Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 34
Текст из файла (страница 34)
. . ∪ sr ∪ ∂ − P такая, что U 1 ⊂ U0 идополнение к U1 в P распадается на положительные кольца (∂ + P ) × [0, 1] с гладкими краями, каждое из которых примыкает ровно к одной положительной окружности из ∂ + P . Таккак в каждом таком кольце диффеоморфизм h1/2 неподвижен в окрестности отрицательнойграничной окружности этого кольца, то он изотопен тождественному в пространстве всехтаких диффеоморфизмов кольца на себя. Значит, h1/2 изотопен диффеоморфизму h1 = idPв пространстве диффеоморфизмов, неподвижных в U ∪ U1 ∪ .
. . ∪ Ur . Обозначим полученнуюизотопию через {ht }1/2≤t≤1 .Итак, мы соединили хорошие функции Морса h◦ fe и f = h◦ fe◦h0 изотопией {h◦ fe◦ht }0≤t≤1в F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr }). Так как h ∈ Diff + [−1; 1] и Diff + [−1; 1] линейно связно, тополучаем изотопию между функциями fe и f в F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , .
. . , xr }). Из нашегопостроения видно, что построенная изотопия не выводит из пространства F1 (P, s1 ∪ . . . ∪sr ; {x1 , . . . , xr }) функций Морса с фиксированным набором сепаратрисных дуг s1 , . . . , sr . Сдругой стороны, мы можем считать, что функция fe получена из f0 изотопией в пространствеF1 (P, s1 ∪ . .
. ∪ sr ; {x1 , . . . , xr }). Тем самым, мы получили изотопию в пространстве F1 (P, s1 ∪. . . ∪ sr ; {x1 , . . . , xr }) между хорошей функцией Морса f и некоторой функцией f0 , имеющейне более одного критического значения.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ100Шаг 2. Рассмотрим теперь любые функции Морса f0 , g0 ∈ F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . .
. , xr }),имеющие не более одного критического значения (такие функции существуют согласно шагу1). Нетрудно показать, что графы Gf0 и Gg0 (см. обозначение 2.3.1 (Б)) связны и изотопныдруг другу относительно {x1 , . . . , xr }, точнее Gf0 = h(Gg0 ) для некоторого диффеоморфизма h ∈ Diff 0 (P ; {x1 , . . .
, xr }). Отсюда следует, согласно нашему критерию топологическойэквивалентности функций Морса (теорема 2.3.4), что функции f0 , g0 топологически эквивалентны в пространстве F1 (P ; {x1 , . . . , xr }) функций Морса с фиксированным множеством{x1 , . . . , xr } критических точек на (P, ∂ + P, ∂ − P ). Но так как эти функции имеют не болееодного критического значения, то все эквивалентые им функции являются хорошими. Поэтому их класс топологической эквивалентности содержится в F1 (P, [s1 ∪. . .∪sr ]; {x1 , . . .
, xr })и линейно связен. Значит, f0 , g0 изотопны в F1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr }).Из шагов 1 и 2 получаем, что любые две хорошие функции Морса f, g из пространстваF1 (P, [s1 ∪ . . . ∪ sr ]; {x1 , . . . , xr }) изотопны в этом пространстве, т.е. это пространство линейносвязно. Лемма доказана.Замечание. Фактически мы построили функцию Морса f на P для заданного разложенияповерхности M на ручки, см. [104].Замечание. Легко показать, что любой путь в пространстве хороших функций Морса изпространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) определяет изотопию набора входящих сепаратрис. Можнотакже показать, что любая изотопия разрезов порождается некоторым путем в пространствехороших функций Морса.
Таким образом, с учетом предыдущей леммы, сопоставление каждой функции Морса из пространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) набора сепаратрисных дуг si устанавливает взаимно-однозначное соответствие между связными компонентами подпространствавсех хороших функций Морса из пространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) и связными компонентамипространства всех разрезов поверхности–бордизма (P, ∂ + P, ∂ − P ).Рис. 2.3. Скачок сепаратрисной дуги si через дугу sj при изотопии хорошейфункции МорсаОпределение 2.6.7. Пусть дуга s в ∂ − P соединяет один конец дуги si с одним концом дугиsj и не содержит других конечных точек дуг разреза s1 , . . .
