Главная » Просмотр файлов » Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей

Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 31

Файл №1097915 Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей) 31 страницаТопология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915) страница 312019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

. . , cn ).Тем самым, построение искомого графа возмущения закончено.Опишем некоторое очевидное свойство построенного графа возмущения. Граф возмущения можно получить, построив сначала простой граф возмущения (определение 2.5.1 (C))для набора (c01 , . . . , c0n ), в котором все числа строго возрастают. Затем, чтобы получить графвозмущения для требуемого набора (c1 , . .

. , cn ), нужно стянуть в точку у полученного простого графа возмущения некоторые группы ребер. Точное описание этих групп указано выше.ГЛАВА 2.2.5.1КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ92Топологическая классификация и критерий топологической сопряженности возмущенных функций МорсаПусть N := p + q + r — число критических точек функции Морса F ∈ Fnum,fr (M ).Определение 2.5.6. (A) Для любого вектора c = (c1 , . . .

, cN ) ∈ RN определим упорядоченное разбиение J(c) = (J1 , . . . , Js ) множества номеров 1, . . . , N на непустые и попарнонепересекающиеся подмножества Ji ⊆ {1, . . . , N } следующими условиями:• s ∈ [1, N ] есть количество элементов множества {c1 , .

. . , cN },• {1, . . . , N } = J1 ∪ · · · ∪ Js ,• для любых i ∈ {1, . . . , s} и j, k ∈ Ji выполнено cj = ck ,• для любых i, ` ∈ {1, . . . , s} со свойством i < ` и любых j ∈ Ji и k ∈ J` выполнено cj < ck .Пусть Jb = (Jb1 , . . . , Jbs ) — любое упорядоченное разбиение множества номеров 1, . . .

, N нанепустые и попарно непересекающиеся подмножества. МножествоbSJb := {c ∈ RN | J(c) = J}b а разбиение RN на такиеназовем стратом в RN , отвечающим упорядоченному разбиению J,Nстраты — стратификацией в R .(B) Любой функции Морса F ∈ Fnum,fr (M ) (или F ∈ Fnum (M )) с пронумерованнымикритическими точками сопоставим страт SJ(c(F )) ⊂ RN , где c(F ) = (c1 (F ), . . .

, cN (F )) ∈ RN— набор значений (2.7) функции F в ее критических точках.Замечание 2.5.7. Приведем простые и хорошо известные свойства указанной стратификации в RN :(1) RN есть объединение стратов, страты непусты и попарно не пересекаются, количествостратов конечно.(2) Указанная стратификация в RN “порождена” набором гиперплоскостей вида ∆ij ={c ∈ RN | ci = cj } (больших диагоналей) в RN (т.е.

любой страт есть связная компонентапересечения нескольких гиперплоскостей набора с дополнением к объединению остальныхгиперплоскостей набора).(3) Любой страт является гладким стягиваемым подмногообразием в RN , гомеоморфнымb отвечающем страту).Rs (где s, как и выше, есть количество подмножеств в разбиении J,(4) Страт SJb примыкает к страту SJ (т.е. SJ ⊆ ∂SJb, обозначаем SJ ≺ SJb, см. определение2.7.9 (В) или 3.3.2 (D)) тогда и только тогда, когда разбиение Jb получается из разбиения Jпутем измельчения (т.е.

Jb ≺ J, см. (3.20) или шаг 1 доказательства теоремы 2.7.11).Из утверждения 2.5.2 и леммы 2.3.2 (т.е. нашего критерия топологической эквивалентности [132]) получаем следующий критерий топологической эквивалентности возмущенныхфункций Морса.Следствие 2.5.8 (критерий топологической эквивалентности возмущенных функций).

