Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 31
Текст из файла (страница 31)
. . , cn ).Тем самым, построение искомого графа возмущения закончено.Опишем некоторое очевидное свойство построенного графа возмущения. Граф возмущения можно получить, построив сначала простой граф возмущения (определение 2.5.1 (C))для набора (c01 , . . . , c0n ), в котором все числа строго возрастают. Затем, чтобы получить графвозмущения для требуемого набора (c1 , . .
. , cn ), нужно стянуть в точку у полученного простого графа возмущения некоторые группы ребер. Точное описание этих групп указано выше.ГЛАВА 2.2.5.1КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ92Топологическая классификация и критерий топологической сопряженности возмущенных функций МорсаПусть N := p + q + r — число критических точек функции Морса F ∈ Fnum,fr (M ).Определение 2.5.6. (A) Для любого вектора c = (c1 , . . .
, cN ) ∈ RN определим упорядоченное разбиение J(c) = (J1 , . . . , Js ) множества номеров 1, . . . , N на непустые и попарнонепересекающиеся подмножества Ji ⊆ {1, . . . , N } следующими условиями:• s ∈ [1, N ] есть количество элементов множества {c1 , .
. . , cN },• {1, . . . , N } = J1 ∪ · · · ∪ Js ,• для любых i ∈ {1, . . . , s} и j, k ∈ Ji выполнено cj = ck ,• для любых i, ` ∈ {1, . . . , s} со свойством i < ` и любых j ∈ Ji и k ∈ J` выполнено cj < ck .Пусть Jb = (Jb1 , . . . , Jbs ) — любое упорядоченное разбиение множества номеров 1, . . .
, N нанепустые и попарно непересекающиеся подмножества. МножествоbSJb := {c ∈ RN | J(c) = J}b а разбиение RN на такиеназовем стратом в RN , отвечающим упорядоченному разбиению J,Nстраты — стратификацией в R .(B) Любой функции Морса F ∈ Fnum,fr (M ) (или F ∈ Fnum (M )) с пронумерованнымикритическими точками сопоставим страт SJ(c(F )) ⊂ RN , где c(F ) = (c1 (F ), . . .
, cN (F )) ∈ RN— набор значений (2.7) функции F в ее критических точках.Замечание 2.5.7. Приведем простые и хорошо известные свойства указанной стратификации в RN :(1) RN есть объединение стратов, страты непусты и попарно не пересекаются, количествостратов конечно.(2) Указанная стратификация в RN “порождена” набором гиперплоскостей вида ∆ij ={c ∈ RN | ci = cj } (больших диагоналей) в RN (т.е.
любой страт есть связная компонентапересечения нескольких гиперплоскостей набора с дополнением к объединению остальныхгиперплоскостей набора).(3) Любой страт является гладким стягиваемым подмногообразием в RN , гомеоморфнымb отвечающем страту).Rs (где s, как и выше, есть количество подмножеств в разбиении J,(4) Страт SJb примыкает к страту SJ (т.е. SJ ⊆ ∂SJb, обозначаем SJ ≺ SJb, см. определение2.7.9 (В) или 3.3.2 (D)) тогда и только тогда, когда разбиение Jb получается из разбиения Jпутем измельчения (т.е.
Jb ≺ J, см. (3.20) или шаг 1 доказательства теоремы 2.7.11).Из утверждения 2.5.2 и леммы 2.3.2 (т.е. нашего критерия топологической эквивалентности [132]) получаем следующий критерий топологической эквивалентности возмущенныхфункций Морса.Следствие 2.5.8 (критерий топологической эквивалентности возмущенных функций).
Пустьданы два возмущения Fe, Fe0 ∈ Fnum,fr (P ) функции Морса F на атоме (P, K)# сложности n.Предположим, что любая функция F, F 0 , Fe, Fe0 принимает значение ±1 на любой граничнойокружности поверхности P . Следующие условия равносильны:(i) возмущенные функции Fe и Fe0 эквивалентны,(ii) их графы возмущения W num , (W num )0 с указанной выше структурой упорядоченныхграфов (т.е. упорядоченные графы возмущения) изоморфны,ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ93(iii) наборы критических значений c(Fe) и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 индуцируют одно и то жеупорядоченное разбиение J(c(Fe)) = J(c(Fe0 )) множества {1, . . .
, n} (см. определение2.5.6),(iv) возмущенные функции Fe и Fe0 топологически эквивалентны (определение 2.2.4 (B)).Доказательство. Импликации (i) =⇒ (ii), (ii) =⇒ (iii) и (iv) =⇒ (i) очевидны. Импликация(iii) =⇒ (iv) следует из аналогичной импликации в утверждении 2.5.2 и из нашего критериятопологической эквивалентности [132] (см. лемму 2.3.2).Следствие 2.5.9 (критерий топологической сопряженности возмущенных функций Морса).Пусть даны два возмущения Fe, Fe0 ∈ Fnum,fr (P ) функции Морса F на атоме (P, K)# сложности n.
Предположим, что любая функция F, F 0 , Fe, Fe0 принимает значение ±1 на любойграничной окружности поверхности P . Следующие условия равносильны:(i) возмущенные функции Fe и Fe0 сопряжены,(ii) их графы возмущения W num , (W num )0 изоморфны, а наборы критических значений c(Fe)и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 совпадают,(iii) наборы критических значений c(Fe) и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 совпадают,(iv) возмущенные функции Fe и Fe0 топологически сопряжены (определение 2.2.4 (A)).Подведем итоги:(a) Молекула Фоменко W # (определение 2.4.5) любой функции Морса F , а также КР-графтипичной функции Морса F , характеризуют класс послойной эквивалентности функцииМорса F , а граф возмущения W num (определения 2.4.1 и 2.5.1) — класс топологическойпослойной эквивалентности возмущения функции Морса на атоме.
