Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Также доказан аналог последнего утверждения для ограничений указанных гомотопических эквивалентностей на классы топологической эквивалентности [f ]top (определение 3.1.5 (Б), теоремаГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА1493.2.5, см. [143, теорема 2.5]). Последнее дает положительный ответ на вопрос, поставленныйВ.И. Арнольдом.В этом и двух следующих параграфах 3.3—3.5 мы изучим (в большинстве случаев, см.(3.19)) комбинаторное описание пространства F оснащенных функций Морса и, в частноe (аналог параметрического hсти, докажем гомотопическую эквивалентность F ∼ D 0 × Ke — “утолщенный” комплекс функций Морса на M , такжепринципа, см.
теорему 3.2.8), где Kназываемый “комплексом оснащенных функций Морса” (см. замечание 3.1.1). Таким образом, мы сведем задачу об изучении топологии пространства F к комбинаторной задаче — обeизучении топологии полиэдра K.Данный параграф имеет следующую структуру. В §3.3.1 вводится понятие косого цилиндрически-полиэдрального комплекса и формулируются основные результаты настоящего параграфа (теорема 3.3.3 и следствие 3.3.6).
В §3.3.2 описывается построение стандартнойкосой цилиндрической ручки Dst[f ]top , отвечающей классу топологической эквивалентности1[f ]top функции Морса f ∈ F , и изучены отображения инцидентности между парами ручек, отвечающими парам примыкающих друг к другу классов топологической эквивалентности [f ]top ≺ [g]top функций (определение 3.3.2(D), леммы 3.3.7–3.3.11).
В §3.3.3 описываe оснащенных функций Морса (иется построение комбинаторного объекта — комплекса Kf и доказывается, что он является косым цилиндрическисодержащего его многообразия M)полиэдральным комплексом (теоремы 3.3.13, 3.3.14). В §3.3.4 описано построение гладкогоf (теорема 3.3.14). В §3.3.5 завершается доказательстратифицированного многообразия Mство теоремы 3.3.3, для полноты изложения исследуется торичность косых цилиндрическихe (предложение 3.3.15) и доказывается существование полиэдрального комручек комплекса Ke → Ke функций Морса и проекции Ke (следствие 3.3.5).
В §3.3.6 из теоремы 3.3.3плекса Ke стандартными методами теории Морса,выводится следствие 3.3.6 о гомологиях комплекса Ke (предложение 3.3.17).а также доказываются некоторые свойства когомологий комплекса K3.3.1Точные формулировки основных результатовВсюду в дальнейшем мы предполагаем, что поверхность M ориентирована. Случай неориентируемой поверхности M рассматривается как в замечении 3.2.7.Косые цилиндрически-полиэдральные комплексыВсюду в данном параграфе многогранники выпуклы и имеют размерность ≤ 2q, а евклидовы многогранники ≤ q − 1.
Под выпуклым многогранником (соответственно евклидовымвыпуклым многогранником) понимаем выпуклую оболочку конечного подмножества векторного пространства R2q (соответственно евклидова пространства Eq−1 ), а под изоморфизмоммногогранников — биекцию между многогранниками, продолжающуюся до аффинного изоморфизма (соответственно изометрии) объемлющих пространств.Утолщенный цилиндр — это главное расслоение над выпуклым многогранником со слоемстандартный цилиндр Rc × (S 1 )d (где прямые сомножители S 1 в разложении цилиндра неупорядочены), а стандартная цилиндрическая ручка — это прямое произведение евклидовавыпуклого многогранника и утолщенного цилиндра.
Уточним и обобщим эти понятия.Определение 3.3.1 (стандартная косая цилиндрическая ручка). (A) Утолщенным цилиндром назовем прямое произведение S := (Rc × (S 1 )d ) × P , где P — выпуклый многогранник, S 1 = R/Z, c, d ∈ N ∪ {0}. Гомеоморфизм h : S1 → S2 между утолщенными цилиндрами назовем допустимым, если c1 = c2 =: c, d1 = d2 =: d, существуют биекцииπ ∈ Σc и ρ ∈ Σd , изоморфизм многогранников a : P1 → P2 и непрерывное отображениеГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА150δ = (δ1 , .
