Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Здесь pPE,c,ε : S 1 ×PE,c,ε → PE,c,ε (соответственно pPE,c,ε : S 1 hχ PE,c,ε → PE,c,ε /χ)— проекция.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ238Далее мы будем считать, что для данного 3-атома фиксирована трансверсальная площадка PE,c,ε ⊂ RE,c,ε с точностью до изотопии в классе трансверсальных площадок (т.е. сточностью до действия группы Diff 0 (RE,c,ε ) изотопных тождественному диффеоморфизмов,сохраняющих слоение Лиувилля). Более того, пусть PE,c,ε является образом некоторого фиксированного вложенияP ,→ RE,c,ε ,где P — фиксированная ориентированная 2-мерная поверхность с краем (считаем, что обратный образ 2-формы Ω|RE,c,ε при этом вложении задает положительную ориентацию на P ).Пусть K ⊂ P есть полный прообраз графа KE,c := PE,c,ε ∩ LE,c при этом вложении. А значит,фиксирован сохраняющий ориентацию диффеоморфизм≈hE : R := S 1 × P −→ RE,c,ε ⊂ QEс точностью до изотопии в классе послойных диффеоморфизмов (считаем, что обратныйобраз 3-формы µE при этом вложении задает положительную ориентацию на R).
Получаемдиффеоморфизм пар≈hE : (R, L) = (S 1 × P, S 1 × K) −→ (RE,c,ε , LE,c ).На площадке PE,c,ε ⊂ RE,c,ε рассмотрим функцию Морса F |PE,c,ε и особую линию уровняKE,c := PE,c,ε ∩ F −1 (c) этой функции. Так как наш 2-атом (= класс послойной эквивалентности функции Морса F |PE,c,ε ) характеризуется топологической парой (P, K), или “оснащенной”топологической парой (P, K)# (определения 2.4.3, 2.4.2 и замечание 2.4.4), то соответствующий 3-атом (= класс послойной эквивалентности функции Ботта F |RE,c,ε ) характеризуетсятопологической парой (R, L) := (S 1 × P, S 1 × K), или соответствующей топологической оснащенной парой (R, L)# .Пусть R = S 1 × P иhE : R = S 1 × P ,→ QE— регулярное вложение такое, что для подмногобразия RE := hE (R) ⊂ QE с краем выполнено Ω|∂RE = 0, dF |∂RE = 0, и d(F |QE ) не имеет нулей на ∂RE .
Предположим, чтоPE := hE ({0} × P ) ⊂ RE — сечение Пуанкаре системы в RE , т.е. 2-мерная поверхность, трансверсальная векторному полю X|RE и пересекающая каждую его интегральную траекторию(например, RE = RE,c,ε и PE = PE,c,ε — 3-атом и трансверсальная 2-площадка его реализациив QE , см.
выше). Предположим также, что любая критическая окружность функции F |QEпересекает поверхность PE лишь в одной точке (это автоматически выполнено для системна 3-атоме и их малых возмущений). Рассмотрим отображение Пуанкаре PE → PE трансверсальной площадки PE в себя (т.е. отображение последования), отвечающее векторномуполю X|RE . Согласно импликации (a)=⇒(b) из леммы 4.1.5 (или [9]), для систем данноготипа невырожденности на площадке PE существует гладкая функция Морса GE ∈ C ∞ (PE ),определенная однозначно с точностью до аддитивной константы и такая, что отображениеПуанкаре совпадает с действием фазового потока гамильтоновой системы(PE , Ω|PE , GE )(4.6)за время 1.
Гамильтонову систему (4.6) назовем гамильтоновой системой Пуанкаре, ее фазовый поток — потоком Пуанкаре, а ее гамильтониан — гамильтонианом Пуанкаре. ПустьiP : P ,→ {0} × P ⊂ R = S 1 × P≈— каноническое вложение, тогда hE ◦ iP : P −→ PE . Нетрудно показать, что сопоставления (RE , Ω, H, F, hE ) 7→ (h∗E (Ω|PE ), h∗E (µE ), h∗E F ) 7→ ((hE ◦ iP )∗ (Ω|PE ), (hE ◦ iP )∗ GE ) задаютнепрерывные сюръекцииeIH(R) → eIB(R) → Hr−1,r (P )/D(P ),(4.7)ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ239гдеHr−1,r (P ) = {(ω, G) ∈ Ω2 (P ) × Fnum,fr (P ) | ω > 0}— совокупность всех гамильтоновых систем на поверхности P , гамильтонианы G которыхявляются функциями Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками (см.
