1 значениеcj := f (yj ) функции f в этой точке, 1 ≤ j ≤ q. Сопоставим 0-коцепи c = (c1 , . . . , cq ) число s(c) := |{c1 , . . . , cq }| различных седловых значений и упорядоченное разбиение J = J(c) =(J1 , .
. . , Js ) множества седловых точек Cf,1 ≈ {1, . . . , q}, определяемое свойствами (2.21) иcπ1 = . . . = cπr1 < cπr1 +1 = . . . = cπr2 < . . . < cπrs−1 +1 = . . . = cπrs . (То есть, J – это отношениечастичного порядка на множестве Cf,1 седловых критических точек функции f , построенное по значениям функции f |Cf,1 .) Можно также рассматривать J = J(c) как сюръекциюCf,1 → {1, . . . , s}, переводящую yπj 7→ k при rk−1 < j ≤ rk , 1 ≤ j ≤ q.В каждом классе эквивалентности [f ] ∈ F1 / ∼ (соответственно классе топологическойэквивалентности [f ]top ∈ F1 / ∼top ) отметим ровно одну функцию Морса f этого класса, такчтобы любая функция f ∈ F1 , являющаяся отмеченной функцией класса эквивалентности[f ], являлась отмеченной функцией класса топологической эквивалентности [f ]top .
Сопоставим классу топологической эквивалентности [f ]top с отмеченной функцией f и разбиениюJ(c(f )) граньD[f ]top = Df := τJ(c(f )) ⊂ Pq−1f .Шаг 3. Изучим (аналогично шагу 3 доказательства пунктов (Б, В) теоремы 2.7.11) взаимосвязь многогранников D[f ]top , D[g]top для примыкающих классов топологической эквивалентности [f ]top ≺ [g]top .
Для любой функции f ∈ F и соответствующего q-мерного евклидовапространства Hf0 ∼= Rq (см. шаг 2) выполнены следующие два свойства:1) для любого вектора c ∈ Hf0 ∼== Rq существует ε0 > 0, такое что (i) для любого c0 ∈ Hf0 ∼q00R со свойством |c − c| < ε0 выполнено J(c ) J(c), и (ii) для любых ε ∈ (0, ε0 ] и разбиенияbJb J(c) существует c0 ∈ Rq со свойствами |c0 − c| < ε и J(c0 ) = J;2) согласно следствию 2.5.8, любая (“невозмущенная”) функция f ∈ F имеет столь малую окрестность Uf в F, что для любых (“возмущенных”) функций fe, fe1 ∈ Uf равенства[feh−1]fix = [fe1 h−1]fix и J((h−1)∗0 (c(fe))) = J((h−1)∗0 (c(fe1 ))) равносильны, где через0;f,fe top0;f,fe top0;f,fe0;f,fe11h0;f,fe ∈ D 0 обозначен диффеоморфизм, близкий к тождественному, такой что h−1(C ) = Cfe,0;f,fe fчерез h∗0 : H 0 → H 0 индуцированный изоморфизм групп 0-коцепей, а через [feh−1 ]fix0;f,fef0;f,fe topfeобозначен класс топологической эквивалентности функции feh−1с фиксированным множе0;f,feством критических точек (при фиксированной функции f ); в частности, при выполненииуказанных равносильных равенств существует диффеоморфизм h1;feh−1 ,fe1 h−1 ∈ D 0 , гомо0;f,fe0;f,fe1топный idM в пространстве гомеоморфизмов пары (M, Cf ) и переводящий линии уровняфункции fe1 h−1в линии уровня функции feh−1с сохранением направления роста.0;f,fe0;f,fe1В силу этих свойств, для любой функции f ∈ F1 имеется сюръекция δ[f ]top множествавсех граней τ 0 ≺ τ := τJ(c(f )) на множество всех классов топологической эквивалентности[g]top [f ]top (см.
определение 3.3.2(D)), такая что δ[f ]top : τ 0 7→ δτ 0 [f ]top := [fe]top тогда итолько тогда, когдаτ 0 = τJ((h−1 )∗0 (c(fe))) = τJ((h−1 0 )∗0 (c(g))) ,(3.22)0;f,fef,τгде fe ∈ Uf и h0;f,fe как во втором свойстве выше, g — отмеченная функция класса топологической эквивалентности [fe]top ,hf,τ 0 := h0;f,feh1;fe,g ∈ D 0 ,(3.23)00h∗0f,τ 0 : Hf → Hg— индуцированный изоморфизм, а диффеоморфизм h1;fe,g ∈ D 0 переводит линии уровняфункции g в линии уровня функции fe с сохранением направления роста (он существуетввиду топологической эквивалентности функций fe, g), откуда fe = h2 gh−1 для некоторого1;fe,gh2 ∈ Diff [−1; 1].
Корректность определения сюръекции δ[f ]top , т.е. независимость классатопологической эквивалентности δτ 0 [f ]top = [fe]top от выбора функции fe ∈ Uf с заданным+ГЛАВА 3.157ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАзначением J((h−1)∗0 (c(fe))), следует из второго свойства (см. выше). Если диффеоморфизм0;f,fee)∗0 (c(fe))) =hf,τ 0 = h0;f,fe1 h1;fe1 ,g построен с помощью функции fe1 ∈ Uf , такой что J((h−10;f,fehf,τ 0 (см. второе свойство выше)J((h−1 )∗0 (c(fe1 ))), то диффеоморфизм h−1 0 h e −1 e −1 ef,τ0;f,fe11;f h,f 1 h0;f,fe0;f,fe1переводит линии уровня функции g в линии уровня функции g с сохранением направленияроста, а потому ввиду леммы 2.3.2 (т.е.
[132, лемма 1]) принадлежит произведению подгрупп(stabD 0 g) (Diff 0 (M, Cg )) группы D 0 , откуда0eh−1f,τ 0 hf,τ 0 ∈ (stabD 0 g) (Diff (M, Cg )),(3.24)где через stabD 0 g обозначена группа изотропии элемента g относительно естественного правого действия группы D 0 на F1 , а через Diff 0 (M, Cg ) ⊂ D 0 группа диффеоморфизмов пары(M, Cg ), гомотопных idM в классе гомеоморфизмов пары, где Cg — множество критическихточек функции g.Пусть f ∈ F1 — отмеченная функция Морса класса топологической эквивалентности[f ]top .
Для любой грани τ 0 ≺ τJ(c(f )) =: D[f ]top обозначим через g ∈ F1 отмеченную функциюкласса топологической эквивалентности δτ 0 [f ]top и фиксируем диффеоморфизм hf,τ 0 ∈ D 0∗0как в (3.22) и (3.23). Тогда, ввиду равенств (3.22) и (h−1)∗0 (c)) , имеемf,τ 0 ) (τJ(c) ) = τJ((h−1f,τ 0изоморфизм граней0∗00h∗0(3.25)f,τ 0 |τ 0 : τ −→ hf,τ 0 (τ ) = τJ(c(g)) = D[g]top .Из указанных в начале шага двух свойств мы также получаем (аналогично шагу 3 доказательства пунктов (Б, В) теоремы 2.7.11), что из [h]top [g]top [f ]top следует [h]top [f ]top ,иδτ 00 [f ]top = δh∗0 0 (τ 00 ) δτ 0 [f ]top для любых граней τ 00 ≺ τ 0 ≺ τJ(c(f )) .(3.26)f,τПусть g, g1 ∈ F1 — отмеченные функции классов топологической эквивалентности δτ 0 [f ]top ,00δτ 00 [f ]top соответственно, и пусть ge ∈ Ug и h∗0f,τ 0 (τ ) = τJ((h−1)∗0 (c(eg ))) (см.
(3.22), (3.26)). Пока0;g,egжем, что выполнен следующий аналог соотношения транзитивности:0h−1f,τ 00 hf,τ 0 hg,h∗0 0 (τ 00 ) ∈ (stabD 0 g1 ) (Diff (M, Cg1 )),(3.27)f,τгде Cg1 — множество критических точек функции g1 . Действительно, функция fe1 := h2 geh−1∈1;fe,g[g1 ]top близка к функции fe = h2 gh−1 (а потому и к f ); диффеоморфизм h e h0;g,eg h−1 бли1;f ,g1;fe,g1;fe,gзок к idM и переводит критические точки “возмущенной” функции fe1 в критические точки“невозмущенной” функции fe, а потому диффеоморфизмeh0;f,fe1 := h0;f,fe h1;fe,g h0;g,eg h−1∈ D01;fe,gблизок к idM и переводит критические точки “возмущенной” функции fe1 в критические точки“невозмущенной” функции f ; диффеоморфизм h1;fe,g ∈ D 0 переводит линии уровня функцииge в линии уровня функции fe1 с сохранением направления роста, а потому диффеоморфизмeh1;fe1 ,g1 := h1;fe,g h1;eg,g1 ∈ D 0переводит линии уровня функции g1 в линии уровня функции fe1 с сохранением направленияроста.
Отсюдаhf,τ 0 hg,h∗0 0 (τ 00 ) = h0;f,feh1;fe,g h0;g,eg h1;eg,g1 = eh0;f,fe1 eh1;fe1 ,g1 ,f,τт.е. мы разложили диффеоморфизм hf,τ 0 hg,h∗0 0 (τ 00 ) в композицию, аналогичную разложениюf,τhf,τ 00 = h0;f,fe1 h1;fe1 ,g1 , см. (3.23). Ввиду (3.24) это доказывает (3.27).Если h ∈ stabD 0 f , а τ 0 , g как выше, то ввиду (3.22) выполненоh∗0 (τ 0 ) = τJ((h−10;f,feh)∗0 (c(feh)))ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА158и δh∗0 (τ 0 ) [f ]top = [gh]top = [g]top (ввиду h ∈ D 0 ), откудаhf,h∗0 (τ 0 ) = h0;f,feh h1;feh,g = h0 h−1 h0;f,feh h−1 h1;fe,g h1 = h0 h−1 hf,τ 0 h1для некоторых h0 ∈ Diff 0 (M, Cf ) и h1 ∈ D 0 , таких что h1 переводит линии уровня функции g влинии уровня функции g с сохранением направления роста, поэтому h1 ∈ (stabD 0 g)(Diff 0 (M, Cg ))ввиду леммы 2.3.2 (т.е. [132, лемма 1]), откуда0h−1f,τ 0 hhf,h∗0 (τ 0 ) ∈ (stabD 0 g) (Diff (M, Cg )).(3.28)Построение утолщенного цилиндра S[f ]top для класса топологической эквивалентности [f ]topШаг 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