. . , δc+d ) : P1 → Rc × (S 1 )d , такие что для любого (x1 , . . . , xc , ϕ1 , . . . , ϕd , u) ∈ S1 выполненоh(x1 , . . . , xc , ϕ1 , . . . , ϕd , u) = (xπ(1) , . . . , xπ(c) , ϕρ(1) , . . . , ϕρ(d) , 0) + (δ1 (u), . . . , δc+d (u), a(u)).Автоморфизм b : D → D евклидова многогранника (т.е. изоморфизм на себя) назовемдопустимым, если он тривиален или не имеет неподвижных вершин, а для любой граниτ ⊂ ∂D выполнено либо b(τ ) = τ , либо τ ∩ b(τ ) = ∅.(B) Стандартной цилиндрической ручкой назовем прямое произведение D × S евклидовавыпуклого многогранника D и утолщенного цилиндра S (см.
(А)). Гомеоморфизм D1 × S1 →D2 × S2 между стандартными цилиндрическими ручками назовем изоморфизмом, если онявляется прямым произведением изоморфизма b : D1 → D2 евклидовых многогранников идопустимого гомеоморфизма S1 → S2 утолщенных цилиндров (см. (A)).Автоморфизм D × S → D × S стандартной цилиндрической ручки назовем допустимым,если либо он совпадает с тождественным, либо хотя бы один из соответствующих автоморфизмов многогранников b : D → D, a : P → P и перестановок π ∈ Σc и ρ ∈ Σd нетривиален,причем автоморфизм b : D → D допустим (см. (A)) и выполнены следующие (необязательные в общем случае, но выполненные для комплексов оснащенных функций Морса в случае(3.19)) дополнительные условия: перестановка π ∈ Σc всегда тривиальна, в случае тривиальности автоморфизма a : P → P автоморфизм b : D → D тривиален, а в случае тривиальности b перестановка ρ ∈ Σd и автоморфизм a2 : P → P тривиальны.(C) Стандартной косой цилиндрической ручкой назовем пространство орбит Dst := (D ×S)/Γ свободного действия (автоматически конечной) группы Γ на стандартной цилиндрической ручке D × S допустимыми автоморфизмами (см.
(B)). Размерность k многогранникаD = Dk назовем индексом ручки D = Dst , подмножество ∂D := ((∂D) × S)/Γ ⊂ D назовем◦ее подошвой, а дополнение D := D \ ∂D — открытой стандартной (косой) цилиндрическойручкой, отвечающей ручке D. Для любой грани D0 ⊂ ∂D образ подмножества D0 × S ⊂ D × Sпри проекции D × S → Dst назовем (косой) гранью стандартной (косой) ручки Dst . (Косаягрань всегда является стандартной косой цилиндрической ручкой ввиду допустимости авstтоморфизма b : D → D из (B), см. (A).) Гомеоморфизм Dst1 → D2 между стандартнымикосыми цилиндрическими ручками назовем изоморфизмом, если он поднимается до изоморфизма D1 × S1 → D2 × S2 соответствующих стандартных цилиндрических ручек.
Автоморфизм Dst → Dst стандартной косой цилиндрической ручки назовем допустимым, если онподнимается до допустимого автоморфизма D × S → D × S соответствующей стандартнойцилиндрической ручки (см. (B)).(D) Погружение i : S1 # S2 между утолщенными цилиндрами Sj = (Rcj × (S 1 )dj ) × Pj ,j = 1, 2 (см. (A)), назовем допустимым, если существуют отображения π : {1, .
. . , c2 + d2 } →{0, 1, . . . , c1 + d1 } и η : {1, . . . , c1 + d1 } → {1, −1}, такие что {1, . . . , c1 } ⊂ π({1, . . . , c2 }) ⊂{0, 1, . . . , c1 }, π|{1,...,c2 }∩π−1 {1,...,c1 } инъективно, {c1 + 1, . . . , c1 + d1 } ⊂ π({c2 + 1, . . . , c2 + d2 }),η({1, . . . , c1 }) = 1, а также существуют отображение a : P1 → P2 , продолжающееся до аффинного, и непрерывное отображение δ = (δ1 , . . .
, δc2 +d2 ) : P1 → Rc2 × (S 1 )d2 , такие чтоi(x1 , . . . , xc1 +d1 , u) = (η(π(1)) xπ(1) , . . . , η(π(c2 + d2 )) xπ(c2 +d2 ) , 0) + (δ1 (u), . . . , δc2 +d2 (u), a(u))для любого (x1 , . . . , xc1 +d1 , u) ∈ S1 , где последние dj координат любой точки из Rcj × (S 1 )djрассматриваются по модулю 1 при j = 1, 2, x0 := 0, η(0) := 1.