(4.10)и определение 4.1.8), D(P ) = Diff(P ) — группа диффеоморфизмов поверхности P , условиеω > 0 означает, что 2-форма ω на P не имеет нулей и задает положительную ориентацию.Мы снабжаем пространство Hr−1,r (P ) ⊂ Ω2 (P ) × Fnum,fr (P ) индуцированной топологией, гдеΩ2 (P ) снабжено C r−1 -топологией, Fnum,fr (P ) снабжено C r -топологией, а Ω2 (P ) × Fnum,fr (P )топологией прямого произведения. Итак, пространство Hr−1,r (P ) совпадает с пространствомH(P ) из (4.10) как множество без учета топологии. Ясно, что образ подмножества eIHnondeg (R)nondegпри отображении 677 (4.7) есть пространство Hnondegr−1,r (P )/D(P ), где Hr−1,r (P ) ⊂ Hr−1,r (P )совпадает с Hnondeg (P ) как множество (без учета топологии).Предложение 4.1.6 (А.В.
Болсинов, А.Т. Фоменко [9, предложение 7.3]). (а) Пусть двеинтегрируемые системы C 0 -траекторно эквивалентны. Рассмотрим два 3-атома V и V 0 ,соответствующие друг другу при этой эквивалентности и пусть PE — любая гладкаятрансверсальная 2-площадка реализации атома V в QE . Тогда существует гладкая трансверсальная 2-площадка PE0 атома V 0 в Q0E такая, что потоки Пуанкаре на PE и на PE0C 0 -сопряжены, т.е.
существует гомеоморфизм PE на PE0 , переводящий первый поток вовторой. При этом, в случае седлового атома с неориентируемой сепаратрисной диаграммойуказанный гомеоморфизм переводит соответствующую инволюцию χ в инволюцию χ0 .(б) Обратно, пусть дана система XE на 3-атоме V и система vE0 на атоме V 0 . Пустьвнутри каждого из атомов существуют 2-площадки PE и PE0 такие, что потоки Пуанкарена этих площадках C 0 -сопряжены, т.е. существует гомеоморфизм PE на PE0 , переводящийпервый поток во второй (и такой, что в случае седлового атома с неориентируемой сепаратрисной диаграммой он переводит соответствующую инволюцию χ в инволюцию χ0 ).Тогда две системы XE и XE0 C 0 -траекторно эквивалентны на данных 3-атомах.Таким образом, C 0 -траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых системна трехмерном атоме сведена Болсиновым и Фоменко в предложении 4.1.6 к классификациигамильтоновых систем (PE , Ω|PE , GE ) на двумерном атоме с точностью до C 0 -сопряженности(определение 4.1.10).
Аналогично показывается, что C 0 -траекторная классификация интегрируемых систем с оснащенно-нумерованными критическими окружностями на трехмерном атоме сводится к классификации гамильтоновых систем с оснащенно-нумерованнымиседлами (определение 2.2.2 (В)) на двумерном атоме с точностью до C 0 -сопряженности (определение 4.1.10).Эта последняя задача оказалась нетривиальной — описание инвариантов C 0 -сопряженности гамильтоновых систем с оснащенно-нумерованными седлами на двумерных атомах (т.е. на 2-атомах). Она была решена Болсиновым и Фоменко [9, теорема 4.1 или 8.1],а именно, предъявлен полный набор инвариантов, дающих классификацию ростков гамильтоновых систем с оснащенно-нумерованными седлами с одной степенью свободы на произвольном 2-атоме (P, K) (точнее, классификацию гамильтоновых систем на страте Максвел(P ) в пространстве Hnondeg (P ), см.
