Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 42
Текст из файла (страница 42)
определения 3.2.2). Предположим, что количество pb + qb+ rb пронумерованных критических точекпревосходит χ(M ). Тогда:(A) Существует косой цилиндрически-полиэдральный комплекс(e =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ,e = 3q − 2, q ≥ 2,Kdim K0,q = 1,(называемый комплексом оснащенных функций Морса) ранга q − 1, косые цилиндрическиеручки которого находятся во взаимно однозначном соответствии с классами топологической эквивалентности [f ]top функций Морса f ∈ F1 . Индекс ручки D[f ]top , отвечающей классу топологической эквивалентности [f ]top , равен q − s(f ), где s(f ) — количество седловыхкритических значений функции f .
Подошва ∂D[f ]top ручки D[f ]top содержится в объединенииручек D[g]top , таких что [f ]top ≺ [g]top .e автоморфизмами косого(B) Дискретная группа D ± /D 0 кокомпактно действует на Kцилиндрически-полиэдрального комплекса, причем индуцированное действие на множествеГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА123ручек согласовано с естественным действием на множестве F1 / ∼top классов топологической эквивалентности функций.
В частности, для любого класса топологической эквивалентности [f ]top все ручки D[f h]top , h ∈ D ± , гомеоморфны одной и той же стандартнойкосой цилиндрической ручке(D[f ] × S[f ] )/Γ[f ] ≈ (D[f ] × (Rc([f ]) × (S 1 )d([f ]) ) × P[f ] )/Γ[f ] ∼ (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ,где [f ] — класс эквивалентности функции f ∈ F1 , Γ[f ] — конечная группа, действующаясвободно на стандартном утолщенном цилиндре D[f ] × S[f ] и на торе (S 1 )d([f ]) композициями сдвигов и перестановок прямых сомножителей S 1 в произведении (S 1 )d([f ]) , см. опреe на D ± /D 0 деление 3.3.1(В).
Имеется D ± /D 0 -эквивариантный гомеоморфизм полиэдра Kинвариантное подмножество некоторого гладкого 3q-мерного многообразияf=Mfp+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+Mс плоской аффинной связностью, на котором группа D ± /D 0 действует диффеоморфизмами, сохраняющими связность.(C) Существуют гомотопические эквивалентности и гомеоморфизмef ∼ RD 0 × K,F ∼ F1 ∼ F ∼ F1 ≈ D 0 × Mгде RD 0 – одно из многообразий RP 3 , S 1 , S 1 × S 1 и точка, см.
(3.2).(D) Для любой функции Морса f ∈ F1 имеются гомотопические эквивалентности игомеоморфизмf[f ]top ∼ D 0 × ((S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ) ∼ RD 0 × ((S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ),[f ]top ∼ Forg−1 ([f ]top ) ≈ D 0 × M1f[f ]top ⊂ Mf и (S 1 )d([f ]) – соответствующиегде Forg1 : F1 → F1 – забывающее отображение, M(s([f ]) + 2q)-мерное подмногообразие и тор.e = βj (M)f = 0 при любом j ≥ 3q − 1; βj (F) = 0 при любом j ≥ 3q + 2.(E) βj (K)(F) Пусть M̄ = S 2 (обозначение 3.1.4) и p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) + 1 ≤ pb + qb + rb. Тогдаe = K является конечным, связным и компактным косым торическиD = D 0 , комплекс Kполиэдральным комплексом; полином Пуанкаре полиэдра K имеет видXXP (K; t) =tq−s(f ) P (D[f ] ; t) − (1 + t)R1 (t) =tq−s(f ) (1 + t)d([f ]) − (1 + t)R(t)[f ]∈F1 /∼[f ]∈F1 /∼для некоторых многочленов R1 (t) и R2 (t) с целыми неотрицательными коэффициентами,R(t) = R1 (t) + R2 (t).
В частности, верны неравенства Морса:f = (−1)q−1 [f ] ∈ F1 / ∼ | s(f ) = 1 ,χ(K) = χ(M)βj (K) ≤ qj , j ≥ 0.Для полноты изложения мы также получаем следующие дополнительные результаты:e функций Морса, ассо• в случае pb + qb + rb > χ(M ) построен полиэдральный комплекс Kциированный с пространством F, если все критические точки локальных экстремумовпронумерованы или все седловые критические точки пронумерованы;e получен критерий того, когда проекция• доказана несжимаемость ручек комплекса K;e → Ke является гомотопической эквивалентностью (предложение 3.6.4); полученыKe являются цилиндрическими ручкакритерии того, когда все косые ручки комплекса Kми или гомотопически эквивалентны торам (предложение 3.3.15);• описаны гомотопические типы большинства пространств F функций Морса с количеством седел q ≤ 2 (примеры 3.6.2 и 3.7.9); в частности показано, что пространствоF = F1,2,1 (T 2 ) функций МорсаWс 4 критическими точками на двумерном торе гомотопически эквивалентно (S 1 )2 × ( S 1 ), и поэтому его первое, второе и третье числа Беттибесконечны;NГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА124• в общем случае (без предположения о выполнении неравенства pb+ qb+br > χ(M ) и о морсовости функций f ∈ F) построено гладкое стратифицированное многообразие B (универсальное пространство модулей оснащенных функций на компактной связной ориентируемой поверхности M с s(M ) отмеченными точками, где s(M ) := max{0, χ(M ) + 1}при ∂M = ∅, s(M ) := 1 и отмеченная точка принадлежит ∂M при ∂M 6= ∅), ассоциированное с пространством F гладких функций с заданными локальными особенностямитипов Aµ на гладкой двумерной замкнутой ориентируемой поверхности M ; доказаныгомотопические эквивалентности F ∼ B и [f ]top ∼ B[f ]top , f ∈ F1 , где B[f ]top ⊂ B —страт, отвечающий классу [f ]top топологической эквивалентности (определение 2.2.4(B)) функции f ∈ F (теоремы 3.7.1 и 3.7.6);• в общем случае (без предположения о выполнении неравенства pb+ qb+br > χ(M ) и о морсовости функций f ∈ F) показано, что пространство F гладких функций с заданнымилокальными особенностями типов Aµ на гладкой двумерной замкнутой ориентируемойповерхности M имеет ту же топологию, что и соответствующее пространство морсовских функций (с некоторыми метками в критических точках), а именно: классифицирующее многообразие B (имеющее гомотопический тип пространства F) гомеоморфноуниверсальному пространству модулей оснащенных (см.
