Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 29
Текст из файла (страница 29)
определения 2.4.2,2.4.3 и замечание 2.4.4 (B)). Определим C r –топологию на пространстве F(P ) при r ∈ Z+ .Пусть F ∈ F(P ) — функция Морса на P . Под ε–малым возмущением (или просто возмущением) функции F в смысле C r –топологии будем понимать функцию Fe ∈ F(P ), отвечающуюε–малому по C r –норме возмущению функции:kFe − F kC r < ε(2.5)и удовлетворяющую дополнительному условиюkFekC r+1 < C.(2.6)Здесь C > 0 — произвольная наперед заданная константа, ε > 0 — достаточно малое число,характеризующее “величину возмущения” и зависящее от констант r и C, функции F и способа построения C r –нормы. Введенная нами C r –норма зависит от чисел r ∈ Z+ , C ∈ R>0 и отспособа построения C r –норм (например, с помощью “достаточно хорошего” конечного атласана M ). Все наши результаты верны для любой C r –нормы указанного вида (и, в частности,для любого наперед заданного числа C ∈ R>0 в (2.6)).Определение 2.5.1.
Пусть F ∈ Fnum,fr (P, K) — функция Морса на ориентированном (соответственно неориентированном) седловом атоме (P, K)# (соответственно (P, K)#u ) (см. заnum,freмечание 2.4.4), F — ее возмущение, т.е. функция из F(P ), достаточно близкая к F всмысле C 2 –топологии на Fnum,fr (P ) (т.е. удовлетворяющая (2.5) и (2.6) при r = 2).(A) Тривиальным возмущением функции F назовем любое ее возмущение, которое неразрушает атом, т.е. любую функцию Fe, имеющую единственное критическое значение наP . Возмущение Fe функции F назовем простым, если каждый особый слой слоения, определяемого функцией Fe, содержит ровно одну критическую точку этой функции (ср. (4.17)).Иначе возмущение назовем сложным.(B) Граф W num , отвечающий функции Fe (см.
определение 2.4.1), т.е. ориентированныйграф Кронрода-Риба W функции Fe с метками в вершинах, будем называть графом возмущения. Два графа возмущения W1num и W2num назовем изоморфными, если имеется изоморфизмэтих графов, сохраняющий ориентацию ребер и наборы номеров, приписанных вершинам.(C) Вершины графа Кронрода-Риба W , отвечающие особым слоям функции Fe, будем называть внутренними вершинами (или просто вершинами) графа возмущения W num . Остальные вершины графа Кронрода-Риба (т.е. вершины, отвечающие слоям, расположенным наГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ86крае поверхности Pe), назовем концами графа возмущения. Конец графа возмущения назовем положительным, если на соответствующей компоненте края поверхности P функция Feимеет локальный максимум, в противном случае назовем конец отрицательным.
Число номеров, отвечающих вершине графа W num (т.е. сложность атома, отвечающего этой вершине,см. определение 2.4.3 (B)), назовем весом этой вершины. Граф W num (и соответствующуюфункцию Морса) назовем простым, если все его вершины имеют вес 1. Ребро графа W numназовем внутренним, если оба его конца являются внутренними вершинами графа W num .Остальные ребра графа W num назовем внешними.Оказывается, что граф возмущения W num (см.
определения 2.4.1 и 2.5.1 (B), не следуетпутать с молекулой Фоменко W # , см. определение 2.4.3) является основным инструментомдля изучения послойной эквивалентности возмущенных функций Морса на данном атоме.Ниже мы определим понятие согласованности набора критических значений с данным графом возмущения (см. определение 2.5.3) и докажем (в §2.5) следующее утверждение:Утверждение 2.5.2 ([145, §3]). Пусть F, F 0 ∈ Fnum,fr (P, K) — послойно эквивалентныефункции Морса на данном (ориентированном или неориентированном) атоме.
Пусть Fe, Fe0 ∈Fnum,fr (P ) — функции, близкие к F и F 0 по норме C 2 и не слишком большие по норме C 3(см. (2.5) и (2.6) при r = 2), и пусть W и W 0 — графы Кронрода-Риба этих возмущенныхфункций. Тогда следующие условия равносильны:(i) возмущенные функции Fe и Fe0 послойно эквивалентны,(ii) их графы возмущений W num и (W num )0 изоморфны,(iii) набор критических значений одной функции согласован (определение 2.5.3) с графомвозмущения другой функции.Если F = F 0 , то условия (i)—(iii) равносильны следующему условию:(iv) возмущенные функции Fe и Fe0 топологически послойно эквивалентны.Из утверждения 2.5.2, в частности, следует, что при тривиальных возмущениях класспослойной топологической эквивалентности (а потому и класс послойной эквивалентности)функции Морса не меняется.
Кроме того, из этого утерждения видно, что для каждогоатома имеется лишь конечное число классов послойно эквивалентных (и даже классовпослойно топологически эквивалентных) возмущений гамильтониана. Действительно, числовсех отношений частичного полупорядка (определение 2.5.3) на множестве номеров 1, 2, . . . , nконечно и не превосходит 4n(n−1)/2 .
Отсюда и из утверждения 2.5.2 сразу получаемСледствие. Любому атому V = (P, K)# сложности n отвечает не более 4n(n−1)/2 классовпослойно эквивалентных возмущений.Подробное описание построения графа возмущения W num по возмущенным критическимзначениям функции Морса Fe дано в §2.5 ниже.Доказательство утверждения 2.5.2 о топологической послойной эквивалентностивозмущенных функций МорсаПусть c ∈ R является критическим значением функции F ∈ Fnum,fr (P ), и пусть критическийуровень K = F −1 (c) связен и содержит лишь седловые критические точки x1 , . . . , xn функции F . Рассмотрим атом (P, K)# , отвечающий функции F , см. определение 2.4.3. Пустьr ≥ 2.