Пустьданы два возмущения Fe, Fe0 ∈ Fnum,fr (P ) функции Морса F на атоме (P, K)# сложности n.Предположим, что любая функция F, F 0 , Fe, Fe0 принимает значение ±1 на любой граничнойокружности поверхности P . Следующие условия равносильны:(i) возмущенные функции Fe и Fe0 эквивалентны,(ii) их графы возмущения W num , (W num )0 с указанной выше структурой упорядоченныхграфов (т.е. упорядоченные графы возмущения) изоморфны,ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ93(iii) наборы критических значений c(Fe) и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 индуцируют одно и то жеупорядоченное разбиение J(c(Fe)) = J(c(Fe0 )) множества {1, . . .

, n} (см. определение2.5.6),(iv) возмущенные функции Fe и Fe0 топологически эквивалентны (определение 2.2.4 (B)).Доказательство. Импликации (i) =⇒ (ii), (ii) =⇒ (iii) и (iv) =⇒ (i) очевидны. Импликация(iii) =⇒ (iv) следует из аналогичной импликации в утверждении 2.5.2 и из нашего критериятопологической эквивалентности [132] (см. лемму 2.3.2).Следствие 2.5.9 (критерий топологической сопряженности возмущенных функций Морса).Пусть даны два возмущения Fe, Fe0 ∈ Fnum,fr (P ) функции Морса F на атоме (P, K)# сложности n.

Предположим, что любая функция F, F 0 , Fe, Fe0 принимает значение ±1 на любойграничной окружности поверхности P . Следующие условия равносильны:(i) возмущенные функции Fe и Fe0 сопряжены,(ii) их графы возмущения W num , (W num )0 изоморфны, а наборы критических значений c(Fe)и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 совпадают,(iii) наборы критических значений c(Fe) и c(Fe0 ) функций Fe и Fe0 совпадают,(iv) возмущенные функции Fe и Fe0 топологически сопряжены (определение 2.2.4 (A)).Подведем итоги:(a) Молекула Фоменко W # (определение 2.4.5) любой функции Морса F , а также КР-графтипичной функции Морса F , характеризуют класс послойной эквивалентности функцииМорса F , а граф возмущения W num (определения 2.4.1 и 2.5.1) — класс топологическойпослойной эквивалентности возмущения функции Морса на атоме.

Эти графы являютсятраекторными инвариантами соответствующих гамильтоновых систем (с любыми симплектическими структурами) на поверхности M (а также инвариантами C 0 -сопряженности гамильтоновых систем с 2 степенями свободы) и наиболее часто используются в наших работах[129, 132, 137, 145] (и в главах 1, 2 и 4 настоящей работы).(b) Эти же графы, снабженные структурой упорядоченного графа, характеризуют классэквивалентности (т.е. лево-правую орбиту) функции Морса F , а упорядоченный граф возмущения — класс топологической эквивалентности возмущения функции Морса на атоме (см.

следствие 2.5.8 выше). Связные компоненты таких орбит (т.е. классы топологическойэквивалентности, или страты Максвелла) наиболее часто используются в [134, 135, 136] (ив главе 3 настоящей работы). Им отвечают “кирпичи”, из которых мы построим комплексфункций Морса (в [133] и в §2.7) и комплекс оснащенных функций Морса (в [134] и в §3.3),тесно связанные с гомотопическим типом пространств F(M ) и Fnum (M ).(c) Эти же графы, снабженные еще более тонкой структурой — набором значений функции F в критических точках, характеризуют класс сопряженности (т.е.

правую орбиту)функции Морса F . Такие орбиты тоже изучаются в [134, 135, 136] (и в главе 3 настоящейработы). Изучению их топологии посвящена серия работ С.И. Максименко.2.5.2Стратификации Максвелла в пространстве F функций Морса:разбиения на классы топологической (послойной) эквивалентностиРезультат данного параграфа будет использован в определении естественной стратификации(см.

