Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Определим гладкую функцию ge1 mod 2π в цилиндре2Z условиями (eg1 mod 2π)|γ1 = 0 mod 2π иd(eg1 |f1 =c ) = (1 − IaZ ,bZ (c))d(g1− |f1 =c ) + IaZ ,bZ (c) d(g1+ |f1 =c ),c ∈ (aZ ; bZ ).Построенный в (б) диффеоморфизм h000 в окрестностях обеих компонент границы цилиндра Z переводит систему координат f, ge mod 2π в систему координат f1 , ge1 mod 2π. Определимдиффеоморфизм h0000 каждого открытого цилиндра Z в себя, переводящий систему координатf, ge mod 2π в систему координат f1 , ge1 mod 2π. В частности, h0000 ◦ γ1 = γ.Так как диффеоморфизмы h000 и h0000 согласованы на пересечении своих областей определения, получаем корректно определенный диффеоморфизм h ∈ D ± всей поверхности M в себя,обладающий свойством (2.3).
Покажем, что h ∈ D 0 . Имеется гомотопия между отображением h и некоторым отображением h1 ∈ D ± , в процессе которой каждая вершина и каждоеребро графа Gf ∪ Cf,0 ∪ Cf,2 переходят в себя, каждая граничная окружность и каждый открытый цилиндр Z переходят в себя и h1 |∂Z = id∂Z . Тогда h1 |Z̄ гомотопно idZ̄ относительно∂Z, так как в Z̄ имеются гомотопии замкнутых путей h1 ◦ γ̄1 ' h ◦ γ̄1 = γ̄ ' γ̄1 относительноконцов. Поэтому h ' h1 ' idM , то есть h ∈ D 0 .Обозначение 2.3.3.
(А) Сопоставим каждой функции Морса f ∈ F ее “упорядоченный”граф G≤f в поверхности M , т.е. граф Gf ∪ Cf,0 ∪ Cf,2 ∪ ∂M (см. обозначение 2.3.1 (Б) и определение 2.2.2 (А)), на множестве связных компонент которого введено отношение частичногоГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ78порядка согласно значениям функции f на этих компонентах, причем связные компонентыс равными значениями функции f считаются не сравнимыми друг с другом.(Б) Если f ∈ Fnum (соответственно f ∈ Fnum,fr или f ∈ F0 ), то аналогично определяет(соответственно оснащенно-нумерованныйся нумерованный “упорядоченный” граф Gnum,≤fnum,fr,≤, или 1-оснащенный “упорядоченный” граф (G0f )≤ ), а именно:“упорядоченный” граф Gfэтот граф получается из “упорядоченного” графа G≤f введением нумерации и/или оснащенийу всех/некоторых своих вершин согласно нумерации и/или оснащению критических точекфункции f . При этом под оснащением вершины yj степени 4 графа Gf понимается выборсвязной компоненты открытого конуса {ξ ∈ Tyj M | d2 f (yj )ξ < 0} (ср.
с определением 2.2.2(В)).Теорема 2.3.4 (критерий топологической эквивалентности функций Морса [132, теорема 1]).Пусть M — компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность. Две функции Морса f, g ∈ F (соответственно f, g ∈ Fnum , Fnum,fr , F0 ) топологически эквивалентны(см. определение 2.2.4 (B)) тогда и только тогда, когда отвечающие им упорядоченные граnum,≤≤, Ggnum,≤ или Gnum,fr,≤, Ggnum,fr,≤ или (G0f )≤ , (G0g )≤ ) изотопфы G≤ff , Gg (соответственно Gfnum,≤≤ны в M , то есть h(G≤) = Gnum,≤или h(Gfnum,fr,≤ ) = Gnum,fr,≤илиggf ) = Gg (соотв. h(Gf00 ≤0 ≤h((Gf ) ) = (Gg ) ) для некоторого диффеоморфизма h ∈ D .Доказательство. Предположим, что f, g ∈ F.
Если f ∼top g, то f = h2 ◦ g ◦ h для некоторыхh ∈ D 0 и h2 ∈ Diff + (R) (см. определение 2.2.4 (B)). Из равенства функций Морса f = (h2 ◦g)◦h≤≤получаем равенство критических графов h(G≤f ) = Gf ◦h−1 = Gh2 ◦g вместе со значениями вкритических точках и точках края. Так как у функций g и h2 ◦ g одни и те же критическиеточки и одно и то же отношение частичного порядка на множестве критических точек и≤точек края, определяемое по значениям функции в этих точках, то G≤h2 ◦g = Gg .
Поэтому≤≤h(G≤f ) = Gh2 ◦g = Gg .≤0≤Докажем обратное утверждение. Пусть h(G≤f ) = Gg для некоторого h ∈ D . Тогда Gf =≤h−1 (G≤g ) = Gg◦h . Отсюда и из определения упорядоченного графа следует, что существуетдиффеоморфизм h2 ∈ Diff + (R), переводящий значение g ◦ h(x) в значение f (x) для каждойточки x ∈ {w` (f )} ∪ ∂M . Тогда функции Морса f и h2 ◦ g ◦ h имеют не только одинаковыекритические графы Gf = Gh2 ◦g◦h , но и одинаковые значения в каждой критической точке иточке края. Согласно лемме 2.3.2, h2 ◦ g ◦ h = f ◦ h1 для некоторого h1 ∈ D 0 , откуда функцииf и g топологически эквивалентны (см.