Рассмотрим возмущенную функцию Fe ∈ C ∞ (P, ∂P ), близкую к F по C r –норме.По теореме о неявных функциях, функция Fe является функцией Морса и имеет ровно nГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ87критических точек xe1 , . . . , xen , близких к точкам x1 , . . . , xn соответственно. Обозначим черезec(F ) := (c1 , . . . , cn ) набор критических значений функции Fe, т.е.c(Fe) := (c1 , . .
. , cn ),ci := Fe(exi ),1 ≤ i ≤ n.(2.7)Пусть F 0 ∈ Fnum,fr (P ) — функция Морса, послойно эквивалентная функции F , т.е. функция F 0 тоже представляет атом (P, K)# . Пусть x01 , . . . , x0n — образы точек x1 , . . . , xn придиффеоморфизме T : P → P 0 , осуществляющем послойную эквивалентность. Рассмотримвозмущенную функцию Fe0 и ее критические точки xe01 , .
. . , xe0n , близкие к x01 , . . . , x0n . Пустьc01 , . . . , c0n — значения функции Fe0 в этих точках.Напомним, что любой гомеоморфизм, осуществляющий послойную эквивалентность, сохраняет по определению нумерацию седловых критических точек и их оснащения.Расмотрим граф W num возмущенной функции Fe. Введем (в два шага) бинарное отношение на множестве номеров 1, 2, . . . , n (не обязательно являющееся отношением частичногопорядка).Шаг 1.
Отметим, что у нас есть естественное отношение частичного порядка на множествевершин графа Кронрода-Риба W num . А именно, мы скажем, что вершина B строго следуетза вершиной A (будем писать A ≺ B), если существует вертикальный путь на графе, идущийиз A в B, т.е. путь, все время идущий по ребрам графа Кронрода-Риба в направлении ростафункции Fe.Шаг 2. Теперь можно продолжить это отношение частичного порядка на множество номеров 1, 2, . . . , n, распределенных по вершинам графа возмущения W num .
Номера, попавшиев одну вершину графа возмужения W num , будем считать “равноправными”, т.е. в любой паре(i, j) таких номеров каждый из них одновременно и не больше, и не меньше другого (т.е.i j и j i, хотя i 6= j; поэтому не является отношением частичного порядка, если графвозмущения W num не является простым). Если же пара номеров попала на разные вершиныграфа Кронрода-Риба W , то отношение частичного порядка между номерами определяетсячастичным порядком этих вершин.Построенное бинарное отношение на множестве номеров 1, .
. . , n является рефлексивным (т.е. i i для любого номера i ∈ {1, . . . , n}) и транзитивным (т.е. i j, j k =⇒i k), но не обязательно является антисимметричным (т.е. не обязательно выполненаимпликация i j, j i =⇒ i = j). Таким образом, отношение является отношением частичного полупорядка (определение 2.5.3 ниже) на множестве номеров 1, . . .
, n, но необязательно является отношением частичного порядка.Определение 2.5.3. Бинарное отношение на каком-либо множестве A назовем отношениемчастичного полупорядка на A, если оно рефлексивно и транзитивно (но не обязательно антисимметрично). Будем говорить, что набор (c01 , . . . , c0n ) ∈ Rn согласован с графом возмущенияW num , если он удовлетворяет отношению частичного полупорядка , который задается графом возмущения W num . То есть, если ci ≤ cj для любой пары номеров i, j со свойствомi j.Замечание. Условие согласованности набора (c01 , .
. . , c0n ) ∈ Rn с графом возмущения W numравносильно в действительности следующему.1) Для любой пары номеров i, j, отвечающих одной вершине графа W num , имеем: c0i = c0j .2) Для любой пары номеров i, j, отвечающих началу и концу одного ребра графа возмущения W num , имеем: c0i < c0j .Нетрудно описать множество всех наборов (c01 , . .
. , c0n ) ∈ Rn , согласованных с графомW. Отметим также, что (ввиду связности КР-графа W num ) отношение обладает следующим свойством: для любых двух номеров i, j ∈ {1, . . . , n} существует цепочка номеровi1 , . . . , is такая, что i = i1 , j = is и любые два соседних номера цепочки сравнимы (т.е.ik ik+1 или ik+1 ik для любого k = 1, . . . , s − 1).numГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ88Определение 2.5.4. Будем говорить, что возмущения Fe и Fe0 сильно послойно эквивалентны, если функции Fe и Fe0 послойно эквивалентны (см. определение 2.2.4 (C)), причем существует диффеоморфизм Te : Pe0 → Pe, осуществляющий эту послойную эквивалентность, иимеющий следующий вид.1) Te изотопен диффеоморфизму T , осуществляющему послойную эквивалентность функций F и F 0 , т.е. существует изотопия Tθ ∈ D ± , θ ∈ [0, 1], между диффеоморфизмами T = T0и Te = T1 .2) При этой изотопии каждая седловая критическая точка функции Fe0 ◦Tθ−1 остается в достаточно малой окрестности своего исходного положения, и индуцированное движение двухпересекающихся прямых, касательных к сепаратрисам в этой точке, мало отличается от параллельного переноса (в смысле какой-либо аффинной связности) в касательном расслоениик поверхности.Отметим, что из этого определения следует, что сильно послойно эквивалентные возмущенные функции послойно эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