определение 4.1.18) с точностью дола H(P, K) ∩ Hnondeg0C 0 -сопряженности. Обобщение этой теоремы на случай произвольных невырожденных гамильтоновых систем на компактной поверхности P (необязательно имеющих только одинкритический уровень функции G) сформулировано в теореме 4.3.16.Тем самым, Болсинов и Фоменко построили полный C 0 -траекторный инвариант на пространствах eIHnondeg (Q) ⊃ IHnondeg (Q) невырожденных интегрируемых (соответственно невырожденных вполне интегрируемых) систем на трехмерных инвариантных изоэнергетическихрегулярных 3-поверхностях Q3E , т.е. на пространствах eIBnondeg (Q) ⊃ IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых (соответственно невырожденных вполне интегрируемых) 3-мерныхнесжимаемых течений.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ240Всюду далее, допуская некоторую вольность, под IHnondeg (Q) ⊂ IH(Q) будем пониматьрасширенные классы гамильтоновых систем eIHnondeg (Q) ⊂ eIH(Q).
Мы будем изучать толькотакие функционалы на B(Q) (в главе 5) и на eIBnondeg (Q) (в данной главе), которые не зависятот 3-формы объема µ на Q. Заметим, что каждое из множеств{B | (B, µ) ∈ B(Q)},{(B, f ) | (B, µ, f ) ∈ eIB(Q)},{(B, f ) | (B, µ, f ) ∈ eIBnondeg (Q)}не зависит от выбора положительной 3-формы объема µ на Q. Всюду далее (допуская некоторую вольность), мы будем обозначать эти множества через B(Q), IB(Q) и IBnondeg (Q)соответственно.Рассмотрим разбиение пространства IHnondeg (Q) ⊂ IH(Q) систем на данном 3-мерноммногообразии Q на классы C 0 -лиувиллево эквивалентных систем. Линейно-связные компоненты таких классов будем называть стратами Максвелла на пространстве IHnondeg (Q).
Вкаждом страте Максвелла постоянен полный инвариант Фоменко-Цишанга C 0 -лиувиллевойэквивалентности (т.е. постоянна меченая молекула Фоменко-Цишанга). Меченая молекула— это граф с метками, вершинам которого сопоставлены комбинаторные объекты — 3атомы.
Каждый 3-атом — это малая компактная окрестность боттовского множества уровняфункции F |QE на QE , с точностью до послойного гомеоморфизма (т.е. с точностью до C 0 лиувиллевой эквивалентности). По теореме Фоменко любой 3-атом гомеоморфен прямомупроизведению 2-атома на окружность (при условии 3) выше).Отметим, что инварианты Болсинова-Фоменко являются “частичными”, так как они определены не на всем пространстве Hnondeg (P ), а лишь на отдельных (необязательно открытых)классах C 0 -лиувиллевой эквивалентности, т.е. на отдельных стратах Максвелла H(P, K) ∩Hnondeg (P ) в пространстве Hnondeg (P ), состоящих из гамильтоновых систем на данном 2-атоме(P, K).
Поэтому соответствующие инварианты Болсинова-Фоменко на 3-атомах тоже являются “частичными”, так как они определены не на всем пространстве IHnondeg (R3 ) и не навсем IHnondeg (Q3 )), а лишь на отдельных (необязательно открытых) классах C 0 -лиувиллевойэквивалентности, т.е. на отдельных стратах Максвелла IH(R3 , L2 ) ∩ IHnondeg (R3 ) в пространстве IHnondeg (R3 ) или IHnondeg (Q3 ), состоящих из гамильтоновых систем на данном 3-атоме(R3 , L2 )). При этом коразмерность указанного страта Максвелла равна n − 1, где n естьсложность атома, т.е. количество критических точек функции F |PE , равное количеству критических окружностей функции F |RE . То есть, страт Максвелла открыт в случае n = 1простого атома, и неоткрыт в случае n ≥ 2 сложного атома.Возникают естественные вопросы: насколько разумен класс IHnondeg (Q) невырожденныхинтегрируемых гамильтоновых систем (например, открыт ли он в смысле той или иной разумной топологии в пространстве всех интегрируемых гамильтоновых систем), и имеют ли“частичные” инварианты Болсинова-Фоменко разумное (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
