Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пункт 2 следует из (2.16) и (2.15), так как (для любого j 6= q, 1 ≤ j < p + q + r)∂tsiq wf (γj ) = hsiq , γj iwf (siq ) равно hsiq , γj i · 3 = 3δij при 1 ≤ i < q и равно hsiq , γj i · 1 = δijпри q < i < p + q + r. Заменяя окружность siq на границу диска D ⊂ M , содержащегоk седловых и ` 6∈ {0, k + 1, p + r} минимаксных критических точек, а кривую γj на любуюкривую γ, ведущую из точки минимакса снаружи D в точку минимакса в D, из (2.16) и (2.15)аналогично получаем ∂t∂D wf (γ) = h∂D, γiwf (∂D) = 1 · (1 + k − `) 6= 0, откуда t∂D 6∈ Df∗ (таккак ∂eh wf (γ) = 0 для любого h ∈ Df∗ , см.
шаг 2).Осталось доказать вторую часть пункта 1. Мы построим требуемую кривую siq , 1 ≤ i < q.Без ограничения общности считаем, что седловые значения f (xi ), f (xq ) превосходят остальные седловые значения f (xj ), 1 ≤ j ≤ q − 1, j 6= i, и существует точка xk локальногомаксимума, в которую входят сепаратрисы α и β поля grad f , выходящие из точек xi и xqсоответственно. Пусть D – маленький круг вокруг xk . Рассмотрим кривую α · β −1 и заменим ее часть (α · β −1 ) ∩ D дугой окружности ∂D, не пересекающей две другие сепаратрисы,выходящие из точек xi и xq (существование такой дуги не ограничивает общности). Рассмотрим связную сумму siq = si #sq окружностей si и sq по отношению к части полученнойкривой между точками пересечения с окружностями si и sq . Покажем, что существует путьиз функции f в функцию f tsiq в пространстве Ffix функций Морса. Этот путь схематическиизображен на рис.
2.5. Теорема 2.7.2 доказана.Шаг 5. Покажем, что подгруппы Hf и Hfabs нормальны в Df∗ . Если h1 ∈ Df∗ (т.е. f h1 ∈ Fffix )и диффеоморфизм d ∈ D ∗ сохраняет функцию f h1 (т.е. f h1 d = f h1 ), то для любого h ∈Df∗ выполнено (f h1 h−1 )(hdh−1 ) = f h1 h−1 , т.е. диффеоморфизм hdh−1 сохраняет функциюГЛАВА 2.111КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙxi •α•xqβ••••••••••••−→??tsiq••Рис. 2.5. Реализация изотопией в Ffix действия на f скручивания Дэна tsiq .f h1 h−1 ∈ Fffix . Так как группа Hf порождена (D ∗ )0 и всеми такими d (или всеми такимиhdh−1 ), то hHf h−1 = Hf . Аналогично доказывается равенство hHfabs h−1 = Hfabs (для этогов качестве d рассматриваются лишь скручивания Дэна). Так как h ∈ Df∗ любой, то подгруппыHf и Hfabs нормальны в Df∗ .Шаг 6.
Пусть M 6= S 2 . Покажем, что Bfabs (Hf ) = Zq−12 . Рассмотрим допустимый для fдиффеоморфизм hiq ∈ Hf ⊂ Df∗ , показанный на рис. 2.4, при 1 ≤ i < q. Легко проверяется,что Bfabs (hiq ) является i-ым элементом стандартного базиса группы Z2q−1 , откуда hiq 6∈ Hfabsпо шагу 2.
Поскольку i любое и Bfabs |Df∗ – гомоморфизм, то Bfabs (Hf ) = Zq−12 . Теорема 2.7.5доказана.2.7.4Почти-эквивалентность функций МорсаВ следствии 2.7.6 описано, какие из соседних групп цепочки (D ∗ )0 ⊂ Hfabs ⊂ Hf ⊂ Df∗ ⊂ D ∗совпадают, кроме случая Hf ⊂ Df∗ при M 6= S 2 . Наша дальнейшая цель — описать конечные множества порождающих элементов факторгрупп Df∗ /Hf и Df∗ /(D ∗ )0 в геометрическихтерминах.Определение 2.7.8 (ср. определение 2.2.4).