Эти графы являютсятраекторными инвариантами соответствующих гамильтоновых систем (с любыми симплектическими структурами) на поверхности M (а также инвариантами C 0 -сопряженности гамильтоновых систем с 2 степенями свободы) и наиболее часто используются в наших работах[129, 132, 137, 145] (и в главах 1, 2 и 4 настоящей работы).(b) Эти же графы, снабженные структурой упорядоченного графа, характеризуют классэквивалентности (т.е. лево-правую орбиту) функции Морса F , а упорядоченный граф возмущения — класс топологической эквивалентности возмущения функции Морса на атоме (см.
следствие 2.5.8 выше). Связные компоненты таких орбит (т.е. классы топологическойэквивалентности, или страты Максвелла) наиболее часто используются в [134, 135, 136] (ив главе 3 настоящей работы). Им отвечают “кирпичи”, из которых мы построим комплексфункций Морса (в [133] и в §2.7) и комплекс оснащенных функций Морса (в [134] и в §3.3),тесно связанные с гомотопическим типом пространств F(M ) и Fnum (M ).(c) Эти же графы, снабженные еще более тонкой структурой — набором значений функции F в критических точках, характеризуют класс сопряженности (т.е.
правую орбиту)функции Морса F . Такие орбиты тоже изучаются в [134, 135, 136] (и в главе 3 настоящейработы). Изучению их топологии посвящена серия работ С.И. Максименко.2.5.2Стратификации Максвелла в пространстве F функций Морса:разбиения на классы топологической (послойной) эквивалентностиРезультат данного параграфа будет использован в определении естественной стратификации(см.
(4.16)) в пространствах Hnondeg (P ) и Hnondeg(P ) невырожденных гамильтоновых систем0ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ94на поверхностях, в определениях 4.1.20 и 4.1.22 продолжимого и относительно-продолжимогоинвариантов на пространстве H(P, K) гамильтоновых систем на атоме (P, K)# , в определении 4.1.21 относительно-устойчиво C 0 -несопряженных гамильтоновых систем на атоме поотношению к данному классу возмущений, а также в §4.3.2 при доказательстве свойств (1)—(4) разбиения любого страта пространства Hnondeg (P ) на классы C 0 -сопряженности.Пусть M — компактная связная поверхность (ориентированная или неориентированная,возможно неориентируемая), F = F(M ) — пространство функций Морса F ∈ C ∞ (M, ∂M ) наM , и пустьFnum,fr = Fnnum,fr= Fnnum,fr(M )(2.10)0 ,n1 ,n20 ,n1 ,n2— его подпространство, состоящее из функций F ∈ F с фиксированным числом n0 точек локальных минимумов, n2 точек локальных максимумов и n1 седловых точек, причём критические точки каждого индекса 0,1,2 (т.е.
локальные минимумы, сёдла и локальные максимумы)функций F ∈ F пронумерованы и оснащены (см. (4.9)), так что нумерация и оснащения критических точек сохраняются при непрерывном изменении функции F . Известно (теорема2.6.11 или [129, теорема 10]), что пространство Fnum,fr распадается на две компоненты линейной связности, кроме случая функций Морса без седловых критических точек (в этомслучае Fnum,fr линейно связно).Из утверждения 2.5.2 следует, что разбиение пространства F (или Fnum,fr ) на классы послойной эквивалентности определяет стратификацию в F (соотв.
Fnum,fr ), где каждыйстрат (называемый стратом Максвелла) есть связная компонента класса послойной эквивалентности. Более точно, разбиение пространства Fnum,fr на страты Максвелла имеет следующую “локальную структуру”:(1) Каждый класс послойной эквивалентности функций из F или Fnum,fr является гладкимподмногообразием коразмерности N − S = n1 − s (см. определение 4.1.17 (C, D)) в F(M )или Fnum,fr , где N = n0 + n1 + n2 (соотв. n1 ) — число всех (соотв.
седловых) критическихточек функции из F(M ), S = S(F ) (соотв. s = s(F )) — число всех (соотв. внутренних)вершин графа Кронрода-Риба функции F из данного класса. Действительно, рассмотримнепрерывное отображение (и даже гладкую субмерсию, см. определение 4.1.17 (A, B))c : Fnum,fr → RN ,F 7→ (c1 (F ), . . . , cN (F )) = (F (x1 (F )), . . . , F (xN (F ))),(2.11)где xi (F ) – i–ая критическая точка, а ci (F ) = F (xi (F )) – i–ое критическое значение функцииF ∈ Fnum,fr . Тогда (в силу утверждения 2.5.2) в достаточно малой окрестности любой функции F в Fnum,fr множество функций Fe, послойно эквивалентных F , задаётся набором N − Sфункционально независимых уравнений вида ci (Fe) = cj (Fe), где xi , xj – седловые точки F ,принадлежащие одному и тому же атому, т.е.
проектирующиеся в одну и ту же вершинуграфа Кронрода-Риба функции F , так что ci (F ) = cj (F ).(2) К каждому страту Максвелла положительной коразмерности примыкает (определение2.7.9 (В)) лишь конечное число стратов Максвелла, причём их коразмерности меньше коразмерности исходного страта Максвелла, а стратификация Максвелла пространства Fnum,fr вмалой окрестности данной функции F ∈ Fnum,fr является обратным образом при субмерсии(2.11) разбиения пространства RN с координатами c1 , . . . , cN на страты Максвелла, где стратМаксвелла функции Fe в RN задаётся некоторой системой линейных уравнений и строгихнеравенств вида ci = cj и ck < cl , где критические точки xi (F ), xj (F ) принадлежат одному и тому же атому функции F , и то же верно для точек xk (F ), xl (F ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