§3.7.2) меченых (см. §3.7.3)функций Морса на поверхности M c s(M ) отмеченными точками (утверждения 3.7.4и 3.7.7); в случае M = S 2 , T 2 установлен гомеоморфизм между классифицирующиммногообразием B (имеющим гомотопический тип пространства F) и некоторым открытым подпространством пространства меченых конфигураций p + r различных точек наповерхности M , где p и r — количество точек локальных минимумов и максимумовфункций из пространства F (утверждение 3.7.5).Перейдем к точной формулировке результатов.3.1.1Обобщенные пространства функций МорсаnumВведем пространство F, обобщающее пространства Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) и Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M )из главы 2 и состоящее из функций Морса, у которых некоторые критические точки закреплены, а некоторые пронумерованы.Определение 3.1.3 (расширение определений 2.2.1 и 2.2.2 (А, Б)).
Пусть M — гладкая(т.е. класса C ∞ ) компактная связная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность,край которой пуст или не пуст, с разбиением края ∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительныеи отрицательные граничные окружности. Пусть d+ , d− ≥ 0 — число окружностей в ∂ + M и∂ − M соответственно.(A) Обозначим через C ∞ (M ) пространство гладких (т.е. класса C ∞ ) вещественнозначных функций f на M . Обозначим через C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M ) подпространство,состоящее из таких функций f ∈ C ∞ (M ), что все ее критические точки (т.е. такие точкиx ∈ M , что df |x = 0) принадлежат int M , а любая граничная точка x ∈ ∂M имеет такуюокрестность U в M , что f (U ∩∂M ) = f (x), причем inf(f |U ) = f (x) при x ∈ ∂ − M , и sup(f |U ) =f (x) при x ∈ ∂ + M .e := Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) — пространство функций Морса на (M, ∂ + M, ∂ − M ),(B) Пусть Fимеющих ровно p критических точек локальных минимумов, q седловых точек и r точек локальных максимумов (определение 2.2.1 (Б)).
Как выше, будем предполагать, что выполненоe = ∅.(2.1), так как в противном случае Fb пространство, полученное из Fe введением нумерации у некоторых(C) Обозначим через Fe Обозначимиз критических точек (называемых отмеченными) для функций Морса f ∈ F.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА125количество отмеченных критических точек локальных минимумов, максимумов и седловыхточек через pb, rb, qb соответственно, так что 0 ≤ pb ≤ p, 0 ≤ qb ≤ q, 0 ≤ rb ≤ r.b обозначим через(D) Пусть 0 ≤ p∗ ≤ pb, 0 ≤ q ∗ ≤ qb, 0 ≤ r∗ ≤ rb.
Для каждой функции f ∈ FCf,0 , Cf,1 , Cf,2 множества ее критических точек локальных минимумов, седловых критичеbf,λ ⊆ Cf,λ , λ = 0, 1, 2,ских точек и точек локальных максимумов соответственно, и через Cмножества отмеченных критических точек. Обозначим Cf := Cf,0 ∪ Cf,1 ∪ Cf,2 (множествоbf := Cbf,0 ∪ Cbf,1 ∪ Cbf,2 (множество отмеченных критических товсех критических точек) и Cчек функции f ).
В множестве отмеченных (а потому занумерованных) критических точекобозначим через C∗f,0 , C∗f,1 , C∗f,2 подмножество, состоящее из первых p∗ , q ∗ , r∗ точек соответb Пустьственно. Фиксируем “базисную” функцию f∗ ∈ F.F := Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )b на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ), таких что C∗ = C∗— пространство функций Морса f ∈ Ff,λf∗ ,λдля любого λ = 0, 1, 2. Пространство F мы наделим C ∞ -топологией, см. §3.2.2, и назовем егообобщенным пространством функций Морса на поверхности (M, ∂ + M, ∂ − M ). Обозначимчерез F1 ⊂ F подпространство в F, состоящее из таких функций Морса f ∈ F, что вселокальные минимумы равны f (∂ − M ) = −1, а все локальные максимумы равны f (∂ + M ) = 1.(E) Обозначим через Fnum (соотв. F1,num ) пространство, полученное из пространства F(соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