, sr . Пусть U — регулярная окрестность кусочно-гладкой дуги si ∪s∪sj в P . Заменим si единственной дугой s0i в ∂U , которая неизотопна si и sj . См. рис. 2.3. Переход от разреза s1 , . . . , sr к разрезу s1 , . . . , s0i , . . . , sr назовемскачком дуги si через дугу sj , или скольжением ручки si по ручке sj .Лемма 2.6.8.
Если два разреза поверхности–бордизма (P, ∂ + P, ∂ − P ) можно соединитьдруг с другом последовательностью изотопий и скачков, то отвечающие этим разрезамфункции Морса из пространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) можно соединить путем в пространствеF1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) функций Морса на поверхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ).ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ101Доказательство. Приведем два способа доказательства этой леммы.Способ 1 (С.В.
Матвеев). См. рис. 2.3.Способ 2 (Е.А. Кудрявцева). Этот способ использует оснащенные функции Морса (которые мы введем и изучим в гл. 3, см. теорему 3.2.1), а также наш критерий топологическойэквивалентности функций Морса (теорема 2.3.4) и лемму 2.6.6 (B), и в некотором смысле является более подробным изложением способа 1. Пусть даны хорошая функция Морсаf ∈ F1 := F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) с критическими точками x1 , . . . , xr и сепаратрисными дугамиs1 , .
. . , sr и хорошая функция Морса fb ∈ F1 с набором сепаратрисных дуг sb1 , . . . , sbr , получающимся из набора s1 , . . . , sr скачком дуги si через дугу sj . Без ограничения общности (ввидушага 1 доказательства леммы 2.6.6 (B)) мы можем и будем считать, что каждая функция f, fbимеет ровно одно критическое значение — нулевое. Построим искомый путь между функциями f, fb в F1 за 5 шагов.Шаг 1. Пусть α — оснащение функции f (оно существует согласно теореме 3.2.1), т.е.(f, α) ∈ F1 = F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) — оснащенная функция Морса. Так как f имеет лишь однокритическое значение, то нетрудно проверяется, что объединение s1 ∪· · ·∪sr ∪u1 ∪· · ·∪ur всех(входящих и выходящих) ее сепаратрис изотопно объединению s∗1 ∪ · · · ∪ s∗r ∪ u∗1 ∪ · · · ∪ u∗r всехсепаратрис оснащенной функции Морса (f, α) в смысле определения 3.2.2 (т.е.
объединениюзамыканий интегральных кривых поля ядер 1-формы α). То есть, s∗1 ∪ · · · ∪ s∗r ∪ u∗1 ∪ · · · ∪ u∗r =h(s1 ∪ · · · ∪ sr ∪ u1 ∪ · · · ∪ ur ) для некоторого диффеоморфизма h ∈ Diff 0 (P ; {x1 , . . . , xr }), см.лемму 2.6.6 (B).Пусть s0i ⊂ si и s0j ⊂ sj — сепаратрисы функции Морса f , входящие в точки xi и xj соответственно, такие, что (s0i ∪ s0j ) ∩ ∂P = ∂s (см. определение 2.6.7). Ясно, что существуетребро e ⊂ f −1 (0) графа f −1 (0) с концами в точках xi , xj такое, что кусочно-гладкая ломанаяs0i ∪ s ∪ s0j ∪ e ограничивает диск в P , не содержащий в своей внутренности критических точекфункции f . Ориентируем ребро e в направлении от точки xi к xj . Пусть u0j — сепаратрисафункции Морса f , выходящая из точки xj и такая, что пересечение кусочно-гладких кривыхeu0j и sj в точке xj является несобственным (т.е. это пересечение можно устранить сколь∗0угодно малым шевелением кривых).