(4.16)) в пространствах Hnondeg (P ) и Hnondeg(P ) невырожденных гамильтоновых систем0ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ94на поверхностях, в определениях 4.1.20 и 4.1.22 продолжимого и относительно-продолжимогоинвариантов на пространстве H(P, K) гамильтоновых систем на атоме (P, K)# , в определении 4.1.21 относительно-устойчиво C 0 -несопряженных гамильтоновых систем на атоме поотношению к данному классу возмущений, а также в §4.3.2 при доказательстве свойств (1)—(4) разбиения любого страта пространства Hnondeg (P ) на классы C 0 -сопряженности.Пусть M — компактная связная поверхность (ориентированная или неориентированная,возможно неориентируемая), F = F(M ) — пространство функций Морса F ∈ C ∞ (M, ∂M ) наM , и пустьFnum,fr = Fnnum,fr= Fnnum,fr(M )(2.10)0 ,n1 ,n20 ,n1 ,n2— его подпространство, состоящее из функций F ∈ F с фиксированным числом n0 точек локальных минимумов, n2 точек локальных максимумов и n1 седловых точек, причём критические точки каждого индекса 0,1,2 (т.е.

локальные минимумы, сёдла и локальные максимумы)функций F ∈ F пронумерованы и оснащены (см. (4.9)), так что нумерация и оснащения критических точек сохраняются при непрерывном изменении функции F . Известно (теорема2.6.11 или [129, теорема 10]), что пространство Fnum,fr распадается на две компоненты линейной связности, кроме случая функций Морса без седловых критических точек (в этомслучае Fnum,fr линейно связно).Из утверждения 2.5.2 следует, что разбиение пространства F (или Fnum,fr ) на классы послойной эквивалентности определяет стратификацию в F (соотв.

Fnum,fr ), где каждыйстрат (называемый стратом Максвелла) есть связная компонента класса послойной эквивалентности. Более точно, разбиение пространства Fnum,fr на страты Максвелла имеет следующую “локальную структуру”:(1) Каждый класс послойной эквивалентности функций из F или Fnum,fr является гладкимподмногообразием коразмерности N − S = n1 − s (см. определение 4.1.17 (C, D)) в F(M )или Fnum,fr , где N = n0 + n1 + n2 (соотв. n1 ) — число всех (соотв.

седловых) критическихточек функции из F(M ), S = S(F ) (соотв. s = s(F )) — число всех (соотв. внутренних)вершин графа Кронрода-Риба функции F из данного класса. Действительно, рассмотримнепрерывное отображение (и даже гладкую субмерсию, см. определение 4.1.17 (A, B))c : Fnum,fr → RN ,F 7→ (c1 (F ), . . . , cN (F )) = (F (x1 (F )), . . . , F (xN (F ))),(2.11)где xi (F ) – i–ая критическая точка, а ci (F ) = F (xi (F )) – i–ое критическое значение функцииF ∈ Fnum,fr . Тогда (в силу утверждения 2.5.2) в достаточно малой окрестности любой функции F в Fnum,fr множество функций Fe, послойно эквивалентных F , задаётся набором N − Sфункционально независимых уравнений вида ci (Fe) = cj (Fe), где xi , xj – седловые точки F ,принадлежащие одному и тому же атому, т.е.

проектирующиеся в одну и ту же вершинуграфа Кронрода-Риба функции F , так что ci (F ) = cj (F ).(2) К каждому страту Максвелла положительной коразмерности примыкает (определение2.7.9 (В)) лишь конечное число стратов Максвелла, причём их коразмерности меньше коразмерности исходного страта Максвелла, а стратификация Максвелла пространства Fnum,fr вмалой окрестности данной функции F ∈ Fnum,fr является обратным образом при субмерсии(2.11) разбиения пространства RN с координатами c1 , . . . , cN на страты Максвелла, где стратМаксвелла функции Fe в RN задаётся некоторой системой линейных уравнений и строгихнеравенств вида ci = cj и ck < cl , где критические точки xi (F ), xj (F ) принадлежат одному и тому же атому функции F , и то же верно для точек xk (F ), xl (F ).

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее