Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пусть f ∈ F1 — отмеченная функция Морса класса топологической эквивалентности[f ]top . По аналогии с пространством 0-коцепей Hf0 ∼= Rq (см. (3.21)) введем двойственные другдругу векторные пространства относительных 1-гомологий и относительных 1-когомологийнад полем R:Hf,1 := H1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ; R) ∼= R2q ,(3.29)H 1 := H 1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ; R) ∼= HomR (Hf,1 , R) ∼= R2q ,fгде изоморфизмHf1∼= HomR (Hf,1 , R) индуцирован равенствомC q (X, A; R) = Hom(Cq (X)/Cq (A), R)для пары Борсука (X, A) := (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ) при q = 1 (см. [34, §§12.5, 15.2, 15.5]).Рассмотрим ориентированный граф Gf ⊂ M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), см. обозначение 3.1.6. Этот графимеет q вершин (являющихся седловыми точками y1 , .
. . , yq ∈ Cf,1 ), степени всех вершинравны 4, а значит в графе 2q ребер, которые обозначим e1 , . . . , e2q . Обозначим относительныйгомологический класс ориентированного ребра ei через [ei ] ∈ Hf,1 , 1 ≤ i ≤ 2q.Определим в векторном пространстве Hf1 ∼= R2q выпуклые подмножестваU[f ]top ⊂ U[f∞]top ⊂ Hf1(3.30)системами из 4q и 2q неравенств соответственно:(2q − 1)!!1 U[f ]top = Uf := u ∈ Hf 1 ≤ u([ei ]) ≤, 1 ≤ i ≤ 2q ,(3.31)(2q − 2s + 1)!!U[f∞]top = Uf∞ := u ∈ Hf1 | u([ei ]) > 0, 1 ≤ i ≤ 2q ,(3.32)где s = s(c(f )) := |f (Cf,1 )| – количество седловых значений функции f .Шаг 5.
Каждая связная компонента пространства M \ Gf содержит не более одной критической точки функции f (а именно, точки минимума или максимума) и не более однойсвязной компоненты края ∂M , и гомеоморфна либо открытому кругу (с одной критическойточкой), либо полуоткрытому цилиндру S 1 ×[−1; 0) или S 1 ×(0; 1] (c одной компонентой краяS 1 × {±1} ⊂ ∂ ± M ), либо “открытому цилиндру”Z` = Z` (f ) ≈ S 1 × (0; 1),1 ≤ ` ≤ n = n(f ),(3.33)которые вместе со своим замыканием содержатся в (int M )\(Cf,0 ∪Cf,2 ), где n = n(f ) — количество открытых цилиндров.
Сопоставим открытому цилиндру Z` его серединную окружность 11γ` = γ` (f ) = S ×⊂ Z` = S 1 × (0; 1)(3.34)2и следующее линейное векторное поле v` на векторном пространстве Hf1 . Значение v` (u) ∈ Hf1поля v` в любой точке u ∈ Hf1 — это относительный 1-коцикл, значение которого на любомотносительном 1-цикле a ∈ H1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ) ⊂ Hf,1 определяется формулойv` (u)([a]) := h[γ` ], ai u([γ` ]),u ∈ Hf1 , a ∈ H1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ) ,(3.35)ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА159где h[γ` ], ai — индекс пересечения цикла [γ` ] ∈ H1 (M \ Cf ) ⊂ Hf,1 и относительного циклаa, 1 ≤ ` ≤ n. Другими словами, линейное векторное поле v` на Hf1 задается R-линейнымоператором Hf1 → Hf1 , являющимся обратным образом при изоморфизме Hf1 ∼= HomR (Hf,1 , R)R-линейного оператора Hf,1 → Hf,1 , a 7→ h[γ` ], ai[γ` ].
На шаге 6 мы установим свойствавекторных полей v1 , . . . , vn . Определим диффеоморфизмh` := tγ` ∈ stabD f ⊂ D,1 ≤ ` ≤ n,(3.36)как скручивание Дэна tγ` (см. [67]) вокруг окружности γ` (скручивание Дэна tγ` совпадаетс idM вне открытого цилиндра Z` и получается с помощью разрезания поверхности вдольокружности γ` , перекручивания одного конца разреза на 2π и cклеивания). Диффеоморфизмы h` , 1 ≤ ` ≤ n, попарно коммутируют, так как их носители попарно не пересекаются.Рассмотрим порожденную ими абелеву группуΘ[f ]top = Θf := hh1 , . . .
, hn i ⊂ stabD f ⊂ D.Рассмотрим индуцированные автоморфизмы h∗` ∈ Aut(Hf1 ), 1 ≤ ` ≤ n, и порожденную имиабелеву группу(3.37)Θ∗[f ]top = Θ∗f = hh∗1 , . . . , h∗n i ⊂ Aut(Hf1 ).∗1Нетрудно показать, что подгруппа Θf ⊂ Aut(Hf ) изоморфна свободной абелевой групперанга n, и что автоморфизм h∗` совпадает с потоком gv1` : Hf1 → Hf1 векторного поля v` завремя 1, 1 ≤ ` ≤ n. Рассмотрим в группе Θ∗f ∼= Zn подгруппу (D 0 ∩ Θf )∗ ⊂ Θ∗f и рассмотримпространства орбитS[f ]top = Sf := Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ ,∞∞0∗S∞[f ]top = Sf := Uf /(D ∩ Θf ) .Рассуждения на следующих шагах проводятся для Uf , но верны и для Uf∞ .Шаг 6.
На этом шаге определяется свободное действие цилиндра Rn−d × (S 1 )d на пространстве Sf , где d = d([f ]) — ранг группы (D 0 ∩ Θf )∗ (как свободной абелевой группы).Построим явно базис векторного пространства Hf1 ∼= R2q . Если количество n = n(f ) отef := Gf . Если n > 0,крытых цилиндров Z` ⊂ M \ Gf (см. (3.33)) равно нулю, положим Gбудем выкидывать из графа Gf по одному (открытому) ребру, чтобы каждый раз количествокомпонент связности дополнения графа в M , не пересекающихся с (∂M ) ∪ Cf,0 ∪ Cf,2 , уменьшалось на 1. Так как для графа Gf указанное количество равно n, то после выкидыванияиз него n ребер (для определенности e1 , . .
. , en ) указанным алгоритмом их количество станетравным нулю, и получится подграф с q вершинами и 2q − n ребрами en+1 , . . . , e2q . В каждомоткрытом цилиндре Z` проведем (отрытое) ориентированное ребро ee` , гладко вложенное вэтот цилиндр, с концами в седловых точках, такое, что ограничение функции f на это ребромонотонно возрастает. Добавим к полученному подграфу n ориентированных реберee` ⊂ Z` ,1≤`≤nef ⊂ (int M ) \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) с(взамен выброшенных e1 , .
. . , en ). В результате получим граф Gef в2q ребрами ee1 , . . . , een , en+1 , . . . , e2q и q вершинами y1 , . . . , yq . Так как дополнение графа Gповерхности M состоит из открытых кругов (содержащих по одной точке минимума или макefсимума) и полуоткрытых цилиндров (содержащих по одной компоненте края M ), то граф Gявляется строгим деформационным ретрактом поверхности M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ).
Следовательно,ef ,→ M \(Cf,0 ∪Cf,2 ) индуцирует изоморфизмы 2q-мерных векторных пространстввложение Gef , Cf,1 ; R) ∼H1 (G= Hf,1 ,ef , Cf,1 ; R) ∼H 1 (G= Hf1 .Относительные классы гомологий[ee1 ], . . . , [een ],ef , Cf,1 ; R)[en+1 ], . . . , [e2q ] ∈ H1 (GГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА160ef образуют базис пространства H1 (Gef , Cf,1 ; R) ∼ориентированных ребер графа G= Hf,1 ∼= R2q .Переход к двойственному базису дает базис[ee1 ]∗ , . .
. , [een ]∗ ,ef , Cf,1 ; R)[en+1 ]∗ , . . . , [e2q ]∗ ∈ H 1 (Gef , Cf,1 ; R) ∼векторного пространства H 1 (G= Hf1 ∼= (Hf,1 )∗ ∼= R2q .Пусть ue1 , . . . , uen , u0n+1 , . . . u02q — координаты в векторном пространстве Hf1 по отношению∗к базису [ee1 ] , . . . , [een ]∗ , [en+1 ]∗ , . . . , [e2q ]∗ . Рассмотрим разложениеe1 ]∗ , .
. . , [een ]∗ } ⊕ Span{[en+1 ]∗ , . . . , [e2q ]∗ }.Hf1 = Span{[e(3.38)Представим любой относительный коцикл u ∈ Hf1 как сумму u = ue + u0 его проекций наподпространства в разложении (3.38). Нетрудно доказывается, что[ei ] ∈ Span{[en+1 ], . . . , [e2q ]} = Im [H1 (Gf , Cf,1 ; R) → Hf,1 ] , 1 ≤ i ≤ 2q,(3.39) 1∗ n1∗ 2q1∼Span{[ee` ] }`=1 = ker Hf → H (Gf , Cf,1 ; R) , Span{[ei ] }i=n+1 = H (Gf , Cf,1 ; R).Отсюда u([ei ]) = u0 ([ei ]), 1 ≤ i ≤ 2q.
Положим(2q−1)!!00∗ 2q0Uf := u ∈ Span{[ei ] }i=n+1 1 ≤ u ([e` ]) ≤, 1 ≤ ` ≤ 2q ,(3.40)(2q − 2s + 1)!!ср. (3.31). Тогда u ∈ Uf в том и только том случае, когда u0 ∈ Uf0 , причем Uf0 — выпуклыймногогранник. Поэтому справедливо разложениеUf = Span{[ee1 ]∗ , . . . , [een ]∗ } ⊕ Uf0 ,где Uf0 ⊂ Span{[en+1 ]∗ , . . . , [e2q ]∗ }.(3.41)В базисе [ee1 ]∗ , . . . , [een ]∗ , [en+1 ]∗ , . . .
, [e2q ]∗ пространства Hf1 линейные векторные поля v1 , . . . ,1vn на Hf имеют видv` (u) = u([γ` ]) [ee` ]∗ , Span{v` (u)}n`=1 ⊆ Span{[ee` ]∗ }n`=1 = ker Hf1 → H 1 (Gf , Cf,1 ; R) , (3.42)т.е. касательны каждой плоскости Span{[ee1 ]∗ , . . . , [een ]∗ }+u0 ⊂ Hf1 , u0 ∈ Span{[en+1 ]∗ , . . . , [e2q ]∗ },и всюду на ней имеют постоянные коэффициенты ввиду (3.39). Поэтому каждая такая nмерная плоскость инвариантна относительно потоков векторных полей v1 , . . . , vn на Hf1 иэти поля коммутируют. Так как при u0 ∈ Uf0 эти векторные поля (с постоянными коэффициентами) линейно независимы в указанной плоскости, то их потоки gvt11 .
. . gvtnn порождаютсвободное действие группы Rn на пространстве Uf , см. (3.41), причем орбиты этого действияявляются n-мерными плоскостями Span{[ee1 ]∗ , . . . , [een ]∗ } + u0 ⊂ Uf , u0 ∈ Uf0 . Так как группа Rnдействует свободно на Uf , то ее стандартная целочисленная решетка Zn ⊂ Rn тоже действует свободно на Uf . Так как действие `-го базисного элемента решетки Zn совпадает с `-ымбазисным элементом gv1` = h∗` ∈ Aut(Hf1 ) группы Θ∗f ∼= Zn (см. (3.36), (3.37)), то действиегруппы Θ∗f ⊂ Aut(Hf1 ) на Uf свободно и коммутирует с действием Rn на Uf (заданным припомощи потоков векторных полей v1 , .
. . , vn ). Поэтому действие группы Rn на Uf индуцируеткорректно определенное свободное действие цилиндра Rn /Z d ∼= Rn−d × (S 1 )d на факторпространстве Sf = Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ , где (D 0 ∩ Θf )∗ ∼= Z d ⊂ Zn — подгруппа группы Θ∗f ∼= Zn ⊂ Rn ,и через d = d([f ]) обозначен ее ранг (как ранг свободной абелевой группы).Все рассуждения данного шага верны для Uf∞ , (Uf0 )∞ вместо Uf , Uf0 , где (Uf0 )∞ определяется аналогично (3.40).Шаг 7. На этом шаге вводится на пространстве Sf структура утолщенного цилиндра (см.определение 3.3.1). Для этого будут построены специальные (криволинейные) координатына выпуклом множестве Uf ⊂ Hf1 и на утолщенном цилиндре Sf = Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ , в которыхпостроенные выше свободные действия группы Rn на Uf и цилиндра Rn /Z d ∼= Rn−d × (S 1 )dна Sf “выпрямляются”.Построим явно набор образующих группы (D 0 ∩ Θf )∗ ⊂ Θ∗f ⊂ Aut(Hf1 ).
Напомним, чтонабором свободных образующих группы Θ∗f ∼= Zn является набор автоморфизмов h∗1 , . . . , h∗n ∈ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА161Aut(Hf1 ), отвечающих открытым цилиндрам Z1 , . . . , Zn , где n = n(f ), см. (3.33). Покажем,что после подходящей перенумерации цилиндров Z` (и отвечающих им автоморфизмов h∗` )подгруппа (D 0 ∩ Θf )∗ ⊂ Θ∗f ∼= Zn раскладывается в прямое произведение подгрупп(D 0 ∩ Θf )∗ = Θ∗f,0 × Θ∗f,1 × .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