Обозначим s∗∗i := h(si ) ⊂ si — сепаратриса оснащеннойфункции Морса (f, α), входящая в точку xi и отвечающая сепаратрисе s0i функции f как ука∗0зано выше, и u∗∗j := h(uj ) ⊂ uj — сепаратриса оснащенной функции Морса (f, α), выходящаяиз точки xj и отвечающая сепаратрисе u0j функции f .Шаг 2.
Рассмотрим “возмущенную” функцию fe ∈ F1 такую, что fe = f в некоторой окрестности Uk любой точки xk , k ∈ {1, . . . , r} \ {i}, и fe = f + ε в некоторой окрестности Ui точкиxi , где ε > 0 — некоторое малое число. Можем считать, что возмущение достаточно мало, поэтому имеем оснащенную функцию Морса (fe, α) ∈ F1 .
Существует окружность γ ⊂ fe−1 (ε/2)∗∗∗∗∗∗такая, что γ ∩ s∗∗i 6= ∅ и γ ∩ uj 6= ∅, причем точки пересечения сепаратрис si , uj с окружностью γ можно соединить дугой ee ⊂ γ такой, что ee не пересекает сепаратрисы s∗i \ s∗∗i и∗u∗j \ u∗∗иникакуюдугуu,k∈{1,...,r}\{i,j}.Заметим,чтодугаeeблизкакдугеe.Введемjk∗∗ориентацию дуги ee от точки γ ∩ s∗∗i до точки γ ∩ uj . Введем индуцированную ориентациюокружности γ. Без ограничения общности мы можем и будем считать, что существует путьft ∈ F1 , 0 ≤ t ≤ 1/2, такой, что ft = f в любой окрестности Uk при k ∈ {1, .
. . , r} \ {i},ft = f + 2εt в Ui , причем f0 = f и f1/2 = fe. Так как возмущение можно считать достаточномалым, имеем (ft , α) ∈ F1 .Шаг 3. Нетрудно строится путь (fe, αt ) ∈ F1 , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве оснащенных функций Морса такой, что αt = α вне малой регулярной окрестности U дуги ee в P \ {x1 , . . . , xr },α0 = α, и при 0 ≤ t < 1/2 точка γ ∩ s∗∗e(t) ⊂ γ, а γ ∩ u∗∗i (t) является началом дуги ej (t) — ее∗∗∗∗∗∗концом, γ ∩ si (1/2) = γ ∩ uj (1/2), при 1/2 < t ≤ 1 точка γ ∩ si (t) является концом дуги ee(t),а γ ∩ s∗∗e(t) ⊂ γ — непрерывно зависящая от t дуга с указаннымиj (t) — ее началом. Здесь eсвойствами и совпадающая с ee при t = 0, s∗k (t) — непрерывно зависящая от t сепаратрисная∗∗∗∗дуга 1-формы αt , совпадающая с s∗k при t = 0 (1 ≤ k ≤ r), а s∗∗i (t) ⊂ si (t) и uj (t) ⊂ uj (t)ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ102— непрерывно зависящие от t сепаратрисы 1-формы αt , входящая в точку xi и выходящая∗∗e(t) ⊂ γ окружности γиз точки xj (соответственно) и совпадающие с s∗∗i , uj при t = 0; дуга eсчитается ориентированной согласно ориентации окружности γ.Обозначим сепаратрисные дуги оснащенной функции (f1/2 , α1 ) через sek := s∗k (1), 1 ≤ k ≤ r.Тогда набор сепаратрисных дуг se1 , .
. . , ser оснащенной функции Морса (f1/2 , α1 ) получаетсяиз набора сепаратрисных дуг s∗1 , . . . , s∗r оснащенной функции Морса (f0 , α0 ) скачком дуги s∗iчерез дугу s∗j .Шаг 4. Так как у α1 нет сепаратрис, ведущих из одного седла в другое, то существует путь(ft , α1 ) ∈ F1 , 1/2 ≤ t ≤ 1, в пространстве оснащенных функций Морса такой, что f1 имеетровно одно критическое значение, и при любом t ∈ [1/2, 1) функция ft топологически эквивалентна функции f1/2 = fe.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