определение 2.2.4 (B)).Случаи f, g ∈ Fnum , Fnum,fr , F0 рассматриваются аналогично.2.3.1Топологическая послойная классификация и критерий топологической сопряженности функций МорсаДля полноты изложения приведем критерии топологической послойной эквивалентности итопологической сопряженности (определение 2.2.4) функций Морса на поверхности M с краем (они нам не понадобятся).Сопоставим каждой функции Морса f ∈ F (соответственно f ∈ Fnum , Fnum,fr , F0 ) ее коориентированный граф Gνf (соответственно коориентированный нумерованный граф Gnum,νfили коориентированный оснащенно-нумерованный граф Gfnum,fr,ν или коориентированный 1оснащенный граф (G0f )ν ) в поверхности M , т.е.
граф Gf ∪ Cf,0 ∪ Cf,2 ∪ ∂M (см. обозначение 2.3.1 (Б)), на ребрах и окружностях которого задана коориентация ν ростом функцииf (и все/некоторые вершины которого пронумерованы и/или оснащены согласно нумерациии/или оснащению критических точек функции f ∈ Fnum , Fnum,fr , F0 ).ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ79Теорема 2.3.5 (критерий топологической послойной эквивалентности функций Морса). Двефункции Морса f, g ∈ F (соответственно f, g ∈ Fnum или f, g ∈ Fnum,fr или f, g ∈ F0 )топологически послойно эквивалентны (определение 2.2.4 (C)) тогда и только тогда, ко, Gnum,ν, илигда отвечающие им коориентированные графы Gνf , Gνg (соответственно Gnum,νgfnum,ν0 ν0 ννν) = Gnum,ν,или(Gf ) , (Gg ) ) изотопны в M , т.е. h(Gf ) = Gg (соответственно h(Gfg0 ν0 ν0h((Gf ) ) = (Gg ) ) для некоторого диффеоморфизма h ∈ D .Доказательство. Утверждение “только тогда” очевидно, а утверждение “тогда” доказывается аналогично доказательству теоремы 2.3.4.Сопоставим каждой функции Морса f ∈ F ее коориентированный меченый граф Gν,labfв поверхности M , т.е.
коориентированный граф Gνf (см. выше), связные компоненты которого помечены вещественными метками, равными значениям функции f на этих компонен,тах. Аналогично определяются нумерованный коориентированный меченый граф Gnum,ν,labfnum,fr,ν,labи 1-оснащенный кооснащенно-нумерованный коориентированный меченый граф Gf0 ν,labориентированный меченый граф (Gf )в поверхности M .Теорема 2.3.6 (критерий топологической сопряженности функций Морса).
Две функцииМорса f, g ∈ F (соответственно f, g ∈ Fnum или f, g ∈ Fnum,fr или f, g ∈ F0 ) топологически сопряжены (см. определение 2.2.4 (A)) тогда и только тогда, когда отвечающиеим коориентированные меченые графы Gν,lab, Gν,lab(соответственно Gnum,ν,lab, Gnum,ν,labилиggffν,labnum,fr,ν,labν,lab0 ν,lab0 ν,labnum,fr,ν,lab(со) изотопны в M , то есть h(Gf ) = Ggили (Gf ), (Gg )Gf, Ggnum,fr,ν,labnum,ν,labили h(Gf) = Ggnum,fr,ν,lab или h((G0f )ν,lab ) =ответственно h(Gf) = Gnum,ν,labg(G0g )ν,lab ) для некоторого диффеоморфизма h ∈ D 0 .Если в теоремах 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6 заменить “h ∈ D 0 ” на “h ∈ D ± ”, то получатся критерииэквивалентности, послойной эквивалентности и сопряженности функций Морса из F (соответственно Fnum , Fnum,fr , F0 ). Эти критерии в действительности равносильны критериям изследующего §2.4.2.4Послойная классификация Фоменко функций Морса.Атомы и молекулы ФоменкоВ этом параграфе для полноты изложения строится полный инвариант А.Т.
Фоменко послойной эквивалентности (соответственно эквивалентности, сопряженности) функций Морса наориентируемых поверхностях, сопоставляющий любой функции Морса ее молекулу Фоменко (соответственно упорядоченную молекулу, молекулу с вещественными метками в атомах).См. предложение 2.4.6 и следствие 2.4.11, которые мы формулируем лишь в случае ориентированной поверхности M .Для каждой функции Морса введем естественный дискретный объект — граф КронродаРиба, который является инвариантом послойной эквивалентности (см. определение 2.2.4(В)), т.е. различает послойно неэквивалентные функции Морса.Определение 2.4.1. Пусть M — компактная поверхность (ориентируемая или неориентируемая).
Для функции Морса F ∈ Fnum с нумерованными критическими точками на M (соответственно функции Морса F ∈ Fnum,fr с оснащенно-нумерованными критическими точкамина M , см. определение 2.2.2 (Б, В)) рассмотрим слоение, слоями которого являются связные компоненты линий уровня функции F .
Графом Кронрода-Риба (сокращенно КР-графом)функции F называется база W = WF этого слоения, т.е. граф, точками которого являютсяГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ80связные компоненты линий уровня функции на данной поверхности. Имеем каноническуюпроекциюπ = πF : M → W(2.4)и функцию f : W → R такие, что F = f ◦ πF . На графе W фиксируем два естественныхобъекта:(i) ориентацию ребер, показывающую направление роста функции,(ii) для каждой вершины графа Кронрода-Риба фиксируем набор номеров всех критических точек, лежащих на отвечающем этой вершине особом слое.Полученный объект — граф с ориентацией ребер и наборами номеров в вершинах — обозначим через W num = WFnum .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