Функции Морса f, g ∈ Ffix назовем подобными, если они определяют одно и то же разбиение поверхности M на связные компонентылиний уровня f −1 (a) и g −1 (b), а также один и тот же частичный порядок на множестве седловых критических точек x1 , . . . , xq согласно значениям функции в этих точках; обозначимэто следующим образом: f ≈ g.
Если f ≈ gh для некоторого диффеоморфизма h ∈ D ∗ (соответственно h ∈ (D ∗ )0 ), то функции f, g назовем седло-послойно эквивалентными или почтиэквивалентными (соответственно топологически седло-послойно эквивалентными или топологически почти эквивалентными); обозначим это через f ∼a g (соответственно f ∼a−top g).Классы почти-эквивалентности и топологической почти-эквивалентности функции f обозначим через [f ]a и [f ]a−top соответственно.Если в определении 2.7.8 не налагать условие о частичном порядке на множестве седловых точек, получатся определения послойной подобности, послойной эквивалентностии топологической послойной эквивалентности (см. определение 2.2.4 (C)).
А.Т. Фоменковвел комбинаторные понятия атома и молекулы и доказал, что классы послойной эквивалентности функций Морса на замкнутой поверхности находятся во взаимно однозначномсоответствии с молекулами таких функций (см. предложение 2.4.6 или [10, гл. 2, §§3–8, теорема 8]). Аналогично вводятся понятия нумерованного атома и нумерованной молекулы с помощью нумерации вершин атомов согласно нумерации критических точек x1 , .
. . , xp+q+r (см.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ112определения 2.4.3 и 2.4.5), а также нумерованной седло-упорядоченной молекулы с помощьючастичного порядка на множестве седловых атомов из определения 2.7.8 (см. определение2.4.8 (B)), и доказывается следующий аналог результата из [10].fixс фиксиУтверждение. Классы почти-эквивалентности функций Морса f ∈ Ffix = Fp,q,rрованными критическими точками на замкнутой ориентируемой поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с нумерованными седло-упорядоченными молекулами таких функций. В частности, имеется лишь конечное число классов почтиfix.эквивалентности функций Морса f ∈ Ffix = Fp,q,r2.7.5e K функций Морса, связь с пермутоэдрами. СвязьКомплексы K,образующих группы π1 (K) и групп Df∗ /Hf и Df∗ /(D ∗ )0Определение 2.7.9.
(А) Клеточный комплекс X назовем (строгим) полиэдральным комплексом (ср. [57]), если каждая его замкнутая клетка σ̄ снабжена метрикой, согласованной синдуцированной топологией на σ̄, и изометрична некоторому выпуклому многограннику Pσ ,причем изометрия σ̄ → Pσ изометрично переводит все замкнутые клетки τ̄ ⊂ ∂ σ̄ в гранимногогранника Pσ .e → K полиэдральных комплексов назовем правильным, если его(Б) Отображение r : Ke является изометрией на некоторую клетку σограничение на любую клетку σe комплекса Kкомплекса K.
Клетку σe назовем поднятием клетки σ при r. В частности, r является клеточным отображением. Правильные биекции K → K назовем автоморфизмами полиэдральногокомплекса K.(В) Пусть σ, τ ⊂ X – два непересекающихся подмножества топологического пространстваX (например, две открытые клетки клеточного комплекса).
Будем говорить, что σ примыкает к τ и писать τ ≺ σ (и τ̄ ≺ σ̄), если τ ⊂ ∂σ := σ̄ \ σ. Пишем τ σ, если τ ≺ σ илиτ = σ.e → K полиэдральных комплексов назовем разОпределение 2.7.10. Отображение r : Kветвленным накрытием, если оно правильное (см. определение 2.7.9(Б)) и для любой клеткиe любая клетка σ ⊂ K, примыкающая к клетке τ := r(eτe ⊂ Kτ ) (см. определение 2.7.9(В)),eимеет поднятие σe ⊂ K (см. определение 2.7.9(Б)), примыкающее к клетке τe.Теорема 2.7.11. Пусть количество седловых критических точек q ≥ 1.
Существуют (q −e =1)-мерный выпуклый многогранник Pq−1 и (q − 1)-мерные полиэдральные комплексы Ke p,q,r и K = Kp,q,r (зависящие от чисел p, r, q критических точек локальных минимумов,Kfixмаксимумов и седловых точек), ассоциированные с пространством Ffix = Fp,q,rфункцийr0rq−1eМорса, и разветвленные накрытия K −→ K −→ P , такие что комплекс K конечен исвязен, и выполнены следующие условия:e(А) Пространство Ffix гомотопически эквивалентно полиэдральному комплексу K.e (соответственно K) находятся во взаимно однозначном соот(Б) Клетки комплекса Kветствии с классами [f ]a−top топологической почти-эквивалентности (соответственноклассами [f ]a почти-эквивалентности) функций Морса f ∈ Ffix . Размерность любой клеткиравна q − s(f ), где s(f ) равно количеству седловых критических значений функции f ∈ Ffix ,e (соответственно K) примыкаютотвечающей данной клетке.
Две клетки τ, σ комплекса Kдруг к другу: τ ≺ σ тогда и только тогда, когда соответствующие им классы функцийМорса [f ]a−top ↔ σ, [g]a−top ↔ τ примыкают друг к другу как подмножества Ffix в C ∞ топологии: [f ]a−top ≺ [g]a−top (соответственно [f ]a ≺ [g]a , где [f ]a ↔ σ и [g]a ↔ τ ).e автоморфизмами поли(В) Имеется правое действие группы D ∗ /(D ∗ )0 на комплексе Kэдрального комплекса, согласованное с естественным правым действием группы D ∗ на проe → K является D ∗ /(D ∗ )0 -инвариантным истранстве Ffix . Разветвленное накрытие r : KГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ113переводит друг в друга клетки σe → σ, отвечающие классам [f ]a−top ⊂ [f ]a одной и той жеfixфункции Морса f ∈ F .Доказательство.
Шаг 1. Пусть Pq−1 ⊂ Rq — пермутоэдр порядка q, т.е. выпуклая оболочкаq Xq+1eπk , π ∈ Σq , где e1 , . . . , eq — стандартный базис Rqмножества точек Pπ :=k−2k=1(см. рис. 2.6).Рис. 2.6. Пермутоэдр порядка 4 — усеченный октаэдрИзвестно [117], что Pq−1 – это (q − 1)-мерный выпуклый многогранник в евклидовомпространстве Eq−1 := (e1 + .
. . + eq )⊥ , имеющий ровно q! вершин Pπ , π ∈ Σq , причем его(q − s)-мерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченнымиразбиениями J = (J1 , . . . , Js ) множества {1, . . . , q} на s непустых подмножеств J1 , . . . , Js , т.е.{1, . . . , q} = J1 t . . . t Js ,(2.20)1 ≤ s ≤ q.
А именно, грань τJq−s ⊂ Pq−1 , отвечающая разбиению J = (J1 , . . . , Js ), — этовыпуклая оболочка множества точек (Σr1 × Σr2 −r1 × . . . × Σrs −rs−1 )(Pπ ), где числа 0 = r0 <r1 < . . . < rs−1 < rs = q и перестановка π ∈ Σq однозначно определяются условиямиJ1 = {π1 , . . . , πr1 }, J2 = {πr1 +1 , . . . , πr2 }, . . . , Js = {πrs−1 +1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