Погружение D1 × S1 # D2 × S2между стандартными цилиндрическими ручками (см. (B)) назовем допустимым, если оноявляется прямым произведением изоморфизма D1 → D2 евклидовых многогранников и доstпустимого погружения S1 # S2 утолщенных цилиндров. Вложение Dst1 ,→ D2 между стандартными косыми цилиндрическими ручками (см. (C)) назовем мономорфизмом, если оноподнимается до допустимого погружения D1 × S1 # D2 × S2 соответствующих стандартныхцилиндрических ручек.ГЛАВА 3.151ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАПусть X — топологическое пространство. Следующее определение обобщает определение2.7.9.Определение 3.3.2 (косой цилиндрически-полиэдральный комплекс). (A) Будем говорить,что на подмножестве D ⊂ X задана структура (косой) цилиндрической ручки, и называтьэто подмножество (косой) цилиндрической ручкой, если D замкнуто в X, и фиксированыстандартная (косая) цилиндрическая ручка Dst с точностью до изоморфизма, и гомеомор≈физм ϕD : Dst −→ D (называемый характеристическим отображением (косой) ручки D)с точностью до допустимых автоморфизмов стандартной (косой) ручки Dst .
Подмножество∂D := ϕD (∂Dst ) назовем подошвой (косой) ручки D. Вложение i : D1 ,→ D2 между (косыми)цилиндрическими ручками назовем мономорфизмом, если вложение ϕ−1D2 ◦i◦ϕD1 соответствующих стандартных (косых) ручек является мономорфизмом.(B) Пространство X назовем (косым) цилиндрически-полиэдральным комплексом, если◦Sфиксировано разбиение X = ni=1 Di , где n ≤ ∞, на попарно непересекающиеся подмноже◦ства Di , называемые открытыми (косыми) цилиндрическими ручками разбиения, и для каж◦дой открытой ручки Di фиксирована структура (косой) цилиндрической ручки на ее замыка◦◦нии Di := Di , называемом (косой) цилиндрической ручкой разбиения, такая что Di = Di \ ∂Di ,причем выполнены следующие условия:≈(c) для любой (косой) ручки Di ограничение характеристического отображения ϕDi : Dsti −→stst 0Di на произвольную (косую) грань (Di ) ⊂ ∂Di соответствующей стандартной (косой)st 0ручки Dsti является мономорфизмом (Di ) ,→ Dj в некоторую (косую) ручку Dj (см.(A) и определение 3.3.1(C,D)), откуда подошва ∂Di любой (косой) ручки Di индекса kсодержится в объединении конечного числа (косых) ручек индекса k − 1;(w) подмножество Y ⊂ X замкнуто тогда и только тогда, когда для любой (косой) ручкиDi замкнуто пересечение Y ∩ Di .Максимальный индекс (косых) цилиндрических ручек (косого) цилиндрическиполиэдрального комплекса назовем рангом этого комплекса.(C) Если для каждой (косой) цилиндрической ручки Di ⊂ X выполнено c = d = dim P = 0,получаем определение строгого полиэдрального комплекса (см.
определение 2.7.9 (A) или[133]). Определение полиэдрального комплекса имеется, например, в [57].(D) Пусть σ, τ ⊂ X – два непересекающихся подмножества топологического пространстваX (например, две открытые клетки клеточного комплекса). Будем говорить, что σ примыкает к τ и писать τ ≺ σ (и τ̄ ≺ σ̄), если τ ⊂ ∂σ := σ̄ \ σ.
Пишем τ σ, если τ ≺ σ илиτ = σ.Сформулируем основной результат данного параграфа, описывающий комбинаторныйe оснащенных функций Морса, ассоциированный с пространством F.объект — комплекс KСледующая теорема обобщает теорему 3.2.8(А—В) на случай, когда у рассматриваемыхфункций Морса пронумерованы не обязательно все критические точки, а лишь > χ(M )критических точек. Например, эта теорема применима также в случае обычных функцийМорса, критические точки которых не пронумерованы, на поверхностях M отрицательнойэйлеровой харатеристики χ(M ) < 0.Теорема 3.3.3 ([134, теорема 2.6]). Пусть M — связная компактная ориентируемая поверхность с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательныеграничные окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
